In der Mathematik und besonders in der Funktionalanalysis beschreibt die Faltung einen mathematischen Operator, welcher für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert, die die "Überlappung" zwischen f und einer gespiegelten verschobenen Version von g angibt.

Definition

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Für zwei auf dem reellen Intervall D definierte Funktionen $f,\; g:\; D\; \backslash to\backslash Bbb\; C$ wird die Faltung von f mit g als $f\; *\; g$ notiert und ist definiert als das Integral über das Produkt von f mit einer gespiegelten verschobenen Version von g:

$$

(f*g)(t) = \int_{D} f(\tau)g(t-\tau)\ d\tau

Der Integrationsbereich ist der Definitionsbereich D beider Funktionen. Im Fall eines beschränkten Definitionsbereichs werden f und g oft als periodisch fortgesetzt angenommen, damit der Faktor g(t - $\backslash tau$) stets definiert ist. Oft werden auch f und g stattdessen durch Null fortgesetzt.

Bedeutung

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Die Faltung ist ein geeignetes Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge.

Die lineare Filterung eines elektronischen Signals stellt die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort dar.

Bei optischen Abbildungen stellt das Bild die Faltung der originalen Bildfunktion mit der Punkt-Verbreiterungs-Funktion (Point Spread Function oder PSF) dar (Unschärfe).

Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung ebenfalls beschreiben.

Wenn X und Y zwei stochastisch unabhängige Zufallsvariablen mit den Wahrscheinlichkeitsdichten f und g sind, dann ist die Dichte der Summe X+Y $f*g$.

Eine anschauliche Deutung der Faltung ist die Gewichtung einer Funktion mit einer anderen. Der Funktionswert der Gewichtsfunktion an einer Stelle $t$ gibt an, wie stark der um $t$ zurückliegende Wert der gewichteten Funktion in den Wert der Ergebnisfunktion eingeht.

Bei einem linearen, zeitinvarianten Übertragungsglied ergibt sich die Antwort auf eine Anregung durch Faltung der Anregungsfunktion mit der Impulsantwort des Übertragungsglieds.

Diskrete Faltung

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In der Digitalen Signalverarbeitung und der digitalen Bildverarbeitung hat man es meist mit diskreten Funktionen zu tun. Die diskrete Faltung ist definiert als:

$$

(f * g)= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f^*

Auch dabei hängen die Summationsgrenzen von der Art der Funktionen f,g: D -> C ab (dabei ist D Teilmenge von Z).

Das Produkt zweier Polynome f und g ist z. B. die diskrete Faltung ihrer mit Nullen fortgesetzten Koeffizientenfolgen. Die dabei auftretenden unendlichen Reihen haben stets nur endlich viele Nichtnull-Summanden. Analog definiert man das Produkt zweier formaler Laurentreihen mit endlichem Hauptteil.

Ein in Bezug auf die Rechenleistung effizienter Algorithmus für die Berechnung der diskreten Faltung ist die Schnelle Faltung, die sich ihrerseits auf die Schnelle Fourier-Transformation (FFT) zur effizienten Berechnung der diskreten Fourier-Transformation stützt.

Eine interaktive Visualisierung als Java-Applet ist hierzu zu finden unter ^*.

Glättungskern

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Eine schöne Methode, eine Funktion f zu „glätten“, besteht darin, sie mit einem so genannten Glättungskern zu falten. Die entstehende Funktion F ist glatt (unendlich oft stetig differenzierbar), ihr Träger ist nur etwas größer als der von f, und die Abweichung in der L1-Norm lässt sich durch eine vorgegebene positive Konstante beschränken.

Ein d-dimensionaler Glättungskern (engl. mollifier) ist eine unendlich oft stetig differenzierbare Funktion $j:\backslash R^d\backslash to\backslash R\_+$, die nichtnegativ ist, ihren Träger in der abgeschlossenen Einheitskugel B(0, 1) hat und das Integral 1 besitzt.

Ein Beispiel ist der Glättungskern

$j(x)\; =\; \backslash begin\{cases\}$

\exp(\frac{-1}{1-|x|^2}) & -1 < x < 1 \\0 & \mathrm{ sonst}\end{cases}

Aus dieser Funktion kann man weitere Glättungskerne bilden, indem man für eine Zahl e zwischen 0 und 1 setzt:

$$

j_e(x) = \frac{1}{e^d}\cdot j\left(\frac{x}{e}\right) .

Glaettungskern1.png
Glättungskerne j und j_1/2

Beispiele

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Sei

$$

f:\R\to\R,\;x\mapsto \begin{cases}1 & -1 \le x \le 2 \\0 & \mathrm{ sonst} \end{cases} .

Durch Faltung von $f$ (rot dargestellt) mit dem Glättungskern $j\_\{1/2\}$ entsteht eine glatte Funktion $F=f\; *j\_\{1/2\}$ (blau dargestellt) mit kompaktem Träger, die von f in der L₁-Norm um etwa 0,4 abweicht, d.h.

$$

\int_{-\infty}^{\infty} |F(t)-f(t)| dt < 0,4 .

