Ein Federpendel ist ein als Schraubenfeder ausgebildetes Pendel. Eine an die Feder angehängte Masse schwingt nach Einwirkung einer entlang der Federachse gerichteten Anregung harmonische Schwingung.

Eigenschaft der Feder

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Die elastische Auslenkung einer Feder ist durch das vereinfachte Hookesche Gesetz beschrieben:

$F\; =\; D\; \backslash cdot\; s$

Das Gesetz besagt, dass eine Torsions- oder Schraubenfeder, wenn innerhalb ihres elastischen Bereiches aus ihrer Ruhelage um die Distanz s ausgelenkt, proportional eine entgegen der Auslenkung wirkende Kraft F ausübt. Die Proportionalitätskonstante D wird Federkonstante genannt.

Eigenschaft der Masse

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Wenn an der ausgelenkten Feder eine Masse m befestigt ist, so wirkt die Federkraft auf die Masse. Nach dem newtonschen Gesetz bewirkt die auf eine Masse wirkende Kraft eine Beschleunigung a derselben:

$F\; =\; m\; \backslash cdot\; a$

Gleichung des Federpendels

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Aus den beiden genannten Gleichungen ergibt sich für das Federpendel die Gleichung

$m\; \backslash cdot\; a\; =\; D\; \backslash cdot\; s$

oder umgeordnet

$a\; =\; \backslash frac\{D\}\{m\}\; \backslash cdot\; s$

Die Beschleunigung a ist mathematisch die zweite Ableitung des Auslenkung nach der Zeit. Damit entsteht die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators:

$\backslash frac\{d^2\}\{dt^2\}\; s\; =\; \backslash frac\{D\}\{m\}\; \backslash cdot\; s$

Daraus ergibt sich eine Bewegung des Massepunktes um den Ruhepunkt (der Punkt, an dem die Federkraft die Gravitationskraft genau kompensiert):

$s(t)\; =\; A\; \backslash cdot\; \backslash cos(\; \backslash omega\; t\; )$

mit geeigneter Wahl der Anfangsbedingungen. Die Kreisfrequenz $\backslash omega$ ist durch

$\backslash omega\; =\; \backslash sqrt\{\; D\; \backslash over\; m\; \}$

gegeben, und hängt mit der Schwingungsdauer T des Federpendels über

$T\; =\; \{\; 2\backslash pi\; \backslash over\; \backslash omega\; \}$

zusammen. Die Schwingungdauer ist damit

$T\; =\; 2\backslash pi\; \backslash sqrt\{\; m\; \backslash over\; D\; \}$.

Alternativ lässt sich das Problem unter Verwendung der Lagrangefunktion lösen:

$L\; =\; T\; -\; V$

Die kinetische Energie T ist, unter Verwendung eines geeigeneten Koordinatensystems:

$T\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{2\}\; m\; \backslash dot\{x\}^2$

Zudem befindet sich das Teilchen in einem (harmonischen) Federpotenial. Sei D weiterhin die Federkonstante:

$V\; =\; \backslash frac\; \{1\}\{2\}\; D\; x^2$

Diese Lagrangefunktion in die Lagrangegleichung eingesetzt liefert folgende Teile:

$\{\backslash partial\{L\}\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; =\; -\; D\; x$

sowie:

$\{d\backslash over\; dt\}\; \{\backslash partial\{L\}\; \backslash over\; \backslash partial\; \{\backslash dot\{x\}\}\}\; =\; m\; \backslash ddot\{x\}$

Somit erhält man die oben aufgeführte, bereits bekannte Differentialgleichung eines harmonischen Oszillators:

$\backslash ddot\{x\}\; =\; \backslash frac\; \{-D\}\{m\}\; x$

Man mag sich fragen: Wieso diese Verkomplizierung? Nun der Lagrangeformalismus ermöglicht die (oft einfache) Beschreibung von nicht - trivialen Problemen. Nehmen wir an, unser Federpendel bewegt sich nicht mehr nur auf einer Geraden, sondern auch im Raum. Dies ist sehr praxisbezogen, da es kaum möglich ist, ein Pendel derart anzustoßen, das es sich genau auf einer Geraden bewegt. Dann führt das Federpendel zudem Pendelbewegungen in der x-y bzw. x-z Ebene aus, die denen eines mathematischen Pendels gleichen. Geringe Korrekturen bei der kinetischen sowie potentiellen Energie führen schnell zu Differentialgleichungen, die zumindest numerisch gelöst werden können.

Vereinfachungen

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Die aufgeführten Gleichungen beschreiben das Federpendel nur näherungsweise.

1. Die innere Reibung der Feder führt zu einer Abbremsung der Schwingung. Man spricht dann von einem gedämpften harmonischen Oszillator.
2. Die Feder selbst besitzt auch eine Masse, die zu beschleunigen ist. Die Schwingungsdauer wird bei Berücksichtigung der Federmasse zu

$T\; =\; 2\backslash pi\; \backslash sqrt\{\; m\; +\; m\_F\; /\; 3\; \backslash over\; D\; \}$

Anmerkungen

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Das Gravitationfeld der Erde hat keine Auswirkung auf das Federpendel. Die Erdbeschleunigung wirkt gleichstark an jedem Punkt des Federpendels. Nach Auslenkung der Feder in die Ruhelage wirkt der konstanten Gravitationskraft eine genau gleichstarke Federkraft entgegen.

Siehe auch

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• Fadenpendel
• Magnetisches Pendel
• Torsionspendel
• Unruh (Uhr)

Weblinks

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• http://www.walter-fendt.de/ph11d/federpendel.htm Animiertes Federpendel (Java-Applet) mit Darstellung von allen periodischen Größen

Physik