Neben der auf dieser Seite beschriebenen Funktionentheorie der Mathematik koexistiert die Funktionstheorie der Musikwissenschaften. Diese beiden Begriffe werden manchmal miteinander verwechselt.

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit den differenzierbaren komplexwertigen Funktionen komplexer Variablen. Gebräuchlich ist auch die Bezeichnung komplexe Analysis.

Komplexe Funktionen

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Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form $x\; +\; iy$ geschrieben werden kann, sieht eine allgemeine Form einer komplexen Funktion so aus

$x\; +\; iy\; \backslash to\; f(x+iy)\; =\; u(x,y)\; +\; i\; v(x,y)$.

Hier sind $u(x,y)$ und $v(x,y)$ reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen $x$ und $y$ abhängen. $u(x,y)$ heißt der Realteil und $v(x,y)$ der Imaginärteil der Funktion. Insofern unterscheidet sich eine komplexe Funktion nicht von einer reellen Abbildung von $\backslash mathbb\{R\}^2$ nach $\backslash mathbb\{R\}^2$ (also einer Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die ganze Funktionentheorie auch mit reeller Analysis behandeln. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex differenzierbare Funktionen betrachtet.

Funktionen mehrerer komplexer Variablen

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Es gibt auch komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Das Studium dieser Funktionen ist wesentlich komplizierter als das der einfachen komplexen Funktionen und wird in diesem Artikel nicht weiter behandelt. Insbesondere gelten die meisten Ergebnisse der einfachen Funktionentheorie nur mehr mit Einschränkungen. Die Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen wird zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie benutzt.

Komplexe Differenzierbarkeit

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Hauptartikel: Holomorphie

Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Analog zum reellen Fall definiert man: Eine Funktion heißt komplex differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

$f\text{'}(a)\; =\; \backslash lim\_\{w\; \backslash to\; 0\}\backslash frac\{f(a+w)\; -\; f(a)\}\{w\}$.

Für eine exakte Definition muss $f$ dabei in einer Umgebung von $a$ definiert sein. Für den Grenzwert muss dabei der komplexe Abstandsbegriff verwendet werden:

$|(x\_1\; +\; i\; y\_1)\; -\; (x\_2\; +\; i\; y\_2)\; |\; =\; \backslash sqrt\{\; (x\_1-x\_2)^2\; +$

(y_1-y_2)^2} .

Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die komplexe Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). Komplex differenzierbare Funktionen sind auch reell differenzierbar, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen

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Hauptartikel: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Äquivalent zur komplexen Differenzierbarkeit sind die Forderungen an die reellen partiellen Ableitungen der Funktion:

$$

\partial_x u(x+iy) = \partial_y v(x+iy)

$$

\partial_y u(x+iy) = -\partial_x v(x+iy)

Cauchy-Formel

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Hauptartikel: Cauchysche Integralformel

Durch Wahl eines geeigneten Integrationsweges kann man die Cauchy-Formel finden:

$$

f(z) = \frac 1{2\pi i}\oint \frac{f(w)}{w-z}dw

Diese besagt, dass der Wert einer komplex differenzierbaren Funktion auf einem Gebiet nur von den Funktionswerten auf dem Rand des Gebiets abhängt.

Holomorphe Funktionen

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Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex differenzierbar sind, nennt man holomorphe oder analytische Funktionen. Diese haben eine Reihe hervorragender Eigenschaften, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt - eben die Funktionentheorie. Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex differenzierbar ist, automatisch beliebig oft komplex differenzierbar! (Im Gegensatz zum reellen Fall).

Äquivalente Definitionen holomorpher Funktionen einer Variablen

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In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

1. Eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar
2. Eine Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal reell stetig differenzierbar
4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln
5. Das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel ermitteln.
7. Es gilt $\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; \backslash bar\; z\}=0$ mit $\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\backslash bar\; z\}=\backslash frac12\backslash Big(\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; x\}+\backslash mathrm\; i\backslash frac\backslash partial\{\backslash partial\; y\}\backslash Big).$

Holomorphe Funktionen sind somit sehr "angenehme" Funktionen: Sie sind beliebig oft differenzierbar, können in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe) entwickelt werden und vieles mehr. Fast alle Funktionen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, sind Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion (zumindest auf einem Teil der komplexen Ebene): Insbesondere gilt das für Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus), Exponentialfunktion, Logarithmus, und Wurzelfunktionen.

Meromorphe Funktionen

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Meromorphe Funktionen sind bis auf isolierte Polstellen holomorph. Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die aber nur endlich viele Reihenglieder besitzen, bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.

Funktionen mit wesentlichen Singularitäten

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Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt es in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert mit höchstens einer Ausnahme annehmen kann (Satz von Picard). Funktionen mit wesentlichen Singularitäten haben eine nicht abbrechende Laurententwicklung für Potenzen mit negativen Exponenten.

Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten

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Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind auch Realteil einer holomorphen Funktion. Damit lassen sich diese Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann man oft Zusammenhänge und Eigenschaften von Funktionen finden, die im Reellen verborgen bleiben, zum Beispiel die Eulersche Identität. Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der Physik (beispielsweise in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen, sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom-Spannungs-Diagramme). Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der Fouriertransformation. In vielen Fällen lässt sich diese einfach durch komplexe Analysis berechnen.

Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den partiellen Differentialgleichungen, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.

Das Wegintegral einer holomorphen Funktion ist vom Weg unabhängig. Dies war historisch das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz. Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der algebraischen Topologie.

Außerdem kann man die Wegunabhängigkeit verwenden, um reelle Integrale zu berechnen, indem man die Integration in der komplexen Ebene durchführt (siehe Residuensatz).

Weitere wichtige Themen und Ergebnisse

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Wichtige Ergebnisse sind der Cauchysche Integralsatz, der Residuensatz und der Riemannsche Abbildungssatz. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra. Er besagt, dass sich ein Polynom im Bereich der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome im Bereich der reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen nicht möglich.

Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische Fortsetzbarkeit von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.

Siehe auch

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Grundlagen

• komplexe Zahlen
• komplexe Teilmengen
• Holomorphie

Wichtige Sätze

• Cauchyscher Integralsatz
• Residuensatz
• Riemannscher Abbildungssatz
• Riemannscher Hebbarkeitssatz
• Satz von Picard

Ganze Funktionen

• Exponentialfunktion
• Kreisfunktionen
• Hyperbelfunktionen

Meromorphe Funktionen

• Gammafunktion
• Elliptische Funktionen

Literatur

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• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie, Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67641-4

Funktionentheorie

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