Das Euler-Maruyama-Verfahren, oft auch Euler-Maruyama-Schema oder stochastisches Euler-Schema genannt, ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen. Es wurde erstmals in den 1950er-Jahren durch den japanischen Mathematiker Gisiro Maruyama untersucht und basiert auf dem von Leonard Euler stammenden expliziten Euler-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher (deterministischer) Differentialgleichungen.

Während das explizite Euler-Verfahren seit seiner Erfindung stetig verbessert und weiterentwickelt wurde (implizites Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschrittverfahren) und selbst dadurch an praktischer Bedeutung verloren hat, ist Euler-Maruyama mangels entsprechender Alternativen noch immer das in der Praxis dominierende Verfahren.

Formulierung

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Gegeben sei ein Wiener-Prozess $(W\_t),\backslash ;t\; \backslash ge\; 0$ sowie dazu folgendes stochastisches Anfangswertproblem (S-AWP):

$dS\_t\; =\; a(t,S\_t)dt\; +\; b(t,S\_t)dW\_t,\; \backslash ;\backslash ;S\_0=A$.

Die Idee von Maruyama besteht nun darin, nicht nur (wie bei Euler) die Zeitachse in ein Gitter $\backslash \{\; i\backslash Delta\; t,\; \backslash ;\; i\; \backslash in\; \backslash N\_0\backslash \}$zu unterteilen, sondern diese Unterteilung auch in der Wahrscheinlichkeitsachse vorzunehmen: dazu definiert man

$\backslash Delta\; W\_i\; :=W\_\{i\; \backslash Delta\; t\}-W\_\{(i-1)\backslash Delta\; t\},\; \backslash ;\; i\; \backslash in\; \backslash N$.

Auf diesem Gitter berechnet sich die Approximation $\backslash hat\{S\}$ von S folgendermaßen:

$\backslash hat\{S\}\_0=A,\; \backslash ;\backslash ;\backslash hat\{S\}\_\{i\; \backslash Delta\; t\}\; =\; a((i-1)\backslash Delta\; t,\backslash hat\{S\}\_\{(i-1)\backslash Delta\; t\})\; \backslash Delta\; t\; +\; b((i-1)\backslash Delta\; t,\backslash hat\{S\}\_\{(i-1)\backslash Delta\; t\})\; \backslash Delta\; W\_i$.

Konvergenz des Verfahrens

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Das wichtigste theoretische Resultat bezüglich des Maruyama-Schemas beschreibt dessen starke Konvergenz (oder stochastische Konvergenz) gegen die gesuchte Lösung S: eine Folge von stochastischen Prozessen $(S\_t^\{(i)\}),\backslash ;0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; T,\; \backslash ;i\; \backslash in\; \backslash N$ auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum konvergiert definitionsgemäß stark mit Ordnung q gegen einen Prozess $(S\_t),\; \backslash ;0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; T$, wenn für eine Konstante c gilt:

$E(|S\_t^\{(i)\}-S\_t|)\; \backslash le\; c\; n^\{-q\}\; \backslash ;\backslash ;\backslash forall\; t\; \backslash in*$.

Im Falle des Maruyama-Schemas kann nun gezeigt werden: die Diskretisierung $(\backslash hat\{S\}\_t)$ konvergiert für $\backslash Delta\; t\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\; \backslash to\; 0$ stark mit Ordnung $\backslash frac\{1\}\{2\}$ gegen die Lösung S des S-AWP, wenn für alle reellen Zahlen x und alle positiven s,t die Folgende Schranke gilt:

$|a(s,x)-a(t,x)|\; +\; |b(s,x)-b(t,x)|\; \backslash le\; K(1+|x|)\backslash sqrt\{(|t-s|)\}$.

Von schwacher oder Verteilungskonvergenz mit Ordnung q spricht man hingegen, wenn für eine Konstante c gilt:

$|E(f(S\_t^\{(i)\}))-E(f(S\_t))|\; \backslash le\; c\; n^\{-q\}\; \backslash ;\backslash ;\backslash forall\; t\; \backslash in*$

für alle Funktionen f, die mindestens 2q+2-mal stetig differenzierbar sind und deren sämtliche Ableitungen durch Polynome beschränkt sind. Dies ist bei Maruyama dann der Fall, wenn die Funktionen a und b diese Bedingung ebenfalls erfüllen. Für hinreichend glatte Funktionen a und b kann das Euler-Maruyama also beliebig hohe schwache Konvergenzordnung erreichen, jedoch ist dabei nichts über die Konstanten c ausgesagt (diese können analog zur Konvergenzordnung gegen Unendlich gehen.)

Bemerkungen

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• Es gibt auch Lösungsverfahren höherer starker Ordnung als das Euler-Maruyama-Verfahren, etwa das Milstein-Verfahren, das meist Ordnung 1 erreicht. Diese Verfahren sind aber numerisch aufwändiger und resultieren nicht immer in einer schnelleren Konvergenz.

• Die oben angeführte Bedingung für die starke Konvergenz mit Ordnung 0.5 ist nur wenig strenger als die Bedingung an a und b, die die Existenz der Lösung S sicherstellt. Sie ist also beinahe immer erfüllt.

• An starker Konvergenz ist man in der Praxis nur sehr selten interessiert, da zumeist nicht eine spezielle Lösung zu einem speziellen Wiener-Prozess gesucht wird, sondern Vielmehr eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses.

• Ein Implizites Maruyama-Schema als Analogon zum impliziten Euler-Verfahren ist nicht möglich; dies liegt an der Definition des (stochastischen) Ito-Integrals, über das stochastische Differentialgleichungen definiert sind und das Funktionen immer am Anfang eines Intervalls auswertet (siehe dort). Implizite Verfahren konvergieren also hier gegen teilweise völlig falsche Ergebnisse.

• Die übliche Simulation einer Brownschen Bewegung durch einen Gaußschen Random Walk kann als Anwendung des Euler-Maruyama-Schemas auf die triviale Differentialgleichung $dS\_t\; =1\; dW\_t,\; \backslash ;\backslash ;S\_0=0$ interpretiert werden.

Literatur

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• Paul Glasserman: Monte Carlo Methods in Financial Engineering, Springer 2003, ISBN 0-387-00451-3

Stochastische Prozesse