Gekoppelte Pendel

Zwei Pendel, zwischen denen ein Energieaustausch stattfinden kann (beispielsweise durch eine Schraubenfeder), werden als gekoppelte Pendel bezeichnet; die ausgeführten Schwingungen werden auch als Koppelschwingung bezeichnet. In jedem Pendel wirkt ein Richtmoment, das durch die Schwerkraft hervorgerufen wird und bestrebt ist, das Pendel in Ruhelage zurückzuziehen. Außerdem macht sich die vorhandene Kopplung in Form eines zusätzlichen Richtmoments bemerkbar, das so wirkt, dass die Feder möglichst enstspannt wird.

Historische Beobachtungen

Der niederländische Astronom und Physiker Christiaan Huygens beobachtete bereits im 17. Jahrhundert gekoppelte Pendelschwingungen, als er feststellte, dass zwei baugleiche Pendeluhren, die an Bord eines Schiffes in einem gemeinsamen Gehäuse eingebaut waren, nach einer halben Stunde synchron schwangen, egal in welcher Ausgangsposition sich die Pendel zu Beginn befanden. Die Pendelgewichte übertrugen Energie an das Uhrengehäuse und beeinflussten sich dabei gegenseitig.

Physikalisch-mathematische Betrachtung

Durch das Moment der Feder und das entgegengerichtet wirkende Moment aufgrund der Schwerkraft werden die beiden Pendel in eine neue Gleichgewichtslage ausgelenkt.

Lenkt man nun Pendel 2 um den Winkel $\theta_2$ nach rechts aus, erhält man ein Gesamtmoment von:

$M_2=-mgL \cdot \theta_2-D_F \cdot l^2 \cdot \theta_2$

wobei $D_F$ die Federkonstante der Kopplungsfeder ist.

Lenkt man jetzt zusätzlich Pendel 1 um $\theta_1$ nach links aus, ergibt sich ein Gesamtmoment von:

$M_2=-mgL \cdot \theta_2-D_F \cdot l^2 \theta_2+D_F \cdot l^2 \theta_1 = J \ddot{\theta}_2$

Analog kann man für Pendel 1 verfahren und erhält die beiden Differentialgleichungen:

$J \ddot{\theta}_1=-mgL \cdot \theta_1+D_F \cdot l^2 (\theta_2-\theta_1)$

$J \ddot{\theta}_2=-mgL \cdot \theta_2-D_F \cdot l^2 (\theta_2-\theta_1)$

$J$ ist dabei das Trägheitsmoment eines Pendels. Falls es sich um ein Fadenpendel handelt, gilt $J = m L^2$ .

Man erhält drei charakteristische Schwingungsformen des Pendelsystems:

Gleichsinnige Schwingung: Die beiden Pendel schwingen mit gleicher Amplitude und gleicher Phase.

Gegensinnige Schwingung: Die beiden Pendel schwingen mit entgegengesetzter Amplitude.

Schwebungsfall: Wird zu Beginn nur eines der beiden Pendel aus seiner Ausgangslage ausgelenkt, so wandert die Schwingungsenergie langsam zwischen den beiden Pendeln hin und her.

Weblinks

http://science.orf.at/science/news/44805 zu Huygens Beobachtung
http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/koppel2.html Experiment
http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/koppel1.html Experiment

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