Fuzzy-Logik

Fuzzy-Logik (englisch: fuzzy = ungenau, verschwommen, unscharf) ist eine Theorie, eine Verallgemeinerung der zweiwertigen Booleschen Logik, die vor allem für die Darstellung menschlichen Wissens und menschlicher Überlegung zur Verarbeitung in Computern entwickelt wurde.

Fuzzy-Computersysteme verarbeiten gegenüber herkömmlichen Systemen nicht nur Werte wie JA und NEIN (bzw. AN und AUS oder 1 und 0), sondern zusätzlich auch Zwischenwerte (Wahrheitswerte) zwischen WAHR (=1) und FALSCH (=0) z. B. 0,5, so dass damit auch unscharfe Angaben wie EIN BISSCHEN, ZIEMLICH oder STARK mathematisch behandelt werden können. Damit arbeiten fuzzylogikunterstützte Programme näher am menschlichen Denken als übliche Programme.

Die Fuzzy-Set-Theorie, also die unscharfe Mengenlehre, wurde bereits 1965 von L. A. Zadeh, Professor für Computerwissenschaften an der Universität von Berkeley, USA, entwickelt. Die Grundlagen dazu wurden jedoch schon früher von dem polnischen Logiker Jan Lukasiewicz entwickelt, der zur Beschreibung des Wahrheitswertes einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall ^* (die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich der Ränder) verwendete. Heute wird die Fuzzy-Logik bzw. Fuzzy-Control vorwiegend bei der Steuerung von Maschinen und Robotern oder auch handelsüblichen Haushaltsgeräten verwendet.

Anwendungsbeispiele

Fuzzy-Logik wird sehr breitbandig in unterschiedlichsten Bereichen eingesetzt. Anwendungen finden sich in der Automatisierungstechnik, der Betriebswirtschaft, der Medizintechnik, der Konsumelektronik, der Automobiltechnik usw. Nützlich ist die Verwendung von Fuzzy Logik oft dann, wenn keine mathematische Beschreibung eines Sachverhaltes oder Problems vorliegt, sondern nur eine umgangssprachliche, d.h. verbale. Dann kann aus linguistisch formulierten Sätzen und Regeln mittels Fuzzy-Logik eine solche mathematische Beschreibung gewonnen werden, die in Rechnersystemen genutzt werden kann.

In einer typischen Anwendung werden Waschmaschinen so programmiert, dass sie je nach Verschmutzung der Wäsche ihre Waschmittelmenge regeln. Ausgangspunkt ist die Überlegung, dass es nicht möglich ist, den Verschmutzungsgrad für Kleidung eindeutig zu bestimmen. Beispielsweise gibt es keine Definition eines Verschmutzungsgrads 55 %. Da aber die Waschmittelmenge dennoch auf einen festen Wert eingestellt werden muss, benötigt man hier eine Logik, die mit unscharfen Begriffen wie leicht verschmutzt oder stark verdreckt umgehen kann. Die Fuzzy-Logik übersetzt die Aussagen zur Wäscheverschmutzung in eine fest definierte Waschmittelmenge. Beispielsweise wird leicht verschmutzt in 23 g Waschmittel und stark verdreckt in 65 g Waschmittel umgesetzt. Entscheidend ist, dass hinter dieser Logik keine eindeutige mathematische (lineare) Funktion zu finden ist. Vielmehr müssen die maßgebenden Werte (23 g oder 65 g) aus Erfahrungen, Beobachtungen und empirischen Untersuchungen gewonnen werden.

Weitere Anwendungen sind die Regelung von U-Bahnen, die Steuerung automatischer Getriebe in Automobilen, Alarmsysteme für die Anästhesie, Zwischenfrequenzfilter in Radios, ABS für Automobile, Brandmeldetechnik, die Prognose des Energieverbrauchs bei Energieversorgern, AF-gekoppelte Mehrfeld-Belichtungsautomatiken und AF-Prädikation in Spiegelreflexkameras (z. B. Minolta) etc.

Auch in betriebswirtschaftlichen Anwendungen hat Fuzzy Logic erfolgreich Einzug gehalten. Ein erfolgreiches Beispiel ist die Intelligente Schadenprüfung (ISP), mit der sich weltweit Versicherungsunternehmen vor Versicherungsbetrug schützen.

Unscharfe Mengen

Grundlage der Fuzzy-Logik sind die so genannten unscharfen Mengen. Im Gegensatz zu traditionellen Mengen (im Kontext der Fuzzy-Logik auch scharfe Mengen genannt), in denen ein Element in einer Grundmenge entweder enthalten oder nicht enthalten sein kann, kann ein Element in einer unscharfen Menge auch ein wenig enthalten sein. Der Grad an Zugehörigkeit wird meist durch eine Zugehörigkeitsfunktion (Fuzzyfunktion) µ beschrieben, die den Elementen einer Grundmenge eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 zuordnet.

