Energie-Impuls-Tensor

Der Energie-Impuls-Tensor wird in seiner allgemeinsten Form folgendermaßen angegeben:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} w & \frac{S_x}{c} & \frac{S_y}{c} & \frac{S_z}{c}\\ \frac{S_x}{c} & G_{xx} & G_{xy} & G_{xz}\\ \frac{S_y}{c} & G_{yx} & G_{yy} & G_{yz}\\ \frac{S_z}{c}& G_{zx} & G_{zy} & G_{zz}\end{pmatrix}

w ist eine Energiedichte (Energie pro Volumen)
$(S_x,S_y,S_z)$ ist eine Energie-Strom-Dichte
$G_{ik}$ wird als Spannungs-Tensor bezeichnet, er beinhaltet den räumlichen Impulstransport, z.B. in den Diagonaltermen den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann. Die Nichtdiagonalterme des Spannungstensors beschreiben Scherspannungen.

Im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie ist so gegebene Energie-Impuls-Tensor ein Vierertensor der Stufe (2,0).

Die Energiedichte w ist bei kleinen Geschwindigkeiten von der Dichte der Ruhemasse dominiert, aber auch Photonen, die keine Ruhemasse besitzen, tragen mit ihrer Energie $E = h\nu$ zur Energiedichte bei.

Eine Energiestromdichte ist eine Energiedichte multipliziert mit einer Geschwindigkeit.

Geometrische raum-zeitliche Interpretation in 4D-Sprechweise

Zur Vereinfachung der Sprechweise wird in diesem Abschnitt die Konvention

c=1

(Normierung der Lichtgeschwindigkeit) verwendet. Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie

E=mc^2

werden dann Masse und Energie miteinander identifiziert.

Die Komponente $T^{00}$ (Energiedichte, Massendichte) beschreibt den Energiefluss (Massenfluss) in zeitartige Richtung, also den Energiefluss durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
Die Komponenten $T^{\alpha 0}$ ; $\alpha=1,2,3$ (räumlicher Energiefluss, räumlicher Massenfluss) beschreiben die Energiestromdichte (Massenstromdichte) in räumliche $\alpha$ -Richtung, also den Energiefluss durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.
Die Komponenten $T^{0\beta}$ ; $\beta=1,2,3$ (Impulsdichte) beschreiben den Impulsfluss der $\beta$ -Komponente des Impulses in zeitartige Richtung, also den Impulsfluss der $\beta$ -Komponente des Impulses durch ein raumartiges 3D-Volumenelement.
Die Komponenten $T^{\alpha\beta}$ ; $\alpha,\beta=1,2,3$ (Impulsstromdichte) beschreiben den Impulsfluss der $\beta$ -Komponente des Impulses in die räumliche $\alpha$ -Richtung, also den Impulsfluss der $\beta$ -Komponente durch ein 3D-Volumenelement mit einer zeitartigen und zwei raumartigen Achsen.

Die Symmetrie $T^{\alpha\beta}=T^{\beta\alpha}$ enthält folgende Information:

$T^{\alpha 0}=T^{0\alpha}$ : Die Massenstromdichte (Energiestromdichte) ist gleich der Impulsdichte; das ist eine Konsequenz aus dem Schwerpunktsatz.
Die Scherspannungen sind symmetrisch: Ein Transport der $\beta$ -Komponente des Impulses in $\alpha$ -Richtung ist stets begleitet von einem gleich grossen Transport der $\alpha$ -Komponente des Impulses in $\beta$ -Richtung ( $\alpha,\beta=1,2,3$ ); das ist eine Konsequenz der Drehimpulserhaltung.

Die Energie-Impuls-Erhaltung in der Relativitätstheorie wird durch die Bilanzgleichung

\sum_{\alpha=0}^3 \nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=0

beschrieben, wenn $T^{\alpha\beta}$ den Energie-Impuls-Tensor aller beteiligten Felder bezeichnet. Beschreibt $T^{\alpha\beta}$ nur den Energie-Impulstensor eines Feldes, das mit anderen Feldern wechselwirkt, zum Beispiel der elektromagnetischen Strahlung alleine (s. unten), so lautet die Energie-Impuls-Bilanzgleichung

\sum_{\alpha=0}^3\nabla_\alpha T^{\alpha\beta}=f^\beta

wobei die rechte Seite die Viererkraftdichte, also den Viererimpulsaustausch mit anderen Feldern pro 4D-Volumenelement bezeichnet. Die Komponenten $\beta=1,2,3$ beschreiben hier die Impulsbilanz, die $\beta=0$ -Komponente die Energiebilanz (Massenbilanz).

Differentialgeometrisch kann man den Energie-Impuls-Tensor als eine vektorwertige 3-Form auffassen: Jedem 3D-Volumenelement wird der Energie-Impuls-Vierervektor zugeordnet, der durch dieses 3D-Volumenelement hindurchfliesst. Die Umrechnung in einen Vierertensor der Stufe (2,0) erfolgt dann mit dem Hodge-Operator.

