Finite-Elemente-Methode

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung, insbesondere elliptischer partieller Differentialgleichungen mit Randbedingungen. Sie ist auch ein weit verbreitetes modernes Berechnungsverfahren im Ingenieurwesen.

Einführung

Mit der FE-Methode können Problemstellungen aus den verschiedensten Disziplinen berechnet werden. Sie haben gemeinsam, dass das Berechnungsgebiet in eine große Zahl kleiner, aber endlich vieler Elemente unterteilt wird. Die Elemente sind also endlich (finit) und nicht unendlich (infinit) klein, woraus sich der Name der Methode ableitet. Auf diesen Elementen werden Ansatzfunktionen definiert, aus denen sich über die partielle Differentialgleichung und den Randbedingungen ein großes Gleichungssystem ergibt. Aus dem gelösten Gleichungssystem werden danach die gesuchten Resultate abgeleitet.

Allgemeines Vorgehen

Das untersuchte Lösungsgebiet $G$ wird zunächst in Teilgebiete, die finiten Elemente eingeteilt.

G = \sum_{e=1}^m G_e

bzw.

G = \bigcup_{e=1}^m G_e

Innerhalb des finiten Elements werden für die gesuchte Lösung je $n$ Ansatzfunktionen definiert, die nur auf endlich vielen der Teilgebiete ungleich Null sind. Durch eine Linearkombination der $n$ Ansatzfunktionen innerhalb des Elementes werden die möglichen Lösungen der numerischen Näherung festgelegt.

y|_{G_e} \approx \sum_{i=1}^n c_{e, n} \psi_{e,n}

Die Differentialgleichungen und die Randbedingungen werden mit Testfunktionen ( $\psi\in\mathcal{C}_0^\infty(\Omega)$ ) multipliziert und über das Lösungsgebiet integriert. Das Integral wird durch eine Summe über einzelne Integrale der Finiten Elemente ersetzt, wobei die Integration in der Regel durch eine näherungsweise numerische Integration ausgeführt wird. Da die Ansatzfunktionen nur auf wenigen der Elemente ungleich Null sind, ergibt sich ein dünnbesetztes, häufig sehr großes, lineares Gleichungssystem, bei dem die Faktoren der Linearkombination unbekannt sind.

Dieses Gleichungssystem könnte man zwar prinzipiell direkt (zum Beispiel mit dem gaußschen Eliminationsverfahren) lösen. Da der Berechnungsaufwand dort aber bei $N$ Gleichungen $O(N^3)$ beträgt, beim Lösen die dünnbesetzte Struktur, die sich effizient speichern lässt, verloren geht und die Löser mit der schlechten Kondition des Gleichungssystems nicht gut umgehen können, verwendet man im allgemeinen iterative Löser, die schrittweise eine Lösung verbessern. Einfache Beispiele dafür sind das Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahren, praktisch werden aber eher Mehrgitterverfahren oder vorkonditionierte Krylow-Unterraum-Verfahren, wie das Verfahren der konjugierten Gradienten, verwendet. Aufgrund der Größe der Gleichungssysteme ist manchmal der Einsatz von Parallelrechnern nötig.

Es gibt heute eine Vielzahl von kommerziellen Computerprogrammen, die nach der Methode der Finiten Elemente arbeiten.

Variationsformulierung

Eine Variationsformulierung ist folgendes Problem: Gegeben sei ein Hilbertraum $H$ , eine Funktion $f \in H':= \{f:H\rightarrow\mathbb{R}|\mathrm{linear\ und\ stetig}\}$ , sowie eine auf $H$ stetige und elliptische Bilinearform $a(\cdot,\cdot)$ , so heißt $u \in H$ Lösung des Variationsproblems, wenn

a(u,v) = f(v)\ \forall v \in H

Existenz und Eindeutigkeit der Lösung $u$ liefert der Satz von Riesz-Fischer und das Lemma von Lax-Milgram.

Herleitung der Methode

Wir wissen, dass der Raum $L^2(\Omega):=\{f:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\ |\ \|f\|_{L^2} < \infty\}$ ein Hilbert-Raum ist. Ausgehend hiervon kann man die Sobolewräume $H^s(\Omega)$ über die sogenannte schwache Ableitung definieren.

Das Problem $a(u,v)=f(v)$ kann man als eine Variante einer partiellen Differentialgleichung auf einem Gebiet $\Omega$ auffassen.

