In der Mathematik wird als Exponentialfunktion zur Basis $a\; >\; 0$ eine Funktion der Form $x\; \backslash mapsto\; a^x$ bezeichnet. In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten $x$ die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; von daher auch die Namensgebung.

Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne wird die Exponentialfunktion $x\; \backslash mapsto\; e^x$ mit der Eulerschen Zahl $e$ als Basis bezeichnet; hierfür ist auch die Notation $x\; \backslash mapsto\; \backslash exp(x)$ gebräuchlich. Unter Verwendung des Logarithmus lässt sich wegen der Identität $a^x\; =\; e^\{x\backslash cdot\backslash ln\; a\}$ jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis $e$ zurückführen, weshalb dieser Artikel im folgenden auf die Exponentialfunktion zur Basis $e$ fokussiert.

Exponentialfunktionen haben in den Naturwissenschaften, z. B. bei der Berechnung von Wachstumsvorgängen, eine herausragende Bedeutung. Exp_e.png

Definition

---

Die Exponentialfunktion (zur Basis $e$) $\backslash exp:\backslash R\backslash longrightarrow\backslash R$ kann auf den reellen Zahlen auf zwei Arten definiert werden:

$\backslash exp(x)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \{x^n\; \backslash over\; n!\}$   (Definition als Potenzreihe, genannt Exponentialreihe)

$\backslash exp(x)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n$    (Definition als Grenzwert einer Folge mit $n\; \backslash in\; \backslash N$).

Das $n!$ steht für „Fakultät von $n$“. Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion $\backslash exp:\backslash Bbb\; C\backslash to\backslash Bbb\; C$ auf den komplexen Zahlen geeignet, s. weiter unten.

Die Exponentialfunktion $\backslash exp:\backslash R\backslash to\; \backslash R$ auf der reellen Zahlengeraden ist positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus $\backslash ln(x)$, der für alle positiven reellen Zahlen $x$ definiert ist. Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Konvergenz der Reihe, Stetigkeit

---

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

$\backslash exp(x)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \{x^n\; \backslash over\; n!\}$

lässt sich für alle reellen und komplexen $x\backslash ;$ einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbreiches stetig sindKonrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 175, 98 Satz 2 für den reellen und S 418 für den komplexen Fall, ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt stetig.

Rechenregeln

---

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung $\backslash exp(x+y)=\backslash exp(x)\; \backslash cdot\; \backslash exp(y)$ erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:

$a^x\; :=\; \backslash exp(x\backslash cdot\backslash ln\; a)$ bzw. $a^x:=e^\{x\backslash cdot\backslash ln\; a\}$

für alle $a\; >\; 0\; \backslash ,$ und alle reellen oder komplexen $x\; \backslash ,$.

Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und "verwandeln" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze::

$a^0=1\; \backslash ,$ und $a^1=a\; \backslash ,$

$a^\{x+y\}=a^x\; \backslash cdot\; a^y$

$a^\{x\backslash cdot\; y\}=(a^\{x\})^\{y\}$

$a^\{-x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{a^x\}=\backslash left(\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash right)^x$

$a^x\; \backslash cdot\; b^x=(a\; \backslash cdot\; b)^x$

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen $a\; \backslash ,$ und $b\; \backslash ,$ und alle reellen oder komplexen $x$. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

$\backslash frac\{1\}\{a\}=a^\{-1\}$

$\backslash sqrt\{a\}=a^\backslash frac\{1\}\{2\}$

$\backslash sqrt*\{a\}=a^\backslash frac\{1\}\{n\}$

Ableitung: die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

---

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt:

$\backslash frac\{\backslash mbox\{d\}\}\{\backslash mbox\{d\}\; x\}\; \backslash exp(x)\; =\; \backslash exp(x)$

Wenn man zusätzlich

$\backslash exp(0)\; =\; 1\; \backslash ;$

fordert, ist die Exponentialfunktion im Reellen sogar die einzige Funktion, die dies leistet. Somit kann man die Exponentialfunktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung definieren.

Allgemeiner folgt für $a>0$ aus

$a^x\; =\; \backslash exp(x\backslash cdot\backslash ln\; a)$

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger exponentieller Funktionen:

$\backslash frac\{\backslash mbox\{d\}\}\{\backslash mbox\{d\}\; x\}\; a^\{b\backslash cdot\; x\}\; =\; b\backslash ln\; a\; \backslash cdot\; a^\{b\backslash cdot\; x\}$

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf "natürliche" Weise ins Spiel.

