Eine Geodäte (Pl. Geodäten), auch Geodätische, geodätische Linie oder geodätischer Weg genannt, ist die lokal kürzeste Verbindung zweier Punkte.

Im Euklidischem Raum sind Geodäten stets Geraden. Relevant ist der Begriff "Geodäte" erst in gekrümmten Räumen (Mannigfaltigkeiten), wie zum Beispiel auf einer Kugeloberfläche oder in der gekrümmten Raumzeit der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Eine Geodäte auf der (als Kugel genäherten) Erdoberfläche ist stets Teil eines Großkreises; daran orientieren sich transkontinentale Flug- und Schifffahrtsrouten (siehe Orthodrome).

Die Einschränkung "lokal" in der obigen Definition bedeutet, dass eine Geodäte durch keine infinitesimale Änderung verkürzt werden kann; sie muss aber nicht den "global" kürzesten Weg darstellen. Dementsprechend legen zwei voneinander verschiedene Punkte auf der Erdoberfläche stets zwei Geodäten fest: den kürzeren Teil des Großkreises, und den längeren Teil, der im Extremfall fast ein volles Mal um die Erde herum führen kann.

• In der elementaren Differentialgeometrie ist eine Geodäte ein Weg auf einer Fläche, bei dem überall die Hauptnormale mit der Flächennormale zusammenfällt.

• In der modernen Sprache der riemannschen Geometrie sind Geodäten $\backslash gamma$ durch eine Differentialgleichung charakterisiert:

$\backslash nabla\_\{\backslash dot\backslash gamma\}\backslash dot\backslash gamma=0.$

Dabei bezeichnet $\backslash nabla$ den Levi-Civita-Zusammenhang.

• In der "klassischen" Sprache der Differentialgeometrie, die in der allgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird, lautet diese Differentialgleichung:

$\backslash ddot\; x^m+\backslash Gamma^m\_\{kl\}\backslash dot\; x^k\backslash dot\; x^l=0$

Dabei sind die $\backslash Gamma^m\_\{kl\}$ die Christoffelsymbole und $x$ eine lokale Koordinatendarstellung des entsprechenden Weges.

Siehe auch

• Riemannsche Mannigfaltigkeit

allgemeine Relativitätstheorie | Differentialgeometrie | Geodäsie | Nautik

Geodèsica | Geodesic | Geodetica | 测地线