Das Poissonproblem als Beispiel:

-\Delta u(x) = f(x) \ \forall x \in \Omega

u(x) = 0 \ \forall x \in \partial \Omega

wobei hier $\Delta$ den Laplace-Operator bezeichnet. Mit Multiplikation von unendlich oft differenzierbaren und stetigen Funktionen $\psi \in C^{\infty}_0(\Omega)$ ergibt mit Integration

\Leftrightarrow -\int_{\Omega}\Delta u \psi dx = \int_{\Omega}f \psi dx \ \forall\psi \in C^{\infty}_0(\Omega)

eine partielle Integration (Satz von Green), sowie die Nullrandbedingungen für $\psi$ liefern dann

\Leftrightarrow \int_{\Omega}\nabla u \nabla \psi dx = \int_{\Omega}f \psi dx \ \forall\psi \in C^{\infty}_0(\Omega)

Nun ist $a(u,\psi):=\int_{\Omega}\nabla u \nabla \psi dx$ eine elliptische und stetige Bilinearform auf $H^1_0(\Omega):=\overline{C^{\infty}_0(\Omega)}^{\|\cdot\|_{H^1}}$ , sowie die rechte Seite $(f,\psi )_{L^2}=f(v)$ nach dem Satz von Riesz eine stetige Linearform auf $H^1_0(\Omega)$

Besitzt der betrachtete Funktionenraum/Hilbertraum eine endliche Basis, so kann man ein lineares Gleichungssystem aus der Variationsformulierung gewinnen.

Für Funktionenräume entscheidet die Wahl der Basis über die Effizienz des Verfahrens. Gängig sind hierbei die Verwendung von Splines mit Triangulierungen, sowie in bestimmten Fällen die diskrete Fouriertransformation (Aufspaltung in Sinus und Cosinus).

Aufgrund von Flexibilitätsüberlegungen bezüglich der Geometrie des Gebietes $\Omega$ wird in der Regel folgender Ansatz gewählt.

Man diskretisiert das Gebiet $\Omega$ , in dem man es in Dreiecke zerteilt und man benutzt Splines $\lambda_p(x)$ , assoziiert mit den Eckpunkten p, um den endlichdimensionalen Funktionenraum auf $\Omega$ aufzuspannen. Die Splines erfüllen an festgelegten Punkten auf den Dreiecken $\lambda_p(q) = \delta_{pq}$ . Damit kann man dann eine diskrete Funktion $u_h(x)$ darstellen durch

u_h(x) = \sum_p u_p\lambda_p(x)

mit $u_p$ den Koeffizienten bezüglich der Basisdarstellung. Aufgrund der endlichen Basis muss man nicht mehr gegen alle $\psi \in H^1_0$ testen, sondern nur noch gegen alle Basisfunktionen, die Variationsformulierung reduziert sich aufgrund der Linearität auf

a(u_h, \lambda_q) = \sum_p u_p a(\lambda_p, \lambda_q) = (f, \lambda_q) \ \forall q

Also haben wir ein lineares Gleichungssystem zum Lösen gewonnen

Au=f

mit

A_{pq} = a(\lambda_p, \lambda_q)

und

f_q = (f, \lambda_q)

Dieses Resultat erhält man mit jeder endlichen Basis des Hilbertraumes.

Diskretisierung

Die gegebene Aufgabe wird diskretisiert, indem ganz allgemein das Grundgebiet in einfache Teilgebiete, die so genannten Elemente, in endlicher (finiter) Anzahl, zerlegt wird. Bei gewissen Aufgabenstellungen ist die Aufteilung in Elemente durch das Problem bereits weitgehend vorgegeben. Das ist beispielsweise bei einem räumlichen Fachwerk der Fall, bei welchem die einzelnen Stäbe die Elemente der Konstruktion bilden. Dasselbe gilt etwa auch bei Rahmenkonstruktionen, wo die einzelnen Balken oder unterteilte Balkenstücke die Elemente der Aufgabe darstellen.

Im Fall von zweidimensionalen Problemen wird das Grundgebiet in Dreiecke, Parallelogramme, krummlinige Dreiecke oder Vierecke eingeteilt. Selbst wenn nur geradlinige Elemente verwendet werden, erreicht man mit einer entsprechend feinen Diskretisierung eine recht gute Approximation (Annäherung) des Grundgebietes. Krummlinige Elemente erhöhen selbstverständlich die Güte der Annäherung. Jedenfalls erlaubt diese Diskretisierung eine äußerst flexible und auch dem Problem angepasste Erfassung des Grundgebietes. Allerdings muss darauf geachtet werden, dass sehr spitze oder überstumpfe Winkel in den Elementknoten vermieden werden, um numerische Schwierigkeiten auszuschließen. Dann wird das gegebene Gebiet durch die Fläche der approximierenden Elemente ersetzt.

