Ellipsoide.png

Ein Ellipsoid ist ein höherdimensionales Analogon einer Ellipse.

Definition

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Die Gleichung eines Ellipsoids im dreidimensionalen Raum lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten im Hauptträgheitsachsen-System des Ellipsoids

$$

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1 mit positiven reellen Zahlen $a$, $b$ und $c$, den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q\; =\; (q\_\{ij\})$:

$$

E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}. Durch Hauptachsentransformation kann man $Q$ auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Für das Volumen $V$ gilt: $V\; =\; \backslash frac\{4\}\{3\}\; \backslash pi\; \backslash cdot\; a\backslash cdot\; b\backslash cdot\; c$ wobei wie oben $a$, $b$, $c$ die Radien in der Breite, Höhe und Tiefe bezeichnen.

Dreidimensionale Ellipsoide erhält man zum Beispiel durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen, wobei man von Rotationsellipsoiden spricht. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

Zur Berechnung der Oberfläche $S$ eines Rotationsellipsoids nehmen wir an, dass $a\; \backslash ge\; b\; \backslash ge\; c$ ist. Weiters seien $k\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}$ das Verhältnis der Halbachsen $c$ und $a$ und $\backslash epsilon\; =\; \backslash sqrt\{1\; -\; k^2\}$ die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der $xz$-Ebene $y\; =\; 0$ ergibt.

Dann ist für

• $a\; =\; b$ (Rotationsachse = $z$-Achse): $S\; =\; 2\; \backslash pi\; a^2\; \backslash left(\; 1\; +\; k^2\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{atanh\}\{\backslash left(\; \backslash epsilon\; \backslash right)\}\}\{\backslash epsilon\}\; \backslash right)$
• $b\; =\; c$ (Rotationsachse = $x$-Achse): $S\; =\; 2\; \backslash pi\; c^2\; \backslash left(\; 1\; +\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; \backslash frac\{\backslash arcsin\; \backslash left(\; \backslash epsilon\; \backslash right)\; \}\{\backslash epsilon\}\; \backslash right)$

siehe auch: Rotationsellipsoid, Paraboloid, Homöoid, Fokaloid, Walter Neuhäusser

Lineare Algebra

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