Die Gammaverteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist eine einerseits eine direkte Verallgemeinerung der Exponentialverteilung und andererseits eine Verallgemeinerung der Erlang-Verteilung für nichtganzzahlige Parameter. Wie diese wird sie verwendet

• in der Warteschlangentheorie, um die Bedienzeiten oder Reparaturzeiten zu beschreiben.
• in der Versicherungsmathematik zur Modellierung kleinerer bis mittlerer Schäden.

Definition

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Die Gammaverteilung $\backslash gamma(b,p)$ist für $x\backslash geq\; 0$ durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)=\backslash begin\{cases\}$

\frac{\displaystyle b^p}{\displaystyle\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} definiert. Sie besitzt die reellen Parameter $b$ und $p$. Um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird $b>0$ und $p>0$ gefordert.

Der Vorfaktor $b^p/\backslash Gamma(p)$ dient der korrekten Normierung; der Ausdruck $\backslash Gamma(p)$ steht für den Funktionswert der Gammafunktion, nach der die Verteilung auch benannt ist.

Gammaverteilung-Dichte.PNG

Die Gammaverteilung genügt damit für $x\backslash geq\; 0$ der Verteilungsfunktion

$F(x)=\backslash begin\{cases\}$

\frac{\displaystyle\gamma(p,bx)}{\displaystyle\Gamma(b)} & x\geq 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases}, wobei $\backslash gamma(p,bx)$ die unvollständige Gammafunktion ist.

Gammaverteilung-kumuliert.PNG

Alternative Parametrisierung

Alternativ zur obigen, im deutschsprachigen Raum üblichen Parametrisierung mit $p$ und $b$ findet man auch häufig die folgende:

$\backslash alpha=p,\; \backslash ;\backslash ;\; \backslash beta=\; \backslash frac\{1\}\{b\}$.

Dichte und Momente ändern sich dabei dementsprechend (der Erwartungswert wäre hier beispielsweise $\backslash alpha\; \backslash beta$). Da diese Parametrisierung vor allem im angelsächsischen Raum vorherrscht, wird sie besonders häufig in der Fachliteratur verwendet. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, die Momente explizit anzugeben, also beispielsweise von einer Gammaverteilung mit Erwartungswert ab und Varianz ab² zu sprechen. Hieraus sind dann Parametrisierung und die entsprechenden Parameterwerte eindeutig rekonstruierbar.

Eigenschaften

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$f$ besitzt an der Stelle $x\_M=\backslash frac\{p-1\}\{b\}$ ihr Maximum und an den Stellen $x\_W=x\_M\backslash pm\; \backslash frac\{(p-1)^\backslash frac12\}\{b\}$ Wendepunkte.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Gammaverteilung ist

$\backslash operatorname\{E\}(X)=\{p\; \backslash over\; b\}$ .

Varianz

Die Varianz der Gammaverteilung ist

$\backslash operatorname\{Var\}(X)=\{p\; \backslash over\; b^\{2\}\}$.

Schiefe

Die Schiefe der Verteilung ist gegeben durch

$\backslash operatorname\{v\}(X)\; =\; \backslash frac\{2\}\{\backslash sqrt\{p\}\}$.

Reproduktivität

Die Gammaverteilung ist reproduktiv: Die Summe aus den stochastisch unabhängigen gammaverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$, die beide gammaverteilt sind mit den Parametern $b$ und $p\_x$ bzw. $p\_y$, ist wiederum gammaverteilt mit den Parametern $b$ und $p\_x\; +\; p\_y$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\backslash phi\_\{X\}(s)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{b-is\}\backslash right)^p$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der Gammaverteilung ist

$m\_\{X\}(s)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{b\}\{b-s\}\backslash right)^p$.

Beziehung zu anderen Verteilungen

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Beziehung zur Betaverteilung

Wenn die Zufallsvariablen $X$ mit $\backslash gamma(a,b)$und $Y$ mit $\backslash gamma(a,c)$ Gamma-verteilt sind mit den Parametern $a,\; b$ und $c$, dann ist die Größe $\backslash frac\{X\}\{X+Y\}$ Beta-verteilt mit

$B(b,c)\; =\; \backslash frac\{\backslash gamma(a,b)\}\{\backslash gamma(a,b)+\backslash gamma(a,c)\}$.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

• Die Chi-Quadrat-Verteilung mit $k$ Freiheitsgraden ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p=k/2$ und $b=1/2$.

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Die Erlang-Verteilung mit dem Parameter $\backslash lambda$ und $n$ Freiheitsgraden entspricht einer Gammaverteilung mit den Parametern $p=n$ und $b=\backslash lambda$.

Beziehung zur Exponentialverteilung

• Die Exponentialverteilung mit dem Parameter $\backslash lambda$ ist eine Gammaverteilung mit den Parametern $p=1$ und $b=\backslash lambda$.
• Die Faltung von Exponentialverteilungen mit demselben $\backslash lambda$ ergibt eine Gamma-Verteilung.
• In Analogie zur negativen Binomialverteilung bestimmt die Gamma-Verteilung in Verallgemeinerung der Exponentialverteilung die Zeit bis zum Eintreffen des $p$-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.

Beziehung zur negativen Binomialverteilung

Die Gammaverteilung ist das stetige Analogon zur diskreten negativen Binomialverteilung und die Zeit bis zum Eintreffen des $p$-ten seltenen, Poisson-verteilten Ereignis.

Beziehung zur logarithmischen Gammaverteilung

Ist $X$ Gamma-verteilt, dann ist $Y=e^X$ Log-Gamma-verteilt.

Literatur

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• Lindgren, Bernard W.: Statistical Theory, New York etc., 1993
• Fisz, Marek: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik, Berlin 1970
• P. Heinz Müller (Hrsg.): Wahrscheinlichkeitsrechnung und Mathematische Statistik, Leipzig 1991

Weblinks

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• Interaktives Applet der Universität Konstanz zum Darstellen der Gammaverteilung: http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-gamma.html
• Gerechnete Beweise: http://www.eisber.net/StatWiki/index.php/WS2_Zettel1#Gamma-Verteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Gamma distribution | Distribución gamma | Gamma-jakauma | Distribution Gamma | Variabile casuale gamma | ガンマ分布 | Гамма распределение | Gammafördelning