Bei räumlichen Problemen erfolgt eine Diskretisierung des dreidimensionalen Gebietes in Tetraederelemente, Quaderelemente oder andere dem Problem angepasste, möglicherweise auch krummflächig berandete Elemente, dies sind i.d.R. Serendipity- oder Lagrange-Elemente.

Element-Ansatz

In jedem der Elemente wird für die gesuchte Funktion, bzw. allgemeiner für die das Problem beschreibenden Funktionen, ein problemgerechter Ansatz gewählt. Im besonderen eignen sich dazu ganze rationale Funktionen in den unabhängigen Raumkoordinaten. Für eindimensionale Elemente (Stäbe, Balken) kommen Polynome ersten, zweiten, dritten und gelegentlich sogar höheren Grades in Frage. Bei zweidimensionalen Problemen finden lineare, quadratische oder höhergradige Polynome Verwendung. Die Art des Ansatzes hängt dabei einerseits von der Form des Elementes ab und andererseits kann auch das zu behandelnde Problem den zu wählenden Ansatz beeinflussen. Denn die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Element ins benachbarte ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Die Stetigkeitsanforderungen sind häufig aus physikalischen Gründen offensichtlich und aus mathematischen Gründen auch erforderlich. Zum Beispiel muss die Verschiebung eines zusammenhängenden Körpers in einer Richtung beim Übergang von einem Element zum anderen stetig sein, um die Kontinuität des Materials zu gewährleisten. Im Fall der Balken- oder Plattenbiegung sind die Stetigkeitsanforderungen höher, da dort aus analogen physikalischen Gründen sogar die Stetigkeit der ersten Ableitung bzw. der beiden ersten partiellen Ableitungen gefordert werden muss. Elemente mit Ansatzfunktionen, welche den Stetigkeitsbedingungen genügen, heißen konform.

Um nun die Stetigkeitsanforderungen tatsächlich zu erfüllen, muss der Funktionsverlauf im Element durch Funktionswerte und auch durch Werte von (partiellen) Ableitungen (den Knotenpunktverschiebungen) in bestimmten Punkten des Elementes, den Knotenpunkten, ausgedrückt werden. Die in den Knotenpunkten benutzten Funktionswerte und Werte von Ableitungen nennt man die Knotenvariablen des Elements. Mit Hilfe dieser Knotenvariablen stellt sich die Ansatzfunktion als Linearkombination von sogenannten Formfunktionen mit den Knotenvariablen als Koeffizienten dar.

Es ist zweckmäßig, für die Knotenpunktkoordinaten neben einem elementbezogenen lokalen ein globales Koordinatensystem zu verwenden. Beide werden durch Transformationsfunktionen miteinander verknüpft. Werden für diese Transformation dieselben Formfunktionen wie für den Verformungsansatz benutzt, so sind es isoparametrische Elemente, bei Funktionen niedrigeren bzw. höheren Grades sub- bzw. superparametrische Elemente.

Formale Definition des Finiten Elementes

Ein finites Element ist ein Tripel $E = (T, \Pi, \Sigma)$ mit T einem nichtleeren Shape, $\Pi$ einem Raum von Ansatzfunktionen (im obigen Fall Splines oder Sinus) und $\Sigma$ einer Menge von linear unabhängigen Funktionalen.

Es gelte für die Funktionale, dass sie zu Funktionen der Basis assoziiert seien: $\sigma_i \in \Sigma : \sigma_i(\pi_j)=\delta_{ij} \ j=\{1..\dim(\Pi)\}$

So gilt für jede Funktion $v \in \Pi: v(x) = \sum_i \sigma_i(v)\pi_j$ .

Für Sinus als Basisfunktion im $\mathbb(R)^1$ ist dann $span \{\sin(x), \sin(2x), ... , \sin(nx)\} = \Pi$ und die Funktionale $\sigma_i(\psi):=(\sin(ix), \psi)_{L^2}$ .

Für Splines genügt dahingegen die Punktauswertung auf den festgelegten Punkten der Dreiecke: $\sigma_p(\psi):=\psi(p)$ .

