Der Begriff Ereignis (auch: Zufallsereignis) bezeichnet in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine beliebige Menge von Ergebnissen eines Zufallsexperiments. Bei einem Würfelwurf ist beispielsweise das Ereignis „eine gerade Zahl würfeln“ die Menge {2,4,6} der entsprechenden Ergebnisse. Man spricht davon, dass ein Ereignis eintritt, wenn eines seiner Ergebnisse der Ausgang des Zufallsexperiments ist.

Das mit der Ergebnismenge $\backslash Omega$ identische Ereignis bezeichnet man als sicheres Ereignis, da es immer eintritt. Im Gegensatz dazu bezeichnet man das mit der leeren Menge identische Ereignis als unmögliches Ereignis. Es tritt nie ein. Beim Beispiel des Würfelwurfs ist das sichere Ereignis die Menge {1,2,3,4,5,6} und das unmögliche Ereignis die Menge $\backslash varnothing$.

Gleichheit von Ereignissen

Wenn das Ereignis $A$ das Ereignis $B$ in gleicher Weise nach sich zieht wie das Ereignis $B$ das Ereignis $A$, dann bezeichnet man die Ereignisse $A$ und $B$ als gleich. $A=B$

Untermenge

Tritt mit dem Ereignis $A$ stets auch das Ereignis $B$ ein, dann zieht das Ereignis $A$ das Ereignis $B$ nach sich, $A\backslash subseteq\; B$, $A$ bildet eine Untermenge von $B$.

Ausschließen

Wenn das gleichzeitige Auftreten von zwei Ereignissen $A$ und $B$ unmöglich ist, dann heißt es, die zwei Ereignisse schließen einander aus, $A\; \backslash cap\; B\; =\; 0$.

komplementäres Ereignis

Das zu dem Ereignis $A$ komplementäre Ereignis $\backslash bar\{A\}$ tritt genau dann ein, wenn das Ereignis $A$ nicht eintritt und wird mit $\backslash Omega\backslash backslash\; A$ bezeichnet. Speziell gilt:

$A\backslash backslash\; B\; =\; A\; \backslash cap\; \backslash bar\{B\}$

Summe von Ereignissen

Tritt ein Ereignis $C$ genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse $A$ oder $B$ eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis $C$ als die Summe der Ereignisse und benutzt dafür die Notation $C=A\; \backslash cup\; B$. In Verallgemeinerung auf $n$ Ereignisse schreibt man:

$C=\backslash bigcup\_\{i=1\}^n\; A\_i$

Differenz von Ereignissen

Wenn ein Ereignis $C$ nur dann eintritt, wenn ein Ereignis $A$, aber nicht gleichzeitig das Ereignis $B$ eintritt, dann bezeichnet man das Ereignis $C$ als Differenz der beiden Ereignisse $A$ und $B$.

Produkt von Ereignissen

Tritt ein Ereignis $C$ genau dann ein, wenn sowohl das Ereignisse $A$ als auch das Ereignis $B$ eintritt, dann heißt $C$ das Produkt der Ereignisse mit der Notation $C=A\; \backslash cap\; B$. In Verallgemeinerung auf $n$ Ereignisse schreibt man:

$C=\backslash bigcap\_\{i=1\}^n\; A\_i$

Unabhängiges Ereignis

Die zwei Ereignisse $A$ und $B$ heißen voneinander unabhängig, wenn

$P(A)\; =\; P(A|B)\backslash ,$

gilt.

Vollständiges System von Ereignissen

Die Ereignisse $A\_i\; (i=1,\backslash dots\; ,n)$ bilden ein vollständiges System von Ereignissen, wenn im Ergebnis eines Versuchs genau eines von ihnen eintreten muss.

$\backslash bigcup\_\{i=1\}^\{n\}\; A\_i\; =\; \backslash Omega\; \backslash quad\; A\_i\backslash cap\; A\_j=\backslash emptyset\; \backslash quad\; i\backslash neq\; j\backslash quad\; i,j=1,\backslash dots\; ,n$

Beispiel: Die Ereignisse $A\backslash cap\; B$, $\backslash bar\{A\}\backslash cap\; B$, $A\backslash cap\; \backslash bar\{B\}$, $\backslash overline\{A\backslash cup\; B\}$ bilden ein solches vollständiges System von Ereignissen.

Formel von de Morgan

Sind $A\_1,\; A\_2,\; \backslash dots$ zufällige Ereignisse, dann gelten die de Morganschen Formeln

$\backslash overline\{\backslash bigcap\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i\}\; =\; \backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; \backslash bar\{A\}\_i$

$\backslash overline\{\backslash bigcup\_\{i=1\}^\backslash infty\; A\_i\}\; =\; \backslash bigcap\_\{i=1\}^\backslash infty\; \backslash bar\{A\}\_i$

Weiterführendes

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Im Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Begriff Ereignis im Kontext mit den anderen Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie dargestellt.

Literatur

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• Rainer Schlittgen: Einführung in die Statistik. 9. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Oldenbourg 2000, ISBN 3-486-27446-5

Stochastik

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