Auch auf unscharfen Mengen sind Operationen wie auf scharfen Mengen möglich, wie z. B. Durchschnitt (UND), Vereinigung (ODER) und Komplement (NICHT). Zur Modellierung dieser Operationen bedient man sich der Funktionsklassen T-Norm, S-Norm und Negation.

Fuzzyfunktionen

Fuzzy-Alter.gif Die Zugehörigkeitsfunktionen sind die Fuzzyfunktionen. Ein Beispiel dafür ist eine Fuzzyfunktion für das Alter eines Menschen. Diese besteht aus mehreren dachförmigen Dreiecken für verschiedene Altersbereiche. Jedes Dreieck deckt einen Bereich von mehreren Jahren des Menschenalters ab. Ein Mensch mit 45 Jahren hätte so die Eigenschaften: noch jung mit der Wertung 0,75 (das ist noch relativ viel), mittleres Alter mit der Wertung 0,25 (das ist ein bisschen) und von den übrigen Funktionen nichts. Anders ausgedrückt: mit 45 ist man ziemlich viel noch jung und ein bisschen mittelalt.

In den meisten Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie z. B. in der Fahrstuhlsteuerung.

Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange die Funktionswerte im Intervall ^* bleiben. In der Praxis werden solche Dreiecksfunktionen aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne hergenommen.

Ein Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion bildet die folgende S-Funktion: $S(x,a,\delta)=\begin{cases} 0 & x\le a -\delta \\
2(\frac{x-a+\delta}{2\delta})^2 & a - \delta < x \le a \\
1-2(\frac{a-x+\delta}{2\delta})^2 & a < x \le a + \delta \\
1 & x \ge a + \delta
\end{cases}$ Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich ^* aus. Je nach Anwendungsfall lässt sich eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken: $Z(x,a,\delta)= 1 - S(x,a,\delta)$

Der Parameter $a$ gibt hierbei den Wendepunkt der S-Kurve an, der Wert $\delta$ bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer $\delta$ gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion.

Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt darstellen:

**Alter eines Menschen**
Bezeichnung !	Fuzzy-Funktion
sehr jung	$s_0: \;(1-s(x,30,30))^2$
jung	$s_1: \;1-s(x,30,30)$
nicht mehr sehr jung	$s_2: \;1-(1-s(x,30,30))^2$
mehr oder weniger alt	$s_3: \;\sqrt{s(x,60,30)}$
alt	$s_4: \;s(x,60,30)$
sehr alt	$s_5: \;s(x,60,30)^2$

Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren sehr, mehr oder weniger sowie nicht mehr durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden:

Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator sehr kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden ( $s_0 = s_1^2$ ). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
Der umgangssprachliche Modifikator mehr oder weniger kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden( $s_3 = \sqrt{s_4}$ ). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfach Substraktion darstellen: $s_2 = 1-s_0$ .

Den Anwendungfällen entsprechend handelt es sich bei dieser Form der Repräsentation um linguistische Variablen. Fuzzy-alter.svg

Begriffsabgrenzung

Nicht zu verwechseln mit der Fuzzy-Logik ist die Fuzzy-Suche, die eine unscharfe Suche in Datenbanken ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist.

Auch wenn die Fuzzy-Werte aus dem Intervall ^* formal an Wahrscheinlichkeitswerte erinnern, so ist Unschärfe etwas grundsätzlich anderes als Wahrscheinlichkeit.

Vor allem ist zu beachten, dass 2 Funktionen die sich überschneiden nicht immer in der Summe 1 ergeben müssen.

Siehe auch

Verwandte Begriffe sind Unschärfe und Ungewissheit.

Literatur

Christoph Drösser: Fuzzy logic: methodische Einführung in krauses Denken. 1996, 167 S., ISBN 3-499-19619-0
Benno Biewer: Fuzzy-Methoden: praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen. 1997, ISBN 3-540-61943-7
Berthold Heinrich ^* Messen, Steuern, Regeln. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-000-6
Andreas Mayer, et al.: Fuzzy Logic - Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung. Addison-Wesley, 1993 ISBN 3-89319-443-6

Weblinks

Buch zum Thema (PDF)
Schnelle Takagi Sugeno Fuzzy-Modellierung (PDF)
Fuzzy Logik Image Processing (engl.)
7 Wahrheiten über Fuzzy Logik, (engl.)
Englische Einführung in das Thema (PDF)
Was ist Fuzzy Logic? (englisch)

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