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

---

Exp_re.png

Exp_im.png

Wenn man die Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen definiert (über die gleichen Reihen), behält sie folgende wichtige Eigenschaften:

$\backslash exp(z+w)\; =\backslash exp(z)\; \backslash cdot\; \backslash exp(w)$

$\backslash exp(0)\; =\; 1\backslash !$

$\backslash exp(z)\; \backslash neq\; 0$

$\backslash exp^\backslash prime(z)\; =\; \backslash exp(z)$

für alle $z,\backslash ,w\; \backslash isin\; \backslash mathbb\{C\}$. Die Exponentialfunktion ist holomorph und periodisch mit einer imaginären Periode $2\; \backslash pi\; \backslash mathrm\{i\}$. Deshalb ist die Umkehrfunktion im Komplexen, der komplexe Logarithmus, eine vielwertige Funktion $\backslash ln(z)$.

Man kann auch hier eine allgemeine Potenz definieren:

$z^w\; =\; \backslash exp(\backslash ln(z)\; \backslash cdot\; w)$ mit $z,\backslash ,w\; \backslash isin\; \backslash mathbb\{C\}$,

was ebenso eine vielwertige Funktion ist (die oben angeführten Potenzgesetze gelten auch für vielwertige Funktionen).

Über die Eulersche Formel

$e^\{\backslash mathrm\{i\}\; \backslash varphi\}\; =\; \backslash cos\backslash left(\backslash varphi\; \backslash right)\; +\; \backslash mathrm\{i\}\; \backslash sin\backslash left(\; \backslash varphi\backslash right)$

erzeugt die Exponentialfunktion die trigonometrischen Funktionen:

$\backslash sin(z)\; :=\; \backslash frac\{e^\{\backslash mathrm\{i\}z\}\; -\; e^\{-\backslash mathrm\{i\}z\}\}\{2\backslash mathrm\{i\}\}$,

$\backslash cos(z)\; :=\; \backslash frac\{e^\{\backslash mathrm\{i\}z\}\; +\; e^\{-\backslash mathrm\{i\}z\}\}\{2\}$,

ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:

$\{\backslash rm\; sinh\}(z)\; :=\; \backslash frac\{e^z\; -\; e^\{-z\}\}\{2\}$,

$\{\backslash rm\; cosh\}(z)\; :=\; \backslash frac\{e^z\; +\; e^\{-z\}\}\{2\}$,

$e^z\; =\; \backslash cosh\backslash left(z\backslash right)\; +\; \backslash sinh\backslash left(z\backslash right)$.

Die Eulersche Formel ermöglicht auch die Interpretation der Polarkoordinatendarstellung eine komplexen Zahl $z$ als deren natürlichen Logarithmus $\backslash ln(z)$.

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

---

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist immer noch über die Reihe

$\backslash exp(x)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \{x^n\; \backslash over\; n!\}$

definiert, die für alle möglichen Werte absolut konvergiert. Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

$\backslash exp(x+y)\; =\backslash exp(x)\; \backslash cdot\; \backslash exp(y)$

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte $x$ und $y$, die kommutieren, also für Werte mit $x\backslash cdot\; y\; =\; y\backslash cdot\; x$ (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist). Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banachraum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungen der Form $\backslash dot\{y\}=A\backslash cdot\; y$ mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der $n\backslash times\; n$-Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der Jordanschen Normalform läßt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix $C$, so dass $C^\{-1\}AC=D+N$, wobei $D$ eine Diagonalmatrix und $N$ eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit

$\backslash exp(tA)=C\backslash exp(t(D+N))C^\{-1\}=Ce^\{tD\}\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}\backslash frac\{t^k\}\{k!\}N^k\backslash ,C^\{-1\}$

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension $n$ der Matrix $A$ ist.