Der Energie-Impuls-Tensor in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Der Energie-Impuls-Tensor der Materie und Strahlung bildet die rechte Seite der Einstein-Hilbertschen Feldgleichungen und wirkt somit als "Quellterm" für die Krümmung der Raum-Zeit. Neu gegenüber der Newtonschen Gravitationstheorie ist, dass alle Komponenten des Tensors die Rolle von "Quellen" der Gravitation spielen, nicht nur die Massendichte $T^{00}$ . Bei moderaten Drücken, Scherspannungen und Geschwindigkeiten in Laborexperimenten bemerkt man das praktisch nicht, weil in natürlichen Einheiten gemessen die Massendichte der Materie meist um viele Grössenordnungen grösser als alle anderen Komponenten des Energie-Impulstensors ist.

Der Energie-Impuls-Tensor der Elektrodynamik

Im Lorentz-Heavisideschen Einheitensystem

In der Elektrodynamik im Heaviside-Lorentz-Einheitensystem (rationalisiertem Cgs) lautet der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (E^2+B^2)&  \vec{E} \times \vec{B}\\ \vec{E} \times \vec{B} & \frac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{\alpha\beta}-E_\alpha E_\beta-B_\alpha B_\beta \end{pmatrix}

(Im Gauss-Einheitensystem unterscheidet sich die Darstellung von der hier gegebenen um einen Faktor $\frac{1}{4\pi}$ .)

E ist das Symbol für die elektrische Feldstärke.
B ist das Symbol für die magnetische Flussdichte.
$\delta_{\alpha\beta}$ bezeichnet das Kronecker-Delta.

Die Komponente $T_{00}$ des Tensors ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes.
$\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}$ heißt Poynting-Vektor. Er beschreibt die Energiestromdichte und die Impulsdichte des elektromagnetischen Feldes.
Die Komponenten $\frac{1}{2}(E^2+B^2) \delta_{\alpha\beta}-E_\alpha E_\beta-B_\alpha B_\beta$ , $\alpha,\beta=1,2,3$ beschreiben den Spannungstensor (Impulsstromdichte) des elektromagnetischen Feldes, also in den Diagonalelementen den (Strahlungs-)Druck und in den Nichtdiagonalkomponenten die Scherspannung des Feldes.

Der Energie-Impulstrensor $(T^{\alpha \beta})$ ist eine $4\times 4$ -Matrix, denn $\vec{E} \times \vec{B}$ ist ein Vektor mit 3 Komponenten.

Im SI-Einheitensystem

Der Energie-Impuls-Tensor sieht in SI-Einheiten folgendermaßen aus:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2+\frac{B^2}{\mu_0})& c \epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}\\ c \epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}& \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2+\frac{B^2}{\mu_0}) \delta_{\alpha\beta}-\epsilon_0 E_\alpha E_\beta-\frac{1}{\mu_0} B_\alpha B_\beta \end{pmatrix}

$\epsilon_0$ ist das Symbol für die elektrische Feldkonstante.
$\mu_0$ ist das Symbol für die magnetische Feldkonstante.

Der Poynting-Vektor hat jetzt folgende Gestalt:

\vec{S}=c \epsilon_0 \vec{E} \times \vec{B}

(Die Umrechnung von der Darstellung im SI-System zum einfacheren Heaviside-Lorentz-Einheitensystem mit der Konvention $c=1$ erfolgt einfach durch Weglassen der Konstanten $\epsilon_0$ , $\mu_0$ und $c$ .)

Relativistische 4D-Notation für den elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensor

In relativistischer 4D-Notation kann man den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes wie folgt beschreiben:

T^{\alpha\beta}=\sum_{\gamma=0}^3 F^{\alpha\gamma} F_{\gamma}^{\;\;\beta}-\frac{1}{4}g^{\alpha\beta}\sum_{\mu=0}^3\sum_{\nu=0}^3 F_{\mu\nu}F^{\nu\mu}

verwendete Notationen:

$(F_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}0&-E_1&-E_2&-E_3\\E_1&0&B_3&-B_2\\E_2&-B_3&0&B_1\\E_3&B_2&-B_1&0 \end{pmatrix}$ bezeichnet den elektromagnetischen Feldstärketensor, und
$g=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ bezeichnet den metrischen Tensor der Speziellen Relativitätstheorie. Das Hoch- und Herunterziehen der Indizes erfolgt mit diesem Tensor.