Das Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie

Die Knotenpunktverschiebungen werden nun aus der Bedingung ermittelt, dass im gesuchten Gleichgewichtszustand die potenzielle Energie ein Minimum hat. Das Prinzip vom Minimum der potenziellen Energie bildet eine der möglichen Variationsmethoden zur direkten Bestimmung von Steifigkeitsgleichungen finiter Elemente. Die potenzielle Energie einer Konstruktion ist die Summe aus der inneren Verzerrungsenergie (der elastischen Formänderungsenergie) und dem Potenzial der aufgebrachten Lasten (der von äußeren Kräften geleisteten Arbeit).

Anwendung

Ursprünglich wurde die Finite-Elemente-Methode zur Lösung von Festkörper-Problemen in den 1950er Jahren entwickelt, obwohl die Bezeichnung „Finite Elemente“ erst etwas später benutzt wurde (siehe unten). Vorläufer reichen aber noch viel weiter zurück. Im weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode immer weiter verallgemeinert und kann nunmehr in vielen physikalischen Problemstellungen, u.a. in verschieden gekoppelten Feldberechnungen, eingesetzt werden:

Verformungs- und Spannungsberechnungen in der Statik, Dynamik und Plastomechanik
Sickerströmungsberechnungen, Hydraulik (Numerische Strömungssimulation)
Wärmeleitung, Temperaturverteilungen
Elektromagnetik: Elektrostatik, Magnetostatik
Piezoelektrizität, usw.

Geschichte der FEM

Die Geschichte der Finite-Elemente-Methode erschließt sich aus den Forschungen und Veröffentlichungen der folgenden Autoren (Auswahl):

Karl Schellbach: Variationsrechnung; Lösung eines Minimalflächenproblems (1851/52)
Kirsch (1868): Modellierung eines 3D-Kontinuums mit Quadern und Stabelementen
Lord Rayleigh (John William Strutt) (1842–1919): On the theory of resonance. 1870
Walter Ritz (1878–1909): neue Methode zur Lösung von Variationsproblemen, Ritz’sches Verfahren (1908/09)
Boris G. Galerkin: Verfahren der gewichteten Residuen (1915)
Trefftz (1926): lokal begrenzte Ansatzfunktionen; Gegenstück zum Ritz’schen Verfahren
Ebner (1929): Schubblech als ebenes Element
Hrennikoff (1940/41): Stabmodelle, Ersetzen von Scheiben durch Fachwerke, Platten durch Trägerroste
Richard Courant (1888–1972): Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibration(s). 1943 (Ansatzfunktionen mit lokalem Träger, elementweise Ansätze für Schwingungsprobleme)
W. Prager, Richard Laurence Millington Synge (1914–1994): Approximation in Elasticity based on the concept of function space. 1947
John Argyris (1913–2004): Kraft- und Verschiebungsmethode für Stabtragwerke, Matrizenformulierung (1954/55)
M. J. Turner, Ray W. Clough, H. C. Martin, L. J. Topp: Stiffness and deflection analysis of complex structures. 1956 (erste Strukturberechnung von Flugzeugflügeln bei Boeing, erste Anwendung der FEM mit Computerprogramm, erste Anwendung von Flächenelementen)
Ray W. Clough: The finite element method in plane stress analysis. 1960 (wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs Finite Elemente)
Spierig (1963): Entwicklung von Dreieckelementen, Übertragung auf Schalen
Olgierd Cecil Zienkiewicz (* 1921), Pionier der FEM und erstes Standardwerk (Lehrbuch): The Finite Element Method (in Structural and Continuum Mechanics).

FEM Programme

Folgende kommerzielle Programmcodes sind weit verbreitet und werden zur Berechnung unterschiedlicher technischer und wissenschaftlicher Problemstellungen eingesetzt:

Abaqus : Universell einsetzbares FEM Programm mit einem Löser auch für hoch-nichtlineare Problemstellungen von ABAQUS Inc. (jetzt Dassault Systèmes)
Ansys : ANSYS, universell einsetzbares FEM-Programm von Swanson Analysis Systems Inc. entwickelt
Cosmos : z.B. COSMOS/M von Structural Research and Analysis Corporation, USA
MARC : FEM-Programm von Marc Analysis Research Corporation, USA (jetzt MSC Software)
Nastran : NASTRAN, universell einsetzbares FEM-Programm von der NASA entwickelt

Zunehmend enthalten auch kommerzielle CAD-Systeme integrierte FE-Module, mit denen meist einfachere (i.d.R. lineare) Problemstellungen berechnet und mithilfe des CAD-Systems anschließend direkt ausgewertet werden können.

Weblinks

Numerische Mathematik

Gourt Home::Gourt :: Finite-Elemente-Methode