Fraktal

Mandelbrot-Menge farbig.png]] Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg]]

Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Benoît Mandelbrot (1975) geprägter Begriff (lat. fractus: gebrochen, von frangere: brechen, in Stücke zerbrechen), der natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

Durch ihren Formenreichtum und dem damit verbundenen ästhetischen Reiz spielen sie in der digitalen Kunst eine gewisse Rolle und haben dort das Genre der sogenannten Fraktalkunst hervorgebracht. Ferner werden sie bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen wie beispielsweise realitätsnaher Landschaften eingesetzt.

Fraktale Dimension

In der traditionellen Geometrie ist eine Linie eindimensional, eine Fläche zweidimensional und ein Raum dreidimensional. Für fraktale Gebilde lässt sich die Dimensionalität nicht so einfach angeben: Führt man beispielsweise eine Rechenoperation für ein fraktales Linienmuster tausende von Malen fort, so füllt sich mit der Zeit die gesamte Zeichenfläche (z.B. der Bildschirm des Computers) mit Linien, und das eindimensionale Gebilde nähert sich einem zweidimensionalen.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde meist eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als fraktale Dimension bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch-Dimension größer ist als ihre topologische Dimension.

Jede Menge mit nicht-ganzzahliger Dimension ist also ein Fraktal. Die Umkehrung gilt nicht, Fraktale können auch ganzzahlige Dimension besitzen, z.B. die Brownsche Bewegung.

Besteht ein Fraktal aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst, und ist dieser Verkleinerungsfaktor für alle Kopien derselbe, verwendet man die Ähnlichkeitsdimension $D$

D = \frac{\log(\mbox{Anzahl selbstähnlicher Teile})}

{\log(\mbox{Verkleinerungsfaktor})}

Beispiele

Pythagoras_baum_Filled.png]] Newtroot_1_0_0_m1.png]]

Linie, Quadrat, Kochsche Schneeflocke etc.

Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern stochastisch. Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

Dies ist zum Beispiel am Pythagoras-Baum zu sehen. Ein solcher Baum ist ein Fraktal, welches aus Quadraten aufgebaut ist, die so angeordnet sind wie im Satz des Pythagoras definiert.

Ein weiteres Fraktal ist das Newton-Fraktal, es wird berechnet über das Newton-Verfahren, das zur Nullstellenberechnung verwendet wird.

Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist der Menger-Schwamm.

Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Vorgehen. Mögliche Verfahren sind:

Die Iteration von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die Mandelbrot-Menge entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind IFS–Fraktale (Iterierte Funktionensysteme), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
Dynamische Systeme erzeugen fraktale Gebilde, so genannte seltsame Attraktoren.
L-Systeme, die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eigenen sich sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.

Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen

F → R oder F → L R → +R--L+ L → -R++L- F → R oder F → L R → R+L++L-R--RR-L+ L → -R+LL++L+R--R-L X X → -YF+XFX+FY- Y → +XF-YFY-FX+ F F → F+F--F+F X X → XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX Y → YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY F++F++F++F++F F → F++F++F|F-F++F F → R oder F -> L R → -L+R+L- L → +R-L-R+ FXF--FF--FF X → --FXF++FXF++FXF-- F → FF F F → F+F-F-FF-F-F-fF f → fff

Fraktal	L-System	Winkel	Strecken-Verhältnis	Visualisierung
Drachenkurve		45°	$1:1/\sqrt{2}$	Drachenkurve.png
Gosper-Kurve		60°	$1:1/\sqrt{7}$	gosper_curve_3.png
Hilbert-Kurve		90°	$1:1/2$	Hilbert7.png
Koch-Kurve		60°	$1:1/3$	Flocke.PNG
Peano-Kurve		90°		Peanokurve.png
Penta Plexity		36°	$1:1/\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2$	Penta_plexity.png
Pfeilspitze		60°	1:1/2	Pfeilspitzen_fraktal.png
Sierpinski-Dreieck		60°
Sierpinski-Teppich		90°		Menger5.png

