Der elektrotechnische Begriff Gegeninduktivität beschreibt die Verkettung des durch eine Leiterschleife fließenden Stroms mit jenem Teil des dadurch erzeugten magnetischen Flusses, welcher eine weitere, räumlich entfernte Leiterschleife durchsetzt. Die Gegeninduktivität ist im Gegensatz zur Selbstinduktivität für die magnetische Kopplung zweier galvanisch getrennter Leitersysteme verantwortlich, deren prominentestes Beispiel im technischen Transformator verwirklicht ist.

Prinzip

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Eine stromdurchsetzte (erste) Leiterschleife bewirkt abhängig von ihrer Geometrie die Erzeugung eines Magnetfeldes in ihrer räumlichen Umgebung. Dieses ist aufgrund des Biot-Savart'schen Gesetzes direkt proportional zur Stromstärke.Mutual_Inductivity.jpeg

$\backslash vec\; B(\backslash vec\; r)\; \backslash propto\; I\_1$

Der Fluss durch die zweite Leiterschleife ist dann

$\backslash Phi\_2\; =\; \backslash int\_\{S2\}\; \backslash vec\; B(\backslash vec\; r)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; A$

und somit ebenfalls proportional zum Strom; die Proportionalität von Strom und Fluss wird genau durch die Gegeninduktivität M vermittelt:

$\backslash Phi\_2\; =\; M\_\{21\}\backslash cdot\; I\_1$

Aufgrund dieser Definition kann die Gegeninduktivität als Verallgemeinerung der Selbstinduktivität angesehen werden. Sie wird wie diese in der SI Einheit Henry ^* angegeben.

Symmetrie

Eine erstaunliche Tatsache ist die Symmetrie der Flussverkettungen: Die Gegeninduktivität vom System 1 auf System 2 ist gleich groß wie für den umgekehrten Fall:

$M\_\{21\}\; =\; M\_\{12\}\; \backslash quad$

Diese Beziehung erleichtert in vielen Fällen die praktische Berechnung von Flussverkettungen. So kann beispielsweise leicht ein Ausdruck für die Flussverkettung einer langen Spule mit einer kleineren, konzentrisch angebrachten Empfängerspule berechnet werden. Der umgekehrte Fall, nämlich die Verkettung des Flusses der kleinen mit der grossen Spule würde ohne Kenntnis der obigen Relation vermutlich auf erhebliche analytische Schwierigkeiten stoßen. Die beschriebene Symmetrie welche auch als magnetisches Reziprozitätstheorem bezeichnet wird, kann mit den mathematischen Mitteln der Vektoranalysis unter Zuhilfenahme der Maxwellgleichungen bewiesen werden.

Beweis der magnetischen Reziprozität

Das Magnetfeld B kann als Rotor eines Vektorpotenzials ausgedrückt werden:

$\backslash vec\; B\; =\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A$

Der magnetische Fluss durch die zweite Leiterschleife wird dann (da bezeichnet ein infinitesimales Flächenelement)

$\backslash Phi\_2\; =\backslash int\_\{S\_2\}\; \backslash vec\; B\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; a\; =\; \backslash int\_\{S\_2\}\; \backslash big(\; \backslash vec\; \backslash nabla\; \backslash times\; \backslash vec\; A\; \backslash big)\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; a\; =\; \backslash int\_\{S\_2\}\; \backslash vec\; A\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_2$

Nun kann aber das Vektorpotenzial auf das Linienintegral des Stroms in der ersten Leiterschleife zurückgeführt werden (dies ist eine andere Schreibweise für das Gesetz von Biot-Savart):

$\backslash vec\; A(\backslash vec\; r)\; =\; \backslash frac\{I\}\{c\}\; \backslash int\_\{L\_1\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_1\}\{\backslash vert\; \backslash vec\; r\; -\; \backslash vec\; x\_1\; \backslash vert\}$

Dies eingesetzt in die vorletzte Gleichung ergibt:

$\backslash Phi\_2\; =\; \backslash frac\{I\}\{c\}\; \backslash int\_\{L\_1\}\backslash int\_\{L\_2\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_2\; \}\{\backslash vert\; \backslash vec\; x\_2\; -\; \backslash vec\; x\_1\; \backslash vert\}$

M wird daher

$M\_\{12\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{c\}\; \backslash int\_\{L\_1\}\backslash int\_\{L\_2\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_2\; \}\{\backslash vert\; \backslash vec\; x\_2\; -\; \backslash vec\; x\_1\; \backslash vert\}\; =\; M\_\{21\}$

bzw. im SI-Einheitensystem

$M\_\{12\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mu\_0\}\{4\backslash pi\}\; \backslash int\_\{L\_1\}\backslash int\_\{L\_2\}\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_1\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash vec\; s\_2\; \}\{\backslash vert\; \backslash vec\; x\_2\; -\; \backslash vec\; x\_1\; \backslash vert\}\; =\; M\_\{21\}$

Anwendung

• Transformatoren werden in der Elektrotechnik oft durch eine Gegeninduktivität modelliert.
• Die induzierte Spannung in einer Leiterschleife, welche durch eine andere Leiterschleife bewirkt wird, ist

$U\_\{2\}\; =\; M\_\{12\}\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\; I\_1\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}$

• Aufgrund der Symmetrie ist eine Gegeninduktivität formal ein reziproker Vierpol

Siehe auch

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• Induktion (Elektrotechnik)
• Lenzsche Regel
• Transformator
• Induktivität

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