Bilanzgleichungen für den Energie-Impulstensor in der Elektrodynamik

In 3D-Notation

Im folgenden bezeichnet

$\vec{S}=\vec{E} \times \vec{H}$ den Poynting-Vektor,
$\rho$ die elektrische Ladungsdichte eines geladenen Materiefeldes,
$\vec j$ die elektrische Stromdichte eines geladenen Materiefeldes,

Die Maxwell-Gleichungen für das elektromagnetische Feld implizieren folgende Bilanzgleichungen für die Komponenten des Energie-Impulstensors:

\frac{\partial}{\partial t} \left

^*+\operatorname{div}\vec S =\vec j \cdot\vec E

Die linke Seite stellt hier die lokale Energiebilanz des elektromagnetischen Feldes dar, und die rechte Seite die Leistungsdichte des elektromagnetischen Feldes am Materiefeld.

=(\vec j \times \vec B+ \rho\vec E)_\beta

, (

\beta=1,2,3

)

Die linke Seite stellt hier die lokale Impulsbilanz des elektromagnetischen Feldes dar, und die rechte Seite die Lorentzsche Kraftdichte des elektromagnetischen Feldes am geladenen Materiefeld.

In 4D-Notation

In speziell-relativistischer 4D-Notation kann man diese beiden Bilanzgleichungen auch so zusammenfassen:

\sum_{\alpha=0}^3 \frac{\partial}{\partial x_\alpha}T^\alpha_{\;\;\beta}= \sum_{\alpha=0}^3 j^\alpha F_{\alpha\beta}

\beta=0,1,2,3

Hierbei bezeichnet $(j^\alpha)=(\rho,\vec j)$ den Vierervektor des elektromagnetischen Viererstroms.

Die rechte Seite $\sum_{\alpha=0}^3 j^\alpha F_{\alpha\beta}$ bekommt wieder die Interpretation einer Lorentzschen Viererkraftdichte (Viererimpulsübertrag pro 4D-Volumenelement).

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik

Der Energie-Impuls-Tensor der Hydrodynamik geht in die Einsteinschen Feldgleichungen ein und ermöglicht die Angabe von Lösungen der Differentialgleichungen, mit denen die Dynamik des Kosmos beschrieben werden kann.

Er wird in Lehrbüchern der theoretischen Physik, die Kapitel über Kosmologie enthalten, in der Regel in kontravarianter Darstellung folgendermaßen angegeben:

$T^{ik}=(\rho+\frac{P}{c^2})u^iu^k-Pg^{ik}$

$(u^i)$ ist die Vierergeschwindigkeit
P beschreibt den Druck (z.B. eines Strahlungsfeldes)
$\rho$ ist die Massendichte
$(g^{ik})$ ist der Metrische Tensor der Speziellen Relativitätstheorie
c ist der Betrag der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit

Diese Beschreibung des Energie-Impuls-Tensors setzt eine Menge von Flüssigkeits-Teilchen voraus, an die folgende Bedingungen gestellt werden:

es liegt eine ideale Flüssigkeit vor und der Druck ist isotrop im Ruhesystem eines jeden Teilchens.

In der Kosmologie werden Galaxien als Elemente einer idealen kosmischen Flüssigkeit betrachtet.

Die innere Expansion einer Galaxis wird dabei nicht betrachtet, sie entfernt sich auf Grund der kosmischen Expansion von allen anderen Galaxien, ein Beobachter, der sich mit dieser Galaxis mitbewegt, wird relativ zu ihr als ruhend betrachtet.

In diesem Sinne ist eine Galaxie das Ruhesystem eines mitbewegten Beobachters.

In einem solchen Ruhesystem reduziert sich der Vektor der Vierergeschwindigkeit zu $(u^i)=(c,0,0,0)$ .

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich im Ruhesystem des Beobachters dadurch, dass der metrische Tensor $(g^{ik})$ durch den metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie ersetzt werden kann.

Man betrachte als Beispiel den freien Fall eines Fahrstuhles. Der mitbewegte Passagier fühlt sich schwerelos. Er ruht in seinem mitbewegten System, das sich auf Grund der Erdgravitation bewegt.

Dadurch vereinfacht sich der Energie-Impuls-Tensor:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & P & 0 & 0\\ 0 & 0 & P & 0\\ 0 & 0 & 0 & P\end{pmatrix}

Verschwindet auch der Druck P, so besteht der Energie-Impuls-Tensor nur noch aus der Energie/Massendichte:

(T^{\alpha \beta}) =\begin{pmatrix} \rho c^2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

Literatur

Richard P. Feynman, Vorlesungen über Physik, Oldenbourgh 1991 (SI-System), ISBN 3486251341
Walter Greiner, Klassische Elektrodynamik, Verlag Harri Deutsch, 1991 (Gauss-System), ISBN 3817111843
Torsten Fließbach, Allgemeine Relativitätstheorie, BI Wissenschaftsverlag, 1990, ISBN 3827413567
(mit einem Abschnitt über Hydrodynamik und einem Kapitel über Kosmologie)

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