Funktion (Mathematik)

Eine Funktion drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell werden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

Häufig werden auch die Begriffe Abbildung und Operator für Funktionen verwendet.

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge A (einem "x-Wert") genau ein Element einer Zielmenge B (einen "y-Wert") zu. Eine Funktion hat demnach die explizite Eigenschaft:

Jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich wird genau ein y-Wert zugeordnet.

Oft kann man eine Zuordnungsvorschrift angeben, man nennt sie Funktionsgleichung.

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine linkstotale und rechtseindeutige Relation, das heißt:

Eine Funktion von der Menge A in die Menge B ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat:

f ist eine Teilmenge von A × B (kartesisches Produkt), also eine Menge von Paaren (a, b), wobei a in A und b in B gilt.
zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von f ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge B explizit zu einem Teil der Funktion machen, und definiert:

Ein Tripel f = (A, B, R) bestehend aus zwei Mengen A und B sowie einer Relation R ⊆ A × B heißt Funktion von A nach B, wenn gilt: zu jedem Element a von A gibt es genau ein Element b von B (geschrieben f(a)), so dass das Paar (a,b) Element von R ist. Eine Funktion ist also durch ihren Graphen R und die Angabe der Menge B bestimmt.

Daneben gibt es noch den Begriff partielle Funktion, der besonders in der Informatik verwendet wird. Hier wird nicht verlangt, dass jedem Argument ein Wert zugeordnet wird, es wird lediglich verlangt, dass es höchstens einen zugeordneten Wert gibt. Dies ist keine Funktion im hier definierten Sinne; solche heißen in diesem Kontext totale Funktion.

Schreibweisen und Sprechweisen

$f\colon A \to B$
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt $f \subseteq A \times B$ ,
„Funktion f von A nach B“

$f\colon x \mapsto f(x)$
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt $(x,y) \in f$ .
„x wird abgebildet auf f von x“
„x wird f von x zugeordnet“
„y ist f von x“
„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Die Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich oder Domain genannt. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente, salopp auch „x-Werte“, die Zielmenge B wird auch Codomain genannt, die Elemente von B heißen salopp auch „y-Werte“. Funktionswerte heißen dagegen nur diejenigen Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten.

Als "Wertemenge" oder "Wertebereich" wird etwas uneinheitlich

entweder die Bildmenge, also die Menge {f(x) | x ∈ A} der tatsächlich angenommenen Werte,
oder die Zielmenge

bezeichnet.

Funktionen als Strukturen

Eine große Rolle spielen Funktionen in der Mathematik auch als Hilfsmittel, um mehreren gleichartigen Größen eine Struktur zuzuordnen.

Beispiel: Um den Werten 4, 5, 6 und 4 die Struktur einer Tabelle mit zwei Spalten und zwei Zeilen zuzuordnen

\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 4\\ \end{pmatrix}

wird jeder Position in der Tabelle (repräsentiert durch das Zahlenpaar Zeile und Spalte) ein Wert zugeordnet, hier zum Beispiel für Wert 6 in Zeile 2, Spalte 1:

(2,1)\mapsto 6

Die Funktion

\{(1,1),(1,2),(2, 1),(2,2)\}\to \mathbb{R},\quad (i,j)\mapsto a_{ij}

ist eine allgemeine Darstellung einer solchen Tabelle mit Werten

a_{11}

a_{12}

a_{21}

und

a_{22}

Auf diese Weise werden in der Mathematik unter anderem N-Tupel, Folgen und Matrizen definiert.

Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f: R → R kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch definiert werden als die Menge aller Zahlenpaare (x|y), für die y=f(x). Der Graph einer stetigen Funktion bildet eine zusammenhängende Kurve.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionenplotter gehören auch zum Funktionsumfang von Computer-Algebra-Systemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

Beispiele

Die Normalparabel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\; x \mapsto f(x)=x^2$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb{N} \to \mathbb{N} ,\;\; x \mapsto s(x)=x+1$

Wichtige Begriffe

Das Bild eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Elemente die in B getroffen werden, also f(A) = { f(x) : x in A } und dies ist eine Teilmenge von B
Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt auch Faser von y.
Das Urbild einer Teilmenge M der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereichs von f, für das f(x) = x gilt.

Eigenschaften von Funktionen

Allgemeine Eigenschaften

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.
Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat.
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.
Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
Sie ist eine Involution, wenn f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.
Eine zweistellige Funktion f heißt kommutativ, wenn f(x,y)=f(y,x) für alle x und y aus der Definitionsmenge gilt.

Eigenschaften, die in der reellen und komplexen Analysis von Interesse sind

Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z. B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Zielmenge „Rücksicht nehmen“, werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

Spezielle Funktionen und Funktionstypen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungsmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen.

Analytische Funktionen

analytische Funktion

Algebraische Funktionen Eine Funktion ist algebraisch, wenn sie sich nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und Radizieren zusammensetzt.
- homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
- allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n; siehe auch affine Abbildung
- Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
- Potenzfunktion
- Polynom-Funktion; auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
  $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$
- Rationale Funktion; gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
- Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke

Transzendente Funktionen Eine mathematische Funktion nennt man transzendent, wenn sie nicht nur aus einer Verknüpfung der Grundrechenarten und der Wurzelfunktion besteht. Hierzu zählen:
- Exponentialfunktion
- Potenzexponentialverteilung und Schwanenhalsfunktion
- Logarithmus
- Kreis- und Hyperbelfunktionen
  - Trigonometrische Funktion: sin, cos, tan, cot, sec, csc
  - Hyperbelfunktion: sinh, cosh, tanh, coth, sech, csch
  - Arcus-Funktion: arcsin, arccos, arctan, arccot, arcsec, arccosec
  - Area-Funktion: arsinh, arcosh, artanh, arcoth, arsech, arcosech
Spezielle Funktionen
sonstige Funktionen

Reelle Funktionen, die nicht analytisch sind

Weitere Funktionen

Siehe auch

Funktionenplotter (zur graphischen Darstellung)
Funktionsschar
Funktion höherer Ordnung
Satz von der impliziten Funktion
Funktion für weitere Bedeutungen des Begriffes

Analysis | Mengenlehre

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