Als Fläche bezeichnet man in den mathematischen Teilgebieten der Differentialgeometrie und Topologie eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Beispiele im 3-dimensionalen Raum gewinnt man, wenn man die Oberflächen von Vollkörpern betrachtet. Die Oberflächen von fluiden Objekten wie Regentropfen oder Seifenblasen stellen eine Idealisierung dar.

Jenseits der einfachen mathematischen Definition liegt beispielsweise die Oberfläche einer Schneeflocke, die sehr fein strukturiert ist.

Definition

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Flächen in der Topologie

In der Topologie ist eine Fläche eine topologische 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Man kann sie deshalb wie folgt definieren:

Eine Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur offenen Kreisscheibe $D^\{\backslash circ2\}$ oder zur Halbebene $\backslash lbrace\; (x\_1,x\_2)\; \backslash in\; \backslash mathbb\; R^2\; \backslash mid\; x\_1\; \backslash geq\; 0\; \backslash rbrace$ homöomorphe Umgebung besitzt.

Eine alternative Definition, die auf die Fallunterscheidung verzichtet lautet:

Eine Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur geschlossenen Kreisscheibe $D^\{2\}$ homöomorphe Umgebung besitzt.

Diejenigen Punkte, die eine zur offenen Kreisscheibe homöomorphe Umgebung besitzen, bezeichnet man als innere Punkte der Fläche und die anderen als Randpunkte. Die Menge der inneren Punkte bildet das Innere $F^\backslash circ$ der Fläche, während die Menge der Randpunkte den Rand $\backslash partial\; F$ der Fläche bildet.

Hat eine Fläche keine Randpunkte, so spricht man von einer unberandeten Fläche oder Fläche ohne Rand. Andernfalls nennt man die Fläche berandet oder Fläche mit Rand.

Für unberandete Flächen verkürzt sich die obige Definition:

Eine unberandete Fläche ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und in dem jeder Punkt eine zur offenen Kreisscheibe $D^\{\backslash circ2\}$ homöomorphe Umgebung besitzt.

Flächen in der Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie ist eine Fläche eine differenzierbare 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Für die genaue Definition siehe differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Mathematische Attribute für unberandete Flächen

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geschlossen: Eine Fläche ohne Rand heißt geschlossen, wenn sie kompakt ist.

offen: Eine unberandete Fläche heißt offen, wenn sie nicht kompakt ist.

Beispiele

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• Kleinsche Flasche

Siehe auch

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• Geschlecht (Fläche)
• Riemannsche Fläche
• Abwickelbare Fläche
• Euler-Charakteristik
• Eulerscher Polyedersatz
• Geodäte
• Fundamentalpolygon
• Klassifikationssatz für 2-Mannigfaltigkeiten

Literatur

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• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02226-5
• William S. Massey: Algebraic Topology: An Introduction. 1. Auflage. Springer, Berlin 1967, ISBN 3-540-90271-6

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