Die Fakultät (manchmal auch Faktorielle genannt) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Definition

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Für alle nichtnegativen ganzen Zahlen $n\backslash in\backslash N\_0$ ist

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" $n!\; \backslash ,$  $=1\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdots\; (n-1)\; \backslash cdot\; n$  $=\backslash prod\_\{k=1\}^n\; k$

Beispiele

• $1!\; =\; 1\; \backslash ,$
• $3!\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3\; =\; 6$
• $5!\; =\; 1\; \backslash cdot\; 2\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; 5\; =\; 120$
• $0!\; =\; 1\; \backslash ,$ (hier liegt das leere Produkt vor)

Bemerkung

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$n!\; =\; n\backslash cdot\; (n-1)!$ für n > 0 folgt direkt aus der Definition. Zusammen mit der Eigenschaft $0!=1$ liefert dies eine rekursive Charakterisierung der Fakultät.

Bedeutung für die Kombinatorik

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In der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil $n!$ als die Zahl der Möglichkeiten interpretiert werden kann, $n$ Gegenstände in einer Reihe anzuordnen. Falls $X$ eine $n$-elementige Menge ist, so ist $n!$ auch die Zahl der bijektiven Abbildungen $X\backslash to\; X$ (die Anzahl der Permutationen).

Beispiel

Problem

Bei einem Autorennen starten 6 Fahrer. Wieviele Möglichkeiten gibt es für die Reihenfolge beim Zieleinlauf dieser Fahrer, wenn alle Fahrer das Ziel erreichen?

Lösung

Für den ersten Platz kommen alle 6 Fahrer in Frage. Ist der erste Fahrer angekommen, können nur noch fünf Fahrer um den zweiten Platz konkurrieren. Ist auch der zweite Platz vergeben, kommen für den 3. Platz nur noch 4 Fahrer in Frage, usw. Es gibt also 6! = 720 verschiedene Ranglisten für den Zieleinlauf.

Verwandte Begriffe

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• Ein Begriff, der in der abzählenden Kombinatorik eine ähnlich zentrale Stellung wie die Fakultät einnimmt, ist der Binomialkoeffizient

$\{n\backslash choose\; k\}=\backslash frac\{n!\}\{k!\backslash ,(n-k)!\}.$

Er gibt u.a. die Anzahl der Möglichkeiten an, eine k-elementige Teilmenge aus einer n-elementigen Menge zu bilden. Hier ist das beliebteste Beispiel das Zahlenlotto mit

$\{49\backslash choose\; 6\}=\backslash frac\{49!\}\{6!\backslash ,(49-6)!\}=13.983.816$

Möglichkeiten.

• Eine Verallgemeinerung der Fakultät für nicht natürlichzahlige Argumente kann mithilfe der Gammafunktion beschrieben werden, die für komplexe Zahlen $z$ mit $\backslash mathrm\{Re\}\backslash ,z>0$ durch

$\backslash Gamma(z)=\backslash int\_0^\backslash infty\; t^\{z-1\}e^\{-t\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$

definiert ist. Aus der Funktionalgleichung $\backslash Gamma(z+1)\; =\; z\; \backslash Gamma(z)$ und $\backslash Gamma(1)=1$ folgt

$\backslash Gamma(n+1)\; =\; n!$ für nichtnegative ganze Zahlen $n$.

Die Gammafunktion kann als meromorphe Funktion auf die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden.

• Eine prominente Stelle, an der Fakultäten vorkommen, ist die Taylorreihe einer Funktion; insbesondere finden sich Fakultäten in den Potenzreihen der Sinusfunktion oder der Exponentialfunktion.

• Die Doppelfakultät, die wesentlich seltener als die Fakultät vorkommt, ist das Produkt

n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \cdots 1 & \mathrm{f\ddot ur}\ n\ \mathrm{ungerade}.\end{cases}

Zum Beispiel ist (2n-1)!! die Anzahl der fixpunktfreien involutorischen Permutationen von 2n Elementen. Sie werden auch als echt involutorische Permutationen bezeichnet. Damit meint man involutorische Permutationen ohne Fixpunkte. Häufig werden statt der Doppelfakultät die expliziten Ausdrücke

$(2k)!!\; =\; 2^k\backslash cdot\; k!$ bzw. $(2k-1)!!\; =\; \backslash frac\{(2k)!\}\{2^k\backslash cdot\; k!\}$

benutzt.

• Auch die Subfakultät $!n$ ist außerhalb der Kombinatorik wenig verbreitet. Sie steht in engem Zusammenhang mit der Fakultät $n!$, sie bezeichnet die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen von n Elementen.

Numerische Berechnung

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Der numerische Wert für n! kann gut rekursiv berechnet werden, falls n nicht zu groß ist.

Die größte Fakultät, die ein handelsüblicher Taschenrechner noch ausrechnen kann, ist dabei 69!, da $70!\backslash approx\; 1,20\backslash cdot\; 10^\{100\}\; >\; 10^\{100\}$ schon außerhalb des verfügbaren Zahlenbereiches steht.

Wenn nun n sehr groß ist, kann man n! ziemlich gut durch die Stirling-Formel abschätzen:

$n!\backslash sim\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\; n\}\backslash left(\backslash frac\{n\}\{e\}\backslash right)^n$

Dabei bedeutet $\backslash sim$, dass der Quotient aus linker und rechter Seite für $n\backslash to\backslash infty$ gegen 1 konvergiert.

Weblinks

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• http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm
• Seite über Fakultäten mit Programmen
• Freies und plattformunabhängiges Programm, auch zur unbegrenzten Berechnung von Fakultäten (mit Java-Quelltext)
• Die ersten 999 Fakultäten (engl.)

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