Ein stochastischer Prozess $(X\_t)\_\{t\; \backslash in\; T\}$, auf einer beliebigen Indexmenge T wird Gauß-Prozess (nach Carl Friedrich Gauß) genannt, wenn seine endlichdimensionalen Verteilungen (mehrdimensionale) Normalverteilungen (auch Gauß-Verteilungen, daher der Name) sind. Es soll also für alle $t\_1,\; t\_2\; \backslash ldots\; t\_n\; \backslash in\; T$ die multivariate Verteilung von $(X\_\{t\_1\},\; X\_\{t\_2\}\; \backslash ldots\; X\_\{t\_n\})$ durch eine n-dimensionale Normalverteilung gegeben sein.

Eine besondere Eigenschaft der Gauß-Prozesse ist von der Normalverteilung geerbt, die durch ihre ersten zwei Momente bereits eindeutig bestimmt ist: So haben zwei Gauß-Prozesse, die über die selbe Erwartungswertfunktion $T\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash ;\; t\; \backslash to\; E(X\_t)$ und Kovarianzfunktion $T\; \backslash times\; T\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\},\; \backslash ;\; (s,t)\; \backslash to\; Cov(X\_s,X\_t)$ verfügen, dieselbe Verteilung.

Ein Gauss-Prozess heißt zentriert, wenn sein Erwartungswert konstant 0, die Erwartungswertfunktion also die Nullfunktion ist..

Beispiele

• Der Wiener-Prozess (Auch Standard Brownsche Bewegung genannt) hat Erwartungswertfunktion $t\; \backslash to\; 0$ und Kovarianzfunktion $(s,t)\; \backslash to\; min(s,t)$. Er ist der einzige zeitstetige stochastische Prozess.

• Das Gauß'sche weiße Rauschen hat Erwartungswert 0 und Kovarianzfunktion $(s,t)\; \backslash to\; \backslash delta\_\{s-t,0\}$ (Dirac-Funktion)

• Ist $T=\backslash mathbb\{R\}\_\{+\}$ und f,g zwei integrierbare reellwertige Funktionen sowie W ein Wiener-Prozess, so ist der Itō-Prozess $X\_t=\; \backslash int\_0^t\; f(t)\; \backslash mathrm\; dt+\; \backslash int\_0^t\; g(t)\; \backslash mathrm\; dW\_t$ ein Gauß-Prozess mit Erwartungswertfunktion $t\; \backslash to\; \backslash int\_0^t\; f(t)\; \backslash mathrm\; dt$ und Kovarianzfunktion $(s,t)\; \backslash to\; \backslash int\_0^\{min(s,t)\}\; g^2(t)\; \backslash mathrm\; dt$.

Gaussian process