Glaettung_durch_Faltung.png

Bei der Faltung mit $j\_e$ für e kleiner 1/2 erhält man glatte Funktionen, die in der Integralnorm noch dichter bei f liegen.

Eigenschaften der Faltung

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• Kommutativität

$f*g\; =\; g*f$

• Assoziativität

$f*(g*h)\; =\; (f*g)*h\; =\; f*g*h$

• Distributivität

$f*(g+h)\; =\; (f*g)\; +\; (f*h)$

• Assoziativität mit der skalaren Multiplikation

$a(f*g)\; =\; (af)*g\; =\; f*(ag)$

Wobei a eine beliebige komplexe Zahl ist.

• Faltungstheorem

$\backslash mathcal\{F\}(f*g)\; =\; \backslash sqrt\{2\; \backslash pi\}\; \backslash ,\; (\backslash mathcal\{F\}f)\backslash cdot(\backslash mathcal\{F\}g)$

Wobei $\backslash mathcal\{F\}f$ die Fouriertransformierte von $f$ beschreibt. Ein ähnliches Theorem gilt auch für die Laplacetransformation.

• Ableitungsregel

D(f * g) = Df * g = f * Dg

Dabei ist Df die Ableitung f ' von f bzw. im diskreten Fall die Differenz Df(n) = f(n+1) - f(n).

• Faltung mit speziellen Funktionen
  • $f\; (x)*\backslash delta\; (x)=f\; (x)$, wobei $\backslash delta$ die Delta-Distribution ist. $\backslash delta\; (x)$ ist also das neutrale Element der Faltung.
  • $f\; (x)*\backslash Theta\; (x)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{x\}\; f(t)\; dt$, wobei $\backslash Theta$ die Sprungfunktion ist.

Verallgemeinerungen

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Die beiden Faltungsbegriffe können gemeinsam beschrieben und verallgemeinert werden durch einen allgemeinen Faltungsbegriff für komplexwertige m-integrierbare Funktionen auf einer geeigneten topologischen Gruppe G mit einem Maß m (z. B. einer lokalkompakten hausdorffschen topologischen Gruppe mit einem Haar-Maß):

$$

(f * g)(x) = \int_G f(t) g(x t^{-1}) dm(t)

Dieser Faltungsbegriff spielt eine zentrale Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, deren wichtigste Vertreter die Liegruppen bilden. Die Algebra der integrierbaren Funktionen mit dem Faltungsprodukt ist für kompakte Gruppen das Analogon zum Gruppenring einer endlichen Gruppe. Weiterführende Themen sind:

• Satz von Peter-Weyl
• Harmonische Analysis

Eine andere Verallgemeinerung ist die Faltung von Distributionen.

Anwendung

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In der Akustik (Musik) wird die Faltung (unter Zuhilfenahme der FFT = schnelle Fouriertransformation) auch zur digitalen Erzeugung von Hall und Echos und zur Anpassung von Klangeigenschaften verwendet. Dazu wird die Impulsantwort des Raumes, dessen Klangcharakteristik man übernehmen möchte, mit dem Signal, das man beeinflussen möchte, gefaltet.

In der Ingenieurmathematik und der Signalverarbeitung werden Eingangssignale (äußere Einflüsse) mit der Übertragungsfunktion (Einheitsantwort, Pulsantwort, Reaktion des betrachteten Systems auf die Einheitssprungfunktion am Eingang) gefaltet, um die Antwort eines LTI-Systems auf beliebige Eingangssignale zu berechnen. Dazu werden eigentlich immer die Fourier- oder Laplacetransformierten dieser beiden Funktionen verwendet.

In der numerischen Mathematik erhält man durch Faltung der Boxfunktion $N^0(t)$ mit $N^\{k-1\}(t)$ die B-Spline Basisfunktion $N^k(t)$ für den Vektorraum der stückweisen Polynome vom Grad k.

Ebenfalls in der numerischen Mathematik kann die Faltung für eine effiziente Berechnung der Multiplikation vielstelliger Zahlen eingesetzt werden, da die Multiplikation im wesentlichen eine Faltung mit nachfolgendem Übertrag darstellt. Die Komplexität dieses Vorgehens ist mit O(N log N) nahe linear, während das „Schulverfahren“ quadratischen Aufwand O(N*N) hat, wobei N die Zahl der Stellen ist. Dies trotz des scheinbar zusätzlichen Aufwands, der hierbei für die Fouriertransformation (und deren Umkehrung) erforderlich ist.

Siehe auch

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• Ähnlich dem Korrelationsoperator, aber nicht mit diesem zu verwechseln.
• Mischverteilung
• Dekonvolution

Literatur

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• Bourbaki: Integration
• Yosida: Functional Analysis

Weblinks

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• Interaktive Visualisierung der Faltung als Java-Applet
• Java-Applet zur Visualisierung der Faltung

Funktionalanalysis

 

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