Von einer Entscheidung unter Risiko spricht man im Rahmen der Entscheidungstheorie dann, wenn der Entscheidungsträger die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der möglichen Umweltzustände kennt. Diese Wahrscheinlichkeiten können sowohl objektiv bekannt sein (Lotto, Roulette) oder auf subjektiven Schätzungen (z.B. aufgrund von Vergangenheitsdaten) beruhen.

Allgemeines

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Entscheidung unter Risiko ist nach dem üblichen Sprachgebrauch ein Unterfall von Entscheidung unter Unsicherheit. Während man bei Kenntnis von Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände von Risiko spricht, liegt eine Entscheidung unter Ungewissheit vor, wenn man zwar die möglichen Umweltzustände kennt, jedoch keine Eintrittswahrscheinlichkeiten angeben kann. Bei Entscheidungen unter Risiko liegt eine Ergebnismatrix vor, die das Entscheidungsproblem darstellt: Der Entscheider hat die Wahl zwischen verschiedenen Alternativen $a\_i$, die in Abhängigkeit der möglichen Umweltzustände $s\_j$ verschiedene Ergebnisse $e\_\{ij\}$ zur Folge haben. Die Wahrscheinlichkeiten $w\_j$ der verschiedenen Umweltzustände sind bekannt, wobei gilt: $0\; \backslash le\; w\_j\; \backslash le\; 1$ und $\backslash sum\_\{j\}w\_j\; =\; 1$.

• Beispiel: 100 € sollen für ein Jahr angelegt werden. Zur Wahl stehen: eine Aktie ($a\_1$) oder der Sparstrumpf, der keine Zinsen abwirft ($a\_2$). Die möglichen Umweltzustände sind: Der Aktienkurs steigt ($s\_1$), er sinkt ($s\_2$) oder er bleibt gleich ($s\_3$).

Die Ergebnismatrix sieht dann zum Beispiel wie folgt aus:

!width="5%"| !width="10%" align="Right"|$s\_1$ !width="10%" align="Right"|$s\_2$ !width="10%" align="Right"|$s\_3$ |- ! $a\_1$ | align="Right"| 120 | align="Right"| 80 | align="Right"| 100 |- ! $a\_2$ | align="Right"| 100 | align="Right"| 100 | align="Right"| 100 |}

Der Entscheider rechnet mit einer Wahrscheinlichkeit von $w\_1$ damit, dass der Aktienkurs steigt, mit einer Wahrscheinlichkeit von $w\_2$ rechnet er mit einem Sinken des Aktienkurses und mit einer Wahrscheinlichkeit von $w\_3$ bleibt der Kurs unverändert.

Entscheidungsregeln

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Bei Entscheidungen unter Risiko können folgenden Entscheidungsregeln Anwendung finden:

Die Bayes-Regel

Die Bayes-Regel wird auch μ-Regel genannt. Hierbei orientiert sich der Entscheider nur nach den Erwartungswerten.

$\backslash max\_i\; :\; \backslash varphi\{\}\_\{ai\}\; =\; E(e\_i)\; =\; \backslash mu\{\}\_e\; =\; \backslash sum\_j\; w\{\}\_j\; \backslash cdot\; e\_\{ij\}$

Da nur der Erwartungswert der jeweiligen Alternative $a\_i$ bewertet wird, ist der Entscheider risikoneutral, er ist beispielsweise indifferent hinsichtlich der Teilnahme an einer Lotterie per Münzwurf, in der er mit 50% Wahrscheinlichkeit 1 € gewinnt und mit 50% Wahrscheinlichkeit 1 € verliert. Im obigen Beispiel ist der dann indifferent, wenn gilt: $e\_\{11\}$*$w\_1$ + $e\_\{12\}$*$w\_2$ + $e\_\{13\}$*$w\_3$ = 100 (da unabhängig von den Wahrscheinlichkeiten $w\_j$ eine sichere "Auszahlung"), hier also: 120*$w\_1$ + 80*$w\_2$ + 100*$w\_3$. Indifferenz würde z.B. vorliegen bei Gleichverteilung, wenn also gilt: $w\_1$ = $w\_2$ = $w\_3$ = $\backslash frac\{1\}\{3\}$.

Probleme bei Erwartungswerten

Das Beispiel des Petersburger Paradoxons zeigt, dass die Berücksichtigung von Erwartungswerten nicht dem Entscheidungsverhalten von Menschen in der Realität entspricht:

• Eine (ideale) Münze (d.h. Kopf und Zahl erscheinen jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%) wird geworfen.
• Der Spieler erhält als Auszahlung:
  • 2 €, wenn bereits beim ersten Wurf Kopf erscheint
  • 4 €, wenn erst beim zweiten Wurf Kopf erscheint
  • ...
  • $2^n$ €, wenn erst beim n-ten Wurf Kopf erscheint
• Der Preis der Lotterie soll ein fairer Preis sein, d.h. dem Erwartungswert entsprechen.

