Exzentrizität (Mathematik)

Die numerische Exzentrizität ist ein Maß für die Abweichung eines Kegelschnittes von der Kreisform und eine dimensionslose Größe. Die Exzentrizität eines Kreises ist 0, einer Ellipse zwischen 0 und 1, einer Parabel 1 und einer Hyperbel größer als 1.

EllipseDef.png Die Formel zur Berechnung der numerischen Exzentrizität ist:

\varepsilon = \frac{e}{a}

Mit $a^2 \pm b^2 = e^2$ (+ für die Hyperbel, - für die Ellipse) ergibt sich:

\varepsilon = \frac{\sqrt{a^2 \pm b^2}}{a}

Im Zähler steht e, die lineare Exzentrizität oder Brennweite:

e = \sqrt{a^2 \pm b^2}

wobei a für die große und b für die kleine Halbachse einer Ellipse bzw. imaginäre Halbachse der Hyperbel stehen. Im Falle der Parabel ist die Gleichung trivial: $e = a$ und $b = 0$

Zu den anderen in der Grafik verwendeten Bezeichnungen siehe Ellipse.

Exzentrizität in der Astronomie

Die numerische Exzentrizität dient in der Astronomie als Bahnelement der Beschreibung der Form einer Keplerbahn.

Zu Beachten ist, das die numerische Exzentrizität ε im astronomischen Gebrauch kurz als „die Exzentrizität“ und mitunter auch mit e bezeichnet wird, da die lineare Exzentrizität (mathematisch e) nicht verwendet wird, sondern durch die Periapsisdistanz a - e ersetzt wird.

Für ein Orbit in Form einer Keplerellipse gilt:

Die Apoapsisdistanz ist a + e.
$Exzentrizit\ddot at = \frac{Apoapsisdistanz - Periapsisdistanz}{Apoapsisdistanz + Periapsisdistanz}$

Für manche Fälle findet auch noch der Exzentrizitätswinkel φ als Bahnelement eine Anwendung:

\sin \varphi = \epsilon

Der Exzentrizitätswinkel ist die Abweichung der wahren Anomalie ν des Nebenscheitels S_N vom rechten Winkel.

\varphi = {90^\circ + \nu (S_N)}

oder

\epsilon = \cos \nu (S_N) \,

Dieser Zusammenhang eignet sich insbesondere, wenn man direkt mit der Keplergleichung hantiert.

Etymologie: Aus lateinisch ex „ausserhalb“ und centrum „Mittelpunkt“ heisst excentricus „aussermittig“: Im geozentrischen Weltbild wurde der Begriff benutzt, um Kreisbahnen zu beschreiben, in deren Mittelpunkt nicht die Erde steht.

Unter den Planeten unseres Sonnensystems hat die Venus mit 0,0067 die geringste Exzentrität (also die kreisähnlichste Bahn) und der Pluto mit 0,2444 die größte. Die Werte für die anderen Planeten, unter anderem auch für deren mittlere Entfernung zur Sonne, können in der Tabelle der Planetendaten nachgelesen werden. Die Werte für Aphel- und Periheldistanz können dem Artikel Apsis (Astronomie) entnommen werden.

Siehe auch: Ellipse, Keplersche Gesetze, Bahnelemente

Geometrie

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