Das Flächenträgheitsmoment, auch als Flächenmoment 2. Grades bezeichnet, ist zusammen mit dem Elastizitätsmodul (bzw. Schubmodul) ein Maß für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts gegen Biegung (bzw. gegen eine Verdrillung oder Torsion). Siehe als Beispiel die Körper (1) und (2) im Bild.

Außerdem liefert das Flächenträgheitsmoment Aufschluss über die Neigung von Stäben zu knicken oder die Gefahr von Schalen zu beulen. Mit dem Flächenträgheitsmoment ist eine Spannungsverteilung infolge Biegung über einen Querschnitt errechenbar. Flächenträgheitsmoment und Elastizitätsmodul sind Konstanten in der Differentialgleichung der Biegelinie, welche das Verformungsverhalten von Stäben unter Last beschreibt.

Die etwas irreführende Bezeichnung "Flächenträgheitsmoment" sollte nicht zur Verwechslung mit dem Massenträgheitsmoment führen, das die Trägheit gegenüber einer rotatorischen Beschleunigung charakterisiert. Vermutlich rührt die Bezeichnung von der Wesensgleichheit der zugrunde liegenden mathematischen Beziehungen her: Während das Massenträgheitsmoment als Integral über dem Produkt aus Abstandsquadrat und Volumenelement gebildet wird, ergibt sich das Flächenträgheitsmoment als Integral über dem Produkt von Abstandquadrat und Flächenelement.

Grundlagen

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Arten der Flächenmomente

Flaechentraegheitsmoment1.gif Grundsätzlich gibt es drei Flächenmomente 2. Grades:

• Das axiale Flächenmoment 2. Grades, auch als Flächenträgheitsmoment bezeichnet, ist ein Maß für den Widerstand eines Querschnitts gegen Biegung - siehe Körper (1) und (2) im Bild.
• Das biaxiale Flächenmoment 2. Grades, auch als Flächendeviationsmoment, Deviationsmoment oder Zentrifugalmoment bezeichnet, ist ein Maß dafür, wie sich ein Körper, der außerhalb seiner Symmetrieachsen belastet wird, unter Last zusätzlich verdrillt (Körper 3 im Bild).
• Das polare Flächenmoment 2. Grades, auch als polares Flächenträgheitsmoment bekannt, ist ein Maß für den Widerstand eines Querschnitts gegen Torsion - siehe Körper (4) im Bild.

Flächenträgheitsmomente werden in der technischen Mechanik und den Ingenieurwissenschaften benötigt, um bei der Auslegung einer Konstruktion Verformungen, Verdrehungen und vor allem die Stabilität von Bauteilen zu berechnen.

Praktischer Bezug

Wenn ein Körper auf einer Seite fest eingespannt wird und auf der anderen Seite mit einer Kraft belastet wird, dann biegt er sich unter dieser Last durch. Das Bild zeigt einen Körper, der einem Lineal vergleichbar ist. Er wird jeweils mit der gleichen Kraft im jeweils gleichen Abstand von einer Einspannung belastet, aber die Kraft wirkt auf unterschiedliche Seiten.

Die Mathematischen Formeln und die Erfahrungen zeigen nun, dass bei Belastung der schmalen Seite (1) eine geringere Durchbiegung zu erwarten ist, als bei Belastung der breiten Seite (2): ; Wenn der Werkstoff isotrop ist (d.h. er ist homogen und hat keine Vorzugsrichtungen; Gegenbeispiel: Holz, das durch seine Fasern eine Vorzugsrichtung aufweist, längs derer es leicht spaltbar ist), dann kann offenbar nur die Form (Geometrie) des Körpers für die unterschiedliche Durchbiegung verantwortlich sein. Dieser geometrische Einfluss wird mathematisch durch das axiale Flächenmoment 2. Grades beschrieben, er gilt für alle Körper mit gleichen Abmessungen und ist unabhängig von der Kraft und dem verwendeten Werkstoff.

Wenn der Körper irregulär geformt ist, dann verdrillt sich der Körper unter der Belastung. Dies wird durch das Flächendeviationsmoment (biaxiales Flächenmoment 2. Grades, Deviationsmoment oder Zentrifugalmoment) berücksichtigt.

Auch gegen Verdrehung (Torsion) widersetzt sich jeder Körper. Den geometrischen Einfluß erfasst man mit dem polaren Trägheitsmoment.

Anwendungsbereich

In der Praxis sind Flächenträgheitsmoment und Widerstandsmoment nur im Bereich der linearelastischen Verformungen (Hookscher Bereich) relevant. Für die gängigen Formen sind Flächenträgheitsmomente in der technischen Fachliteratur und teilweise auch in der mathematischen Literatur tabelliert.

Für die technische Betrachtung ist vor allem das Widerstandsmoment von Bedeutung. Es berücksichtigt neben dem Flächenträgheitsmoment auch den Abstand von der neutralen Faser zur Randfaser. Dadurch kann über den Vergleich mit der maximalen Spannung die zulässige Beanspruchung des Körpers berücksichtigt werden.

