In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Ellipse eine spezielle geschlossene Kurve von ovaler Form, die wie die Parabel und die Hyperbel zu den Kegelschnitten gehört.

Definitionen und Begriffe

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Ellipse_parameters.png

Ellipse als Punktmenge

Eine Ellipse ist definiert als die Menge aller Punkte $P$ der Zeichenebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten $F\_1$ und $F\_2$ gleich 2a ist (in nebenstehender Abbildung blau eingezeichnet). Die Punkte $F\_1$ und $F\_2$ heißen Brennpunkte.

$E\; =\; \backslash \{P\; \backslash mid\; \backslash left|\backslash overline\{F\_1\; P\}\backslash right|\; +\; \backslash left|\backslash overline\{F\_2\; P\}\backslash right|\; =\; 2a\backslash \}$

Scheitel und Achsen

Die Punkte $S\_1$ und $S\_2$ mit größtem Abstand zum Mittelpunkt $M$ heißen Hauptscheitel, ihre Verbindungslinie $\backslash overline\{S\_1\; S\_2\}$ heißt Hauptachse bestehend aus den zwei großen Halbachsen $\backslash overline\{M\; S\_1\}$ und $\backslash overline\{M\; S\_2\}$.

Analog dazu spricht man von den Nebenscheiteln $S\_3$ und $S\_4$, welche die Nebenachse bestehend aus den kleinen Halbachsen $\backslash overline\{M\; S\_3\}$ und $\backslash overline\{M\; S\_4\}$ definieren. Die Länge der kleinen Halbachsen wird mit $b$ bezeichnet:

$\backslash left|\backslash overline\{M\; S\_3\}\backslash right|\; =\; \backslash left|\backslash overline\{M\; S\_4\}\backslash right|\; =\; b$

Haupt- und Nebenachse sind zueinander orthogonal.

Exzentrizität

Hauptartikel: Exzentrizität (Mathematik) Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt lineare Exzentrizität und wird mit $e$ bezeichnet. Die lineare Exzentrizität berechnet sich über das rechtwinklige Dreieck $\backslash triangle\; MF\_1S\_3$ mit dem Satz des Pythagoras:

$e\; =\; \backslash sqrt\{a^2-b^2\}$.

Neben der linearen Exzentrität e wird oft auch die dimensionslose numerische Exzentrizität $\backslash varepsilon\; \backslash in*$, verwendet:

$\backslash varepsilon\; =\; \backslash frac\{e\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2-b^2\}\}\{a\}$

Ist $\backslash varepsilon$ gleich $0$, so ist die Ellipse ein Kreis. Liegt sie nahe bei $1$, so handelt es sich um eine langgestreckte, schmale Ellipse.

Spezielle Abstände

Die Definitionsgleichung zusammen mit Symmetrieüberlegungen ergeben, dass der Abstand der Nebenscheitel $S\_3$ und $S\_4$ von den Brennpunkten $F\_1$ und $F\_2$ gerade gleich der Größe $a$ aus der Definition ist (in nebenstehender Abbildung grün eingezeichnet):

$\backslash left|F\_1\; S\_3\backslash right|\; =\; \backslash left|F\_2\; S\_3\backslash right|\; =\; \backslash left|F\_1\; S\_4\backslash right|\; =\; \backslash left|F\_2\; S\_4\backslash right|\; =\; a$

Die großen Halbachsen $\backslash overline\{M\; S\_1\}$ und $\backslash overline\{M\; S\_2\}$ haben ebenfalls gerade die Länge $a$. Diese Beziehung ergibt sich aus der Anwendung der Definitionsgleichung auf einen Hauptscheitel:

$\backslash left|F\_1\; S\_1\backslash right|\; +\; \backslash left|F\_2\; S\_1\backslash right|\; =\; 2a$

$\backslash left|M\; S\_1\backslash right|\; -\; e\; +\; \backslash left|F\_2\; S\_1\backslash right|\; =\; 2a$

$\backslash left|M\; S\_1\backslash right|\; -\; e\; +\; e\; +\; \backslash left|M\; S\_1\backslash right|\; =\; 2a$

$\backslash left|M\; S\_1\backslash right|\; =\; a$

Halbparameter

Die halbe Länge einer Ellipsensