Die Euler-Gleichungen oder auch Eulersche Gleichungen sind ein partielles Differentialgleichungssystem 1. Ordnung aus dem Bereich der Strömungsmechanik. Es handelt sich um den Impulssatz in differentieller Form, der zur mathematischen Beschreibung von Strömungsvorgängen dient.

Die Euler-Gleichungen (nach Leonard Euler) sind ein Sonderfall der Navier-Stokes-Gleichungen für reibungsfreie Fluide (Fluide mit Viskosität $\backslash eta\; =\; 0$). Sie lauten in vektorieller Schreibweise

$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathbf\{u\}\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash left(\; \backslash mathbf\{u\}\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; \backslash right)\; \backslash mathbf\{u\}\; =\; \backslash mathbf\{k\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash rho\}\; \backslash nabla\; p$ wobei $\backslash mathbf\{u\}=\backslash mathbf\{u\}(\backslash mathbf\{x\},\; t)$ der Geschwindigkeitsvektor, $\backslash rho$ die Dichte, $p=p(\backslash mathbf\{x\},t)$ der Druck, $\backslash mathbf\{x\}$ der Ortsvektor, $t$ die Zeit und $\backslash nabla$ der Nabla-Operator ist.

Die linke Seite der Gleichung beschreibt die substanzielle Beschleunigung, bestehend aus der lokalen und der konvektiven Beschleunigung, die sich aus der Einwirkung der spezifischen Kraft $\backslash mathbf\{k\}$ (Kraft pro Masse) und der Oberflächenkraft (Druckkraft) ergibt.

Eine ebenfalls übliche Formulierung der Euler-Gleichungen umfasst zusätzlich die skalaren Gleichungen für Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) und Energie. Diese 5 gekoppelten Differentialgleichungen zusammengenommen ergeben ein vollständiges Gleichungssystem, um die 5 unbekannten Größen der Geschwindigkeit $\backslash mathbf\{u\}$, des Druckes $p$ und der Dichte $\backslash rho$ für den Fall des idealen Gases zu berechnen.

Herleitung

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Die Eulergleichungen können auf verschiedene Weise hergeleitet werden: Ein verbreiteter Ansatz wendet das Transporttheorem von Reynolds auf das zweite Newtonsche Axiom an. Das Transporttheorem beschreibt die zeitliche Änderung einer physikalischen Größe in einem bewegten Kontrollvolumen.

Ein weiterer Ansatz geht von der Boltzmann-Gleichung aus: Der Kollisionsoperator wird dort mit drei möglichen Termen multipliziert, den sog. Kollisionsinvarianten. Nach Integration über die Teilchengeschwindigkeit entstehen Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiebilanz. Schließlich wird eine Skalierung für große Zeit- und Raumabmessungen durchgeführt (Hydrodynamische Limites), und das Ergebnis sind die erweiterten Eulergleichungen.

Mathematische Einordnung

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Die Eulergleichungen gehören zur Kategorie der nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Als solche treten Phänomene wie unstetige Lösungen, Schocks (Verdichtungsstöße) und Verdünnungswellen auf.

Die Eigenwerte der Gleichungen sind die Geschwindigkeit in Normalenrichtung (mit Vielfachheit der Dimension) und diese plus minus die Schallgeschwindigkeit. Damit sind die Euler-Gleichungen im eindimensionalen strikt hyperbolisch und es existieren brauchbare Existenz- und Eindeutigkeitsresultate. Im mehrdimensionalen sind sie nicht mehr strikt hyperbolisch aufgrund des mehrfachen Eigenwerts und die mathematische Lösung ist extrem schwierig.

Abgeleitete Beziehungen

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Aus den erweiterten Eulergleichungen kann eine Reihe gasdynamischer Grundgleichungen abgeleitet werden:

• die Bernoulligleichung,
• die akustische Wellengleichung,
• die inkompressiblen Eulergleichungen.

Diese Gleichungen erhält man insbesondere durch geeignete Skalierung der Eulergleichungen.

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