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

---

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Berechnung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

Der Rest der $N$-ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf

$e^x\; =\; 1\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^N\; \backslash frac\{x^k\}\{k!\}\; +\; \backslash frac\{x^\{N+1\}\}\{(N+1)!\}\; \backslash ,\; r\_n(x)$ bei für alle $x$ mit führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität $\backslash exp(2z)\; =\; \backslash exp(z)^2$ , d.h. zu gegebenem $x$ wird $z\; :=\; 2^\{-K\}\; \backslash cdot\; x$ bestimmt, wobei $K$ nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, $y\_K\; \backslash approx\; e^z$ berechnet und $K$-fach quadriert: $y\_\{n-1\}\; :=\; y\_n^2$. $y\_0$ wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als $\backslash exp(x)$ zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass $\backslash ln(2)$, besser zusätzlich $\backslash ln(3)$ und $\backslash ln(5)$ (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten

$e^x\; =\; 2^k\; \backslash cdot\; e^\{x-k\; \backslash cdot\; \backslash ln(2)\}$ oder $e^x\; =\; 2^k\; \backslash cdot\; 3^l\; \backslash cdot\; 5^m\; e^\{x-k\; \backslash cdot\; \backslash ln(2)-l\; \backslash cdot\; \backslash ln(3)-m\; \backslash cdot\; \backslash ln(5)\}$

benutzt werden, um $x$ auf ein $y$ aus dem Intervall $\backslash ,\; ;\backslash ,\; 0\{,\}4$ oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwendigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und Beweise

---

Motivation

Auf die Exponentialfunktion stößt man, wenn man versucht, das Potenzieren auf beliebige reelle Exponenten zu verallgemeinern. Man geht dabei von der Rechenregel $a^\{x+y\}=a^x\; a^y$ aus und sucht daher eine Lösung der Funktionalgleichung $f(x+y)=f(x)f(y)$ mit $f(1)=a$. Nimmt man nun zunächst einmal an, dass eine Lösung tatsächlich existiert und berechnet deren Ableitung, so stößt man auf den Ausdruck

$\backslash frac$

definierte Zahl $e$ (bzw. $a=e^\{\backslash ln\; a\}$, $\backslash ln\; a$ muss dann also der Logarithmus zur Basis $e$ sein) nach der Kettenregel formal

$\backslash frac\{\backslash rm\; d\}=a^\{\backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; a\}\}\backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; a\}\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{a^\{h\}-1\}\{h\}=a^\{\backslash frac\{x\}\{\backslash ln\; a\}\}=e^x$.

$e$ erfüllt dann vermutlich

$\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{e^\{h\}-1\}\{h\}=1$.

Wie kann man diese Zahl $e$ berechnen? Setzt man rein formal $h=1/n$ und löst die Gleichung

$\backslash frac\{e^\{1/n\}-1\}\{1/n\}=1$, dann erhält man $e=\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n$. Für die Zahl

$e:=\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}\backslash left(1+\backslash frac\{1\}\{n\}\backslash right)^n$

ist also zu vermuten, dass

$\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{e^\{h\}-1\}\{h\}=1$

bzw.

$\backslash frac\{\backslash rm\; d\}=1+\backslash frac\{x\}\{n+1-x\}$.

Für $x\backslash geq\; 0$ und $n\_0>x$ ist die Folge daher für alle $n\backslash geq\; n\_0$ beschränkt:

$\backslash left(1+\backslash frac\{x\}\{n\}\backslash right)^n\; \backslash leq\; \backslash left(1+\backslash frac\{x\}\{n-x\}\backslash right)^n\backslash leq\; \backslash left(1+\backslash frac\{x\}\{n\_0-x\}\backslash right)^\{n\_0\}$.

Für $x\backslash leq\; 0$ und $n>\backslash left|x\backslash right|$ gilt offensichtlich die Schranke

$\backslash left(1+\backslash frac\{x\}\{n\}\backslash right)^n\; \backslash leq\; 1.$

Funktionalgleichung

Da $\backslash left(1+\backslash frac\{x\}\{n\}\backslash right)^n$ und $\backslash left(1+\backslash frac\{y\}\{n\}\backslash right)^n$ konvergieren, konvergiert auch deren Produkt

$\backslash left(1+\backslash frac\{x\}\{n\}\backslash right)^n\; \backslash left(1+\backslash frac\{y\}\{n\}\backslash right)^n=\; \backslash left(1+\backslash frac\{x+y\}\{n\}+\backslash frac\{xy\}\{n^2\}\backslash right)^n=\backslash left(1+\backslash frac\{x+y\}\{n\}\backslash right)^n\backslash left(1+\backslash frac\{xy\}\{n^2+n(x+y)\}\backslash right)^n$.