Ein Entscheider, der nur nach dem Erwartungswert entscheidet, wäre jetzt also bereit, für die Teilnahme an dieser Lotterie diesen fairen Preis, also den Erwartungswert zu zahlen (er wäre dann genau indifferent zwischen der Teilnahme und der Nicht-Teilnahme):

Der Erwartungwert ermittelt sich wie folgt:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass beim ersten Wurf Kopf erscheint ist genau $\{1\; \backslash over2\}$, die Auszahlung ist 2.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweiten Wurf Kopf erscheint ist genau $\{1\; \backslash over4\}$, die Auszahlung ist 4.
• ...
• Die Wahrscheinlichkeit, dass beim n-ten Wurf Kopf erscheint ist genau $\backslash frac\{1\}\{2^n\}$, die Auszahlung ist $2^n$.

Also ist E(X) = $\{1\; \backslash over2\}\; *\; 2\; +\; \{1\; \backslash over4\}\; *\; 4\; +\; ...\; +\; \backslash frac\{1\}\{2^n\}\; *\; 2^n$ + ... = 1 + 1 + ... + 1 + ... also unendlich.

In der Realität ist jedoch niemand bereit, unendlich viel Geld für die Teilnahme an der Lotterie zu zahlen.

Die μ-σ-Regel

In der μ-σ-Regel findet die Risikoeinstellung des Entscheiders dadurch Berücksichtigung, dass auch die Standardabweichung berücksichtigt wird. Bei risikoneutralen Entscheidern entspricht sie der Bayes-Regel, bei risikoaversen (risikoscheuen) Entscheidern sinkt die Attraktivität einer Alternative $a\_i$ mit zunehmender Standardabweichung. Bei risikofreudigen Entscheidern steigt die Attraktivität hingegen.

$\backslash max\_i\; :\; \backslash varphi\_\{ai\}\; =\; \backslash Phi\; (\; \backslash mu\_i,\; \backslash sigma\_i\; )$

Eine mögliche Form der μ-σ-Regel ist zum Beispiel:

$\backslash Phi\; (\; \backslash mu\_i,\; \backslash sigma\_i\; )\; =\; \backslash mu\_i\; -\; \backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash sigma\_i$

Für α < 0 gilt: Der Entscheider ist risikofreudig, eine Alternative mit einem höheren σ wird einer Alternative mit gleichem Erwartungswert μ aber niedrigerem σ vorgezogen. Für α > 0 gilt: Der Entscheider ist risikoavers, eine Alternative mit niedrigerem σ wird einer Alternative mit gleichem Erwartungswert, aber höherem σ vorgezogen. Für α = 0 entspricht die Regel der Bayes-Regel, der Entscheider ist risikoneutral, die Standardabweichung σ hat keinen Einfluss auf die Bewertung der Alternativen.

Als Voraussetzung für die Anwendung der μ-σ-Regel gelten im Allgemeinen normalverteilte zukünftige Renditen oder eine quadratische Nutzenfunktion.

Das Bernoulli-Prinzip

Bei der Anwendung des Bernoulli-Prinzips müssen die Ergebnisse $e\_\{ij\}$ erst mit Hilfe einer Risikonutzenfunktion in Nutzenwerte umgewandelt werden. Die individuelle Risikonutzenfunktion $u(e\_\{ij\})$ spiegelt dabei die Risikoeinstellung des Entscheiders wider. Eine Risikonutzenfunktion, die eine konkave Funktion ist, steht dabei für einen risikoaversen Entscheider, während eine konvexe Funktion einen risikofreudigen Entscheider abbildet. Es ist dabei allerdings möglich, dass die Risikonutzenfunktion sowohl konkave als auch konvexe Bereiche aufweist. Dies bildet zum Beispiel die empirisch beobachtbare Tatsache ab, dass Menschen sowohl Lotto spielen (Risikofreude), als auch Versicherungen abschließen (Risikoaversion).

Maximiert wird dabei der Erwartungswert der Risikonutzenfunktion.

$\backslash max\_i\; :\; \backslash varphi\_\{ai\}\; =\; \backslash sum\_j\; w\_j\; \backslash cdot\; u(e\_\{ij\})$

siehe auch

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• Entscheidung unter Sicherheit

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