Berechnung der Flächenmomente

Axialen Flächenmomente 2. Grades

Die axialen Flächenmomente 2. Grades lassen sich durch diese Gleichungen beschreiben:

$I\_\{y\}\; =\; \backslash int\_\{A\}\; z^2\; \backslash \; \backslash mathit\{d\}A$, Einheit: ^*

$I\_\{z\}\; =\; \backslash int\_\{A\}\; y^2\; \backslash \; \backslash mathit\{d\}A$, Einheit: ^*

Das biaxiale Flächenmoment 2. Grades wird durch diese Gleichung beschrieben:

$I\_\{zy\}\; =\; I\_\{yz\}\; =\; -\; \backslash int\_\{A\}\; zy\; \backslash \; \backslash mathit\{d\}A$, Einheit: ^*

Das Deviationsmoment ist Null, wenn entweder die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist.

Das polare Flächenmoment 2. Grades setzt sich aus den beiden Flächenträgheitsmomenten I_y und I_z zusammen:

$I\_P\; =\; \{\backslash int\_\{A\}\; r^2\; \backslash \; \backslash mathit\{d\}A\; \}\; =\; I\_\{y\}\; +\; I\_\{z\}$, Einheit: ^*

Alle hier genannten Flächenmomente 2. Grades werden auf einen speziellen Punkt, nämlich den Flächenschwerpunkt bezogen. Für alle anderen Punkte kann das Flächenmoment 2. Grades mit dem Steinerschen Satz berechnet werden.

Satz von Steiner

$I\_\{yy\}^*\; =\; I\_\{yy\}\; +\; z\_s^2\; \backslash cdot\; A$, Einheit: ^*

$I\_\{zz\}^*\; =\; I\_\{zz\}\; +\; y\_s^2\; \backslash cdot\; A$, Einheit: ^*

$I\_\{yz\}^*\; =\; I\_\{zy\}^*\; =\; I\_\{yz\}\; -\; y\_s\; z\_s\; \backslash cdot\; A$, Einheit: ^*

Hauptträgheitsmomente und Drehwinkel

$I\_\{yy\}^*\; =\; 1/2\; (\; I\_\{yy\}\; +\; I\_\{xx\})\; +\; 1/2\; (\; I\_\{yy\}\; -\; I\_\{xx\})\; \backslash cdot\; cos(2\; \backslash cdot\; \backslash phi\; ^*)\; +\; 1/2\; I\_\{yz\}sin(2\; \backslash cdot\; \backslash phi\; ^*)$, Einheit: ^*

$I\_\{zz\}^*\; =\; 1/2\; (\; I\_\{yy\}\; -\; I\_\{xx\})\; +\; 1/2\; (\; I\_\{yy\}\; -\; I\_\{xx\})\; \backslash cdot\; cos(2\; \backslash cdot\; \backslash phi\; ^*)\; -\; 1/2\; I\_\{yz\}sin(2\; \backslash cdot\; \backslash phi\; ^*)$, Einheit: ^*

$I\_\{yz\}^*\; =\; -\; 1/2\; (\; I\_\{yy\}\; -\; I\_\{zz\})\; sin(2\; \backslash cdot\; \backslash phi\; ^*)\; +\; I\_\{yz\}\; cos(2\; \backslash cdot\; \backslash phi\; ^*)$, Einheit: ^*

$\backslash phi\; ^*\; =\; 1/2\; \backslash cdot\; arctan\; (\backslash frac\{\; 2\; \backslash cdot\; I\_\{yz\}\}\; \{I\_\{yy\}-I\_\{zz\}\})$, Einheit: ^*

Flächenträgheitsradien

Für geometrisch ähnliche Bauteile (z.B. Rechtecke mit gleichem Breiten/Höhen-Verhältnis) lässt sich auch der Flächenträgheitsradius mit der Dimension ^* definieren, mit dem man Körper vergleichen kann, die im Sinne des Flächenmomentes 2. Grades ähnlich sind:

$i\_\{y\}\; :=\; \backslash sqrt\{I\_\{y\}\; \backslash over\; A\};\; \backslash qquad\; i\_\{z\}\; :=\; \backslash sqrt\{I\_\{z\}\; \backslash over\; A\}$

$i\_\{P\}\; :=\; \backslash sqrt\{I\_\{P\}\; \backslash over\; A\}$

Beispiele

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Flaechentraegheitsmoment2.gif

Das Polare Trägheitsmoment 2. Grades ist $I\_p\; =\; I\_y\; +\; I\_z$, sofern der Bezugspunkt des polaren Flächenmomentes im Schnittpunkt der y- und z-Achse liegt.