Erklärung des L-Systems:

Das optionale, also nicht notwendige F wird im allgemeinen als Strecke benutzt, die durch eine Anweisungsfolge ersetzt wird. Wie das F meinen auch andere groß geschriebene Buchstaben wie R und L einen Streckenabschnitt, der ersetzt wird. + und - meinen einen bestimmten Winkel, der im Uhrzeigersinn, oder gegen den Uhrzeigersinn läuft. Das Symbol | bezeichnet eine Kehrtwendung des Zeichenstiftes, also eine Drehung um 180°. Gegebenenfalls setzt man dafür ein entsprechendes Vielfaches des Drehwinkels ein.

- Beispiel Drachenkurve:

F → R R → +R--L+ L → -R++L-

F ist eine einfache Strecke zwischen zwei Punkten. F -> R heißt, das die Strecke F durch R ersetzt wird. Dieser Schritt ist notwendig, da es zwei rekursive Ersetzungen R und L besitzt, die sich gegenseitig enthalten. Imweiteren wird wie folgt ersetzt:

R +R--L+ +(+R--L+)--(-R++L-)+ +(+(+R--L+)--(-R++L-)+)--(-(+R--L+)++(-R++L-)-)+ . . .

Ab einem bestimmten Abschnitt muss dieser Ersetzungsprozess abgebrochen werden, um eine Grafik zu bekommen:

+(+(+r--l+)--(-r++l-)+)--(-(+r--l+)++(-r++l-)-)+

Wobei r und l jeweils eine fest vorgegebene Strecke darstellen.

Auf das folgende Logo-Programm bezogen:

Das Äquivalent zu F → R:

to dragon :stufe :laenge dcr :stufe :laenge end

Das Äquivalent zu R → +R--L+:

to dcr :stufe :laenge make "stufe :stufe - 1 make "laenge :laenge / 1.41421 if :stufe > 0 45 dcr :stufe :laenge lt 90 dcl :stufe :laenge rt 45 if :stufe = 0 45 fd :laenge lt 90 fd :laenge rt 45 end

Das Äquivalent zu L → -R++L-:

to dcl :stufe :laenge make "stufe :stufe - 1 make "laenge :laenge / 1.41421 if :stufe > 0 45 dcr :stufe :laenge rt 90 dcl :stufe :laenge lt 45 if :stufe = 0 45 fd :laenge rt 90 fd :laenge lt 45 end

Romanesco.jpg]]

Fraktale Konzepte in der Natur

Fraktale Konzepte finden sich auch in der Natur. Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt und beträgt oft nur 3-5. Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei den Farnen.

Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge sondern mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, der Blutkreislauf, Flusssysteme und Küstenlinien. Im Fall der Küstenlinie ergibt sich als Konsequenz die Unmöglichkeit einer exakten Bestimmung der Küstenlänge. Je genauer man die Feinheiten des Küstenverlaufes vermisst, umso größer ist die Länge, die man erhält. Im Falle eines mathematischen Fraktals, wie beispielsweise der Kochkurve, wäre sie unbegrenzt.

Fraktale finden sich auch als Erklärungsmodelle für chemische Reaktionen. Systeme wie die Oszillatoren (Standardbeispiel Belousov-Zhabotinsky-Reaktion) lassen sich einerseits als Prinzipbild verwenden, andererseits aber auch als Fraktale erklären. Ebenso findet man fraktale Strukturen auch im Kristallwachstum und bei der Entstehung von Mischungen, wenn man z.B. einen Tropfen Farblösung in ein Glas Wasser gibt.

Siehe auch

Literatur

Herbert Voß: Chaos und Fraktale selbst programmieren, franzis', ISBN 3-772-37003-9
Horst Halling / Rolf Möller: Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in die Welt der Fraktale, Spektrum, ISBN 3-860-25427-8
Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-764-32646-8
Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems, Springer, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0
Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images, ISBN 0-387-96608-0
Kenneth Falconer: FRACTAL GEOMETRY. Mathematical Foundations and Applications, Wiley 1997

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