Ist nun , so liefert die Bernoullische Ungleichung für hinreichend große $n$

$1\backslash ge\backslash left(1+\backslash frac\{xy\}\{n^2+n(x+y)\}\backslash right)^n\backslash ge\; 1+\backslash frac\{xy\}\{n+x+y\}\backslash to\; 1$;

für $xy>0$ erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung $1+u\backslash le\; \backslash frac\{1\}\{1-u\}$ für und ebenfalls der Bernoullischen Ungleichung für hinreichend große $n$

$1\backslash le\; \backslash left(1+\backslash frac\{xy\}\{n^2+n(x+y)\}\backslash right)^n$$\backslash le\backslash frac\{1\}\{\backslash left(1-\backslash frac\{xy\}\{n^2+n(x+y)\}\backslash right)^n\}\backslash le\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash frac\{xy\}\{n+x+y\}\}\backslash to\; 1$,

die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung $\backslash exp(x+y)=\backslash exp(x)\backslash exp(y)$.

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Für reelle $x$ lässt sich die Exponentialfunktion mit

$\backslash exp(x)>\; 0\backslash ;$

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

$\backslash exp(x)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n$

und der Tatsache, dass $1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}>\; 0$ für hinreichend große $n\backslash ;$. Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

$\backslash exp(x)\backslash geq\; 1+x$

verschärfen. Für $x\backslash leq-1$ folgt sie aus $\backslash exp(x)\backslash geq\; 0$, für $x\backslash geq\; -1$ ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition

$\backslash exp(x)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n$

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge $\backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n$ sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung $1+u\backslash le\; \backslash frac\{1\}\{1-u\}$ für und der Bernoullischen Ungleichung erhält man für reelle und $n$ hinreichend groß eine Abschätzung nach oben:

$\backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n\; \backslash le\; \backslash frac\{1\}\{\backslash left(\; 1\; -\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n\}\backslash le\; \backslash frac\{1\}\{1-x\}$,

also

$\backslash exp(x)\backslash le\backslash frac\{1\}\{1-x\}$

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

$1=\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{1+h-1\}\{h\}\backslash le\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash exp(h)-1\}\{h\}\backslash le\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash frac\{1\}\{1-h\}-1\}\{h\}=\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{1\}\{1-h\}=1$.

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung $\backslash exp(x+y)=\backslash exp(x)\backslash exp(y)$ folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

$\backslash exp\text{'}(x)=\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash exp(x+h)-\backslash exp(x)\}\{h\}=\backslash exp(x)\backslash lim\_\{h\backslash to\; 0\}\backslash frac\{\backslash exp(h)-1\}\{h\}=\backslash exp(x).$

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

---

Will man die einfache Differentialgleichung: $y\text{'}=y$ lösen und setzt noch $f(0)=1$ voraus, so erhält man daraus eine Definition von $e^x$.

Umkehrfunktion

Setzt man $f(0)\; =\; 1$ nicht voraus, so benutzt man die Umkehrfunktion f(x) von $\backslash int\backslash limits\_\{1\}^\{x\}\backslash frac\{1\}\{t\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}\; t\; =\; \backslash ln\; x\; =\; g$. Denn $x\; =\; \backslash log\backslash ,y$, und nach den Eigenschaften der Logarithmusfunktion ist $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; x\}\{\backslash mathrm\{d\}\; y\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{y\}$, und man kann die Umkehrfunktion bilden und erhält $\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; y\}\{\backslash mathrm\{d\}\; x\}\; =\; e^x$. Da die untere Grenze gleich 1 ist, ist $g(1)\; =\; 0$ und bei der Umkehrfunktion $f(0)\; =\; 1$ nach Eigenschaft der Umkehrfunktion: $g(x)\; =\; f(y)$

Differentialgleichung

Erweitert man die Differentialgleichung auf $y^\backslash prime\; =\; \backslash alpha\; y$ für $y\; =\; f(x)$ und löst sie, so erhält man für y die Form $y\; =\; f(x)\; =\; ce^\{\backslash alpha\; x\}$.

Speziell für $\backslash alpha\; =\; 1$ ist $y\; =\; f(x)\; =\; ce^x$. Ist dann u eine Lösung und $u\; =\; ye^\{-x\}$, dann ist $u^\backslash prime\; =\; y^\backslash prime\; e^\{-x\}\; -\; ye^\{-x\}\; =\; e^\{-x\}(y^\backslash prime\; -\; y)$ und nach Voraussetzung $u^\backslash prime\; =\; 0$ und $u\; =\; const.\; =\; c$ und $y\; =\; f(x)\; =\; ce^x$.