$I\_z\; =\; \{h\; \backslash cdot\; b^3\; \backslash over\; 12\}\; =\; A\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{b^2\}\; \{12\}$

$I\_z\; =\; \backslash frac\; \{h\; \backslash cdot\; a^3\}\{48\}\; =\; \backslash frac\; \{A\; \backslash cdot\; a^2\}\{24\}$

$I\_z\; =\; \backslash frac\; \{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash cdot\; (A^3\; \backslash cdot\; B\; -\; a^3\; \backslash cdot\; b)$Die Ellipse kann als Spezialfall des Ellipsenringes mit $a\; =\; b\; =\; 0$ betrachtet werden.

$I\_\{z\}\; =\; \backslash frac\; \{h\}\{48\}\; \backslash cdot\; (b\_1\; +\; b\_2)\; \backslash cdot\; (b\_1^2\; +\; b\_2^2)$

$I\_\{z\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; \backslash cdot\; (B^3\; \backslash cdot\; H\; -\; b^3\; \backslash cdot\; h)$ -(nur für Profil 7; für Profil 8 und 9 gelten andere Formeln)

(Doppel-T-Träger)

Nr	Fläche	Axiales Flächenmoment 2. Grades um y- und z-Achse
1: Rechteck	$A\; =\; \{b\; \backslash cdot\; h\; \}$	$I\_y\; =\; \{b\; \backslash cdot\; h^3\; \backslash over\; 12\}\; =\; A\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{h^2\}\; \{12\}$
	Das Quadrat kann als Spezialfall des Rechtecks mit $b\; =\; h$ berechnet werden
2:Dreieck	$A\; =\; \backslash frac\; \{a\; \backslash cdot\; h\}\{2\}$	$I\_y\; =\; \backslash frac\; \{a\; \backslash cdot\; h^3\}\{36\}\; =\; \backslash frac\; \{A\; \backslash cdot\; h^2\}\{18\}$
	Das Dreieck ist nur um die z-Achse symmetrisch
3:Kreisring	$A\; =\; \backslash pi\; \backslash cdot\; (R^2\; -\; r^2)$	$I\_y\; =\; \{\backslash pi\; \backslash over\; 4\}\; \backslash cdot\; (R^4\; -\; r^4)\; =\; \{A\; \backslash over\; 4\}\; \backslash cdot\; (R^2\; +\; r^2)$
	Der Kreis kann als Spezialfall des Kreisrings mit $r\; =\; 0$ berechnet werden.
4:Ellipsenring	$A\; =\; \backslash frac\; \{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash cdot\; (A\; \backslash cdot\; B\; -\; a\; \backslash cdot\; b)$	$I\_y\; =\; \backslash frac\; \{\backslash pi\}\{4\}\; \backslash cdot\; (A\; \backslash cdot\; B^3\; -\; a\; \backslash cdot\; b^3)$
	Das Verhältnis $n\; =\; A/B\; =\; a/b\; \backslash geq\; 1$ ist das Verhältnis der halben Achsen des Ellipsenringes und muss bei der Berechnung des polaren Flächenmomentes für die Ellipse am Innenrand gleich dem Verhältnis der Ellipse am Außenrand sein.
5: Symmetrisches Trapez	$A\; =\; (b\_1+b\_2)\; \backslash cdot\; \backslash frac\{h\}\{2\}$	$I\_y\; =\; h^3\; \backslash cdot\; \backslash frac\; \{(b\_1\; +\; b\_2)^2\; +\; 2\; \backslash cdot\; b\_1\; \backslash cdot\; b\_2\}\{36\; \backslash cdot\; (b\_1\; +\; b\_2)\}$
6: Regelmäßiges n-Eck	$A\; =\; \backslash frac\{n\; \backslash cdot\; a^2\}\{4\; \backslash cdot\; \backslash tan\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{n\}\}$	$I\_y\; =\; \backslash frac\; \{n\}\{96\}\; \backslash cdot\; a^4\; \backslash cdot\; \backslash frac\{2\; +\; \backslash cos\; \backslash alpha\}\{(1\; -\; \backslash cos\; \backslash alpha)^2\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\; \backslash alpha$
	$I\_y$ ist um alle Achsen gleich
7: Kastenprofil	$A\; =\; H\; \backslash cdot\; B\; -\; h\; \backslash cdot\; b$	$I\_\{y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{12\}\; \backslash cdot\; (B\; \backslash cdot\; H^3\; -\; b\; \backslash cdot\; h^3)$
8: I-Träger
9: C-Profil

weitere Beispiele (eingescannt): Image:L-Traegheitsmomente1.png Image:L-Traegheitsmomente2.png Image:L-Traegheitsmomente3.png

Siehe auch

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• Flächenmoment, Trägheitsmoment, Satz von Castigliano
• Das Widerstandsmoment berücksichtigt auch die Zonen der maximalen Belastung
• Die FEM-Simulation kommt in der Regel ohne die Kenntnis der Flächenträgheitsmomente aus und eignet sich daher für die Berechnung komplexer Geometrien
• Technische Mechanik
• Steinerscher Satz

Technische Mechanik

Площен инерционен момент | Second moment of area | Segundo momento de inercia | Jäyhyysmomentti | מומנט ההתמד של השטח | Oppervlaktetraagheidsmoment