Ein Fadenpendel besteht aus einem an einer Aufhängung befestigten Faden mit einem angehängten Massestück. Nach einer seitlichen Auslenkung schwingt das Massestück periodisch.

Bei geringer Auslenkung ist diese Schwingung näherungsweise eine Harmonische Schwingung, und das Fadenpendel ist in diesem Sinne ein Beispiel eines Harmonischen Oszillators.

Auftretende Kräfte

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Wenn das Massenstück um den Winkel α von der Senkrechten ausgelenkt ist, so treibt die Gravitation das Massenstück mit der Masse m mit einer Kraft F zurück:

$F\; =\; m\; \backslash cdot\; g\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash alpha)$

g ist die Erdbeschleunigung.

Kraftwirkung auf eine Masse

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Nach dem newtonschen Gesetz bewirkt die auf eine Masse wirkende Kraft eine Beschleunigung a derselben:

$F\; =\; m\; \backslash cdot\; a$

Gleichung des Pendels

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Die auf das Massenstück durch die Gravitation bewirkte Kraft wirkt der Masse entgegen:

$m\; \backslash cdot\; a\; =\; -\; m\; \backslash cdot\; g\; \backslash cdot\; \backslash sin(\backslash alpha)$

Der zurückgelegte Weg s entspricht dem Kreisbogen, den der Faden mit Länge l beschreibt (Winkel in Bogenmaß anzugeben):

$s\; =\; l\; \backslash cdot\; \backslash alpha$

Die Beschleunigung als zweite zeitliche Ableitung des Weges nach der Zeit ist demnach:

$a\; =\; \backslash frac\{d^2\}\{dt^2\}\; s\; =\; l\; \backslash frac\{d^2\}\{dt^2\}\; \backslash alpha$

Hieraus ergibt sich die Gleichung des Fadenpendels als:

$l\; \backslash frac\{d^2\}\{dt^2\}\; \backslash alpha\; =\; -\; g\; \backslash sin(\backslash alpha)$

Lösung der Pendelgleichung

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Die Gleichung des Fadenpendels kann in der Näherung einer kleinen Auslenkung (<10 Grad) durch eine analytisch lösbare Gleichung des Harmonischen Oszillators ersetzt werden:

$l\; \backslash frac\{d^2\}\{dt^2\}\; \backslash alpha\; =\; -\; g\; \backslash alpha$

weil für kleine Winkel die Näherung (Kleinwinkelnäherung)

$\backslash alpha\; \backslash approx\; \backslash sin(\backslash alpha)$

gilt.

Die Lösung der Gleichung ist (mit $\backslash alpha\_0$ als maximaler Auslenkung, und für geeignet gewählte Zeitzählung)

$\backslash beta(t)\; =\; \backslash alpha\_0\; \backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash left(\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{g\}\{l\}\}\; t\; \backslash right)$

Die Dauer einer Periode T beträgt beim Fadenpendel, welches mit einer kleinen Amplitude schwingt,

$T\; =\; 2\backslash pi\backslash sqrt\{\backslash frac\{l\}\{g\}\}$ .

Vereinfachungen

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Die aufgeführten Gleichungen beschreiben das Fadenpendel nur näherungsweise.

1. Das Massenstück wird als Punktmasse angenommen; alle Masse ist dann in einem Punkt konzentriert.
2. Die Masse des Fadens hat einen Einfluss, obwohl sie im Vergleich zum Massenstück gering ist.
3. Die Ersetzung des Sinus der Auslenkung durch die Auslenkung selbst bedeutet, dass die Gleichung nur näherungsweise gilt.
4. Durch Reibung mit der umgebenden Luft (vermeidbar im Vakuum) und am Aufhängepunkt wird das Pendel abgebremst. Man spricht von einer gedämpften Schwingung.

Siehe auch

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• Pendel
• Federpendel
• Magnetisches Pendel
• Torsionspendel
• Unruh (Uhr)
• Foucaultsches Pendel
• Mathematisches Pendel
• Physikalisches Pendel
• Buckinghamsches Π-Theorem

Weblinks

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• Untersuchungen an einem Fadenpendel (pdf-Dokument)
• Animierte Simulation eines Fadenpendels (Java-Applet)

Mechanik

Pendulum