Für beliebiges $\backslash alpha$ führen wir $u\; =\; ye^\{-\backslash alpha\; x\}$ ein . Es ergibt sich $u^\backslash prime\; =\; y^\backslash prime\; e^\{-\backslash alpha\; x\}\; -\; \backslash alpha\; ye^\{-\backslash alpha\; x\}$ und nach Voraussetzung wieder $u^\backslash prime\; =\; 0$ und $u\; =\; const.\; =\; c$ und $y\; =\; f(x)\; =\; ce^\{\backslash alpha\; x\}$.

Beispiele

Man besitzt nun ein mächtiges Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in der Physik und Chemie, wo man mittels eines Ansatzes vom Typ $y\text{'}=cy$ ein die Exponentialfunktion enthaltendes Ergebnis der Form $y=f(x)=ce^\{\backslash alpha\; x\}$ erhält.

Physik

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der theoretischen Physik seien genannt:

• Radioaktiver Zerfall
• Stetige Verzinsung
• Barometrische Höhenformel
• Verlauf chemischer Reaktionen
• Zeitliche Ladungskurven eines elektrischen Kondensators

Siehe auch: Exponentieller Vorgang

Chemie

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier die chemische Reaktion im Fall der unimolekularen Reaktionen skizziert: Es wird angenommen, dass ein Stoff in sehr viel reichlicherem Lösungsmittel gelöst ist (z.B. Rohrzucker in Wasser). Wir nehmen eine katalytische Umwandlung des Rohrzuckers in Invertzucker an. Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Massenwirkungsgesetz so formulieren:

Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz.

Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit x noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mit u(x), so ist die Reaktionsgeschwindigkeit $-\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; u\}\{\backslash mathrm\; d\; x\}$ und nach dem Massenwirkungsgesetz gilt die Gleichung

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\; u\}\{\backslash mathrm\; d\; x\}=-ku$

mit einer Materialkonstante k. Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge u des übriggeliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:

$u(x)=ae^\{-kx\}$ .

Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand u = 0, der völligen Umwandlung, an. Die Konstante a ist dabei offensichtlich die zur Zeit x = 0 vorhandene Menge.

Stochastik

Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn n Münzen auf n Empfänger verteilt werden und n sehr groß ist?

Die Eulersche Zahl e und die Näherungsformel für die Exponentialfunktion

(1) $e^x\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash left(\; 1\; +\; \{x\; \backslash over\; n\}\; \backslash right)^n$

erlauben eine einfache Abschätzung.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt 1/n und 1-1/n, keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt: (1-1/n) * (1-1/n). Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, n-mal erfolglos zu sein:

(2) P(keine Münze) = (1-1/n)ⁿ ~ 1/e ~ 0,37

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten n, wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten...):

(3) P(eine Münze) = (1-1/n)^n-1 * 1/n * n = (1-1/n)^n-1 ~ 1/e ~ 0,37

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze erhalten, lautet entsprechend:

(4) P(zwei Münzen und mehr) = 1-P(keine Münze)-P(eine Münze) = 0,26

Mehr Münzen als Empfänger

Wieviele Münzen m müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit P_m, keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus (1) folgt:

(5) P_m = (1-1/n)^m -> m = ln(P_m)/ln(1-1/n)

Oder, anders gefragt: wieviele Münzen m müssen es mehr sein als Empfänger n?

(6) m/n = ln(P_m)/ln(1-1/n)ⁿ ~ -ln(P_m)

Damit im Mittel nur 10% der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1% fast die 5-fache Anzahl.

Quellen

---

Siehe auch

---

• Zufall
• Mathematik für die Schule

Weblinks

---

• Veränderliche Exponentialfunktion (realisiert mit Geogebra)
• 2 dynamische Exponentialfunktionen im Vergleich

Stochastik

Analytische Funktion

Funció exponencial | Eksponentialfunktion | Exponential function | Función exponencial | Eksponenttifunktio | Exponentielle | פונקציה מעריכית | Exponentala | Funzione esponenziale | 指数関数 | 지수 함수 | Exponentiële functie | Funkcja wykładnicza | Função exponencial | Показательная функция | Exponenciálna funkcia | Експоненцијална функција | Exponentialfunktion | 指数函数