Der Erwartungswert ist ein Begriff aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist jener Wert, der sich in der Regel bei einer oftmaligen Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Mittelwert der tatsächlichen Ergebnisse ergibt. Er bestimmt die Lokalisation (Lage) einer Verteilung. Das Gesetz der großen Zahlen sichert in den meisten Fällen zu, dass der streng definierte Begriff mit der heuristischen Erläuterung übereinstimmt. Er ist vergleichbar mit dem arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung.

Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen $X$ wird meist mit $\backslash operatorname\{E\}(X)$ oder $\backslash mu$ bezeichnet.

Ein Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis des zugrunde liegenden Zufallsexperiments sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte $\backslash pm\; \backslash infty$ annehmen.

Definitionen

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Allgemein wird der Erwartungswert als das Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist $X$ eine P-integrierbare oder quasiintegrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\backslash Omega,\backslash Sigma,P)$ nach $(\backslash overline\{\backslash R\},\backslash mathcal\{B\})$, wobei $\backslash mathcal\{B\}$ die Borelsche σ-Algebra über $\backslash overline\{\backslash R\}$ ist, so definiert man

$\backslash operatorname\{E\}(X)\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; X\; \backslash ,\; dP\; =\; \backslash int\_\backslash Omega\; X(\backslash omega)P(d\backslash omega)\backslash ,$.

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren einfachere Formeln für den Erwartungswert, die im Folgenden aufgeführt sind.

Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen

Im diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist $X$ eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte $x\_1$, $x\_2$, ... mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten $p\_1$, $p\_2$, ... annimmt, errechnet sich der Erwartungswert $\backslash operatorname\{E\}(X)$ zu:

$\backslash operatorname\{E\}(X)=\backslash sum\_\{i\}\; x\_i\; p\_i=\backslash sum\_\{i\}\; x\_i\; P(X=x\_i)$

Sonderfall: abzählbar unendlich viele Werte einer diskreten Zufallsvariablen

Nimmt die Zufallsvariable $X$ abzählbar unendlich viele Werte an, dann liegt eine unendliche Reihe vor. In diesem Fall existiert der Erwartungswert $\backslash operatorname\{E\}(X)$ nur, wenn die Konvergenzbedingung

erfüllt ist, d.h. die Summe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen mit Dichtefunktion

Hat eine Zufallsvariable $X$ eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x)$, so berechnet sich der Erwartungswert zu

$\backslash operatorname\{E\}(X)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; x\; f(x)dx.$

Der Erwartungswert existiert nur, wenn das Integral für den Erwartungswert absolut konvergent ist, d.h. wenn das Integral $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash left|\; x\; \backslash right|\; f(x)dx$ konvergiert.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben eine Zufallsvariable $X$ und eine Zufallsvariable $Y$ eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f(x,y)$, so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion $g(X,Y)$ von $X$ und $Y$ zu

$\backslash operatorname\{E\}(g(X,Y))=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; g(x,y)\; f(x,y)dxdy.$

Der Erwartungswert existiert nur, wenn das Integral $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash left|\; g(x,y)\; \backslash right|\; f(x,y)dxdy$ konvergiert.

Insbesondere ist:

$\backslash operatorname\{E\}(X)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; x\; f(x,y)dxdy.$

Beispiele

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Würfeln

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable $X$ betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

$\backslash operatorname\{E\}(X)=\backslash sum\_\{i=1\}^6\; i\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; =\; 3\{,\}5$

Wenn man beispielsweise 1000 Mal würfelt, d.h. das Zufallsexperiment 1000 mal wiederholt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

St. Petersburger Spiel

Das sogenannte St. Petersburger Spiel ist ein Spiel mit unendlichem Erwartungswert: Man werfe eine Münze, zeigt sie Kopf, erhält man 2€, zeigt sie Zahl, darf man nochmals werfen. Wirft man nun Kopf, erhält man 4€, wirft man wieder Zahl, so darf man ein drittes mal werfen, usw. Man sieht sofort, dass der Erwartungswert

$\backslash operatorname\{E\}(X)=\; 2\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\; +\; 4\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{4\}\; +\; \backslash cdots\; =\; 1\; +\; 1\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^\backslash infty\; 2^i\backslash cdot\; \backslash frac\{1\}\{2^i\}\; =\; \backslash infty$

ist. Auch wenn man das Spiel noch so oft spielt, wird man am Ende nie eine Folge von Spielen haben, bei denen das Mittel aller Gewinne endlich ist.

Rechenregeln

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Der Erwartungswert ist linear, da das Integral ein linearer Operator ist. Daraus ergeben sich die folgenden zwei sehr nützlichen Regeln:

Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen

Die Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen ($X\_i$) läßt sich berechnen als die Summe der einzelne Erwartungswerte:

$\backslash operatorname\{E\}\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^nX\_i\backslash right)=\backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash operatorname\{E\}(X\_i)$

Lineare Transformation

Für die Lineare Transformation $Y=kX\; +\; d\backslash ,$ gilt:

$\backslash operatorname\{E\}(Y)=\backslash operatorname\{E\}(kX+d)=k\backslash operatorname\{E\}(X)+d$

weil

$$

\begin{matrix} \operatorname{E}(a + bX) = \displaystyle \int_{-\infty}^\infty (a + b x) f(x) \,dx = a & \underbrace{\int_{-\infty}^\infty f(x) \, dx} & + b & \underbrace{\int_{-\infty}^\infty x \cdot f(x) \, dx} & = a + b \operatorname{E}(X) \\ & 1 & & \operatorname{E}(X) & \end{matrix}

Insbesondere:

$\backslash operatorname\{E\}(cX)=c\backslash operatorname\{E\}(X)$

Erwartungswert des Produkts von n Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen $X\_i$ stochastisch voneinander unabhängig sind, gilt:

$\backslash operatorname\{E\}(\backslash prod\; X\_\{i\})\; =\; \backslash prod\; \backslash operatorname\{E\}(X\_\{i\})$

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungwert ausdrücken. Für jedes Ereignis $A$ gilt

$\backslash operatorname\{P\}(A)\; =\; \backslash operatorname\{E\}(\backslash mathrm1\_A)\backslash ,$,

wobei $\backslash mathrm1\_A$ die Indikatorfunktion von $A$ ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

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Wenn $Y=g(X)$ wieder eine Zufallsvariable ist, so kann man den Erwartungswert von $Y$ wie folgt berechnen:

$\backslash operatorname\{E\}(Y)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; g(x)\; f(x)dx$.

Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn $\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash left|\; g(x)\; \backslash right|\; f(x)dx$ konvergiert.

Bei einer diskreten Zufallsvariable verwendet man eine Summe:

$\backslash operatorname\{E\}(Y)=\backslash sum\_\{i\}\; g(x\_i)\; \backslash cdot\; p\_i$

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren damit der Erwartungswert existiert.

Quantenmechanischer Erwartungswert

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Ist $\backslash psi(r,t)=\backslash langle\; r|\backslash psi(t)\backslash rangle$ die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand $|\backslash psi(t)\backslash rangle$ und ist $\backslash hat\; O$ ein Operator, so ist

$\backslash langle\; \backslash hat\; O\; \backslash rangle\_\{|\backslash psi(t)\backslash rangle\}:=$

\langle\psi(t)|\hat O |\psi(t)\rangle= \int_{M^2} d^d r d^d r^\prime \psi^\star (r,t)\langle r|\hat O|r^\prime\rangle\psi(r^\prime,t)

der quantenmechanische Erwartungswert von $\backslash hat\; O$ im Zustand $|\backslash psi(t)\backslash rangle$. $M$ ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, $d$ ist die Dimension von $M$, und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich $\backslash hat\; O$ als formale Potenzreihe $O(\backslash hat\; r,\backslash hat\; p)$ schreiben (und das ist oft so), so verwendet man die Formel

$\backslash langle\; \backslash hat\; O\backslash rangle\_\backslash psi\; =\; \backslash int\_M\; d^d\; r\; \backslash psi^\backslash star(r,t)\; O(r,\backslash frac\{\backslash hbar\}\{i\}\backslash nabla\_r)\backslash psi(r,t).$

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts ist

$\backslash langle\backslash hat\; r\backslash rangle\; =$

\int_M d^d r\psi^\star(r,t)r\psi(r,t)= \int_M d^d r r|\psi(r,t)|^2 =\int_M d^d r rf(r,t),

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben. In der Physik schreibt man $\backslash rho$ (rho) statt $f$.

Erwartungswert von Matrizen

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Ist $X$ eine $m\; \backslash times\; n$ Matrix, dann ist der Erwartungswert der Matrix definiert als:

$$

\operatorname{E}^* = \operatorname{E} \begin{bmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,n} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & \cdots & x_{2,n} \\ \vdots \\ x_{m,1} & x_{m,2} & \cdots & x_{m,n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \operatorname{E}(x_{1,1}) & \operatorname{E}(x_{1,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{1,n}) \\ \operatorname{E}(x_{2,1}) & \operatorname{E}(x_{2,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{2,n}) \\ \vdots \\ \operatorname{E}(x_{m,1}) & \operatorname{E}(x_{m,2}) & \cdots & \operatorname{E}(x_{m,n}) \end{bmatrix}

Siehe auch

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• Varianz
• Gesetz der großen Zahlen
• Parameter (Statistik)
• Moment: Erwartungswerte $\backslash operatorname\{E\}(X^k)$ der Potenzen einer Zufallsvariable.
• Momenterzeugende Funktion
• Charakteristische Funktion (Stochastik)
• Bedingte Erwartung

Literatur

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• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3525031149

Statistik | Stochastik

قيمة متوقعة | Expected value | Esperanza matemática | Espérance mathématique | Valor esperado | תוחלת | Valore atteso | 期待値 | Verwachting (wiskunde) | Forventning | Wartość oczekiwana | Valor esperado | Математическое ожидание | Nilai ekspektasi | Väntevärde | Giá trị kỳ vọng | 期望值