Das optische Konzept der Gaußstrahlen (auch Gaußsche Bündel genannt) verbindet Methoden der Strahlen- und Wellenoptik zur Beschreibung der Lichtausbreitung. Ein Gaußstrahl zeichnet sich durch ein transversales Profil gemäß einer Gaußkurve (die Amplitude des elektromagnetischen Feldes nimmt mit dem Abstand zur Ausbreitungsachse exponentiell ab) und ein longitudinales Lorentzprofil (er ist an einer Stelle, der Taille, fokussiert und "zerläuft" mit zunehmendem Abstand zu ihr) aus.

Gaußstrahlen beschreiben besonders gut die Lichtemission vieler Laser, aber sie lassen sich auch in vielen anderen Situationen elektromagnetischer Strahlung einsetzen. Besonders interessant sind sie, da sie Phasenbetrachtungen wie die Wellenoptik erlauben, aber einfachen Rechenmethoden der Strahlenoptik gehorchen.

Formel

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Für die mathematische Beschreibung eines Gaußstrahls verwendet man Zylinderkoordinaten, setzt die Ausbreitungsrichtung als z-Achse und die Strahltaille als z=0. Dann ist die komplexe Feldamplitude (die Phase berücksichtigend) in Abhängigkeit des Abstands r zur Achse und der Entfernung z zur Taille:

$E(r,z)\; =\; E\_0\; \backslash frac\{W\_0\}\{W(z)\}\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{-r^2\}\{W^2(z)\}\backslash right)\; \backslash exp\; \backslash left(\; -ik\; \backslash frac\{r^2\}\{2R(z)\}\; \backslash right)\backslash \; \backslash exp\; \backslash left(\; -ikz\; +i\; \backslash zeta(z)\; \backslash right)$

Die zu dieser Feldstärke gehörende Intensität ist dann:

$I(r,z)\; =\; I\_0\; \backslash left(\; \backslash frac\{W\_0\}\{W(z)\}\; \backslash right)^2\; \backslash exp\; \backslash left(\; \backslash frac\{-2r^2\}\{W^2(z)\}\; \backslash right)$

Dabei sind $i\; =\; \backslash sqrt\{-1\}\; \backslash ,$ die imaginäre Einheit, $k\; =\; \{\; 2\; \backslash pi\; \backslash over\; \backslash lambda\; \}$ die Wellenzahl und $E\_0$ bzw. $I\_0$ die Werte an der Stelle $(r=0,z=0)$. Die Parameterfunktionen W(z), R(z) und ζ(z) werden im folgenden definiert und beschreiben die Geometrie des Gaußstrahles.

Interpretation der Parameter

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Transversales Profil

gaussianbeam.png

Wie bereits erwähnt, hat der Gaußstrahl ein transversales Profil gemäß einer Gaußkurve. Als Strahlradius definiert man den Abstand zur z-Achse, an dem die Amplitude auf 1/e (ca. 36 %) gefallen ist. Der minimale Strahlradius, also bei $z=0$, der Taille, wird $W\_0$ genannt, und in Abhängigkeit des Abstandes z entlang der Achse verhält sich der Radius dann im Nahfeld gemäß

$W(z)\; =\; W\_0\; \backslash ,\; \backslash sqrt\{\; 1+\; \{\backslash left(\; \backslash frac\{z\}\{z\_0\}\; \backslash right)\}^2\; \}$ mit $z\_0\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\backslash cdot\; W\_0^2\}\{\backslash lambda\}$

Axiales Profil

Der Parameter

$z\_0\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\; W\_0^2\}\{\backslash lambda\}$ heißt Rayleigh-Länge. In diesem Abstand gilt

$W(\backslash pm\; z\_0)\; =\; W\_0\; \backslash sqrt\{2\}$

Der Abstand zwischen dem linken und rechten Punkt mit $|z|=z\_0$ wird bi- oder konfokaler Parameter genannt:

$b\; =\; 2\; z\_0\; =\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; W\_0^2\}\{\backslash lambda\}$

Damit ist $|E(0,z\_0)|\; =\; E\_0\; \backslash frac\{W\_0\}\{W(z\_0)\}\; =\; \backslash frac\{E\_0\}\{\backslash sqrt\{2\}\}$, die Amplitude also an einer bestimmten z-Koordinate auf das $1/\backslash sqrt\{2\}$-fache abgefallen. Dies entspricht einem Lorentz-Profil.

Krümmung

Die Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten bestimmen die Phasenlage der Welle bei $(r,z)$. Dabei bestimmt der Parameter R(z) anschaulich, wie stark die Phase an achsfernen Punkten verzögert ist, also, wie stark die Wellenfronten gekrümmt sind, und heißt deshalb Krümmungsradius. Er berechnet sich zu

$R(z)\; =\; z\; \backslash ,\; \backslash left(\; 1+\; \{\backslash left(\; \backslash frac\{z\_0\}\{z\}\; \backslash right)\}^2\; \backslash right)\; \backslash \; .$

Divergenz

Betrachtet man den Verlauf von $W(z)$ für $z\; \backslash gg\; z\_0$, nähert er sich einer Geraden - dies zeigt die Verbindung zur Strahlenoptik auf. Wie stark der Gaußstrahl verläuft, sich also transversal ausdehnt, lässt sich dann durch den Winkel zwischen dieser Geraden und der z-Achse angeben, dies nennt man die Divergenz:

$\backslash theta\_\{div\}\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\; \{\; W\_0\; \backslash over\; z\_0\; \}\; \backslash right)\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\; \backslash frac\{\backslash lambda\}\{\backslash pi\; W\_0\}\; \backslash right)$

Diese Beziehung führt zu dem Effekt, dass die Divergenz bei starker Fokussierung größer wird: ist die Strahltaille schmal, verläuft der Strahl in großen Entfernungen stark. Man muss also einen Kompromiss aus Fokussierung und Reichweite findet.

Gouy-Phase

In der Wellenphase taucht auch ein Term auf, der die Gouy-Phase des Gaußstrahls genannt wird:

$\backslash zeta(z)\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\; \backslash frac\{z\}\{z\_0\}\; \backslash right)\; \backslash \; .$

Diese liefert einen Phasenunterschied von $\backslash pi$ beim Übergang von zu $z\; >\; z\_0$, dies entspricht dem "Umklappen" der klassischen Strahlenoptik im Fokus.

Matrizenoptik

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Der große Vorteil des Gaußstrahlen-Modells besteht darin, dass das Kalkül der Matrizenoptik sich vollständig auf sie übertragen lässt. Definiert man den Parameter $q(z)=z-iz\_0$, so wirkt die ABCD-Matrix eines optischen Elementes auf ihn gemäß

$q\_1(z)\; =\; \backslash frac\{Aq\_0+B\}\{Cq\_0+D\}\; \backslash \; .$

Literatur

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• D. Meschede: Optik, Licht und Laser. Teubner-Verlag, Leipzig-Stuttgart 2005
• E. Hecht: Optik. Oldenbourg-Verlag, München-Wien 2005

Optik

Gaussian beam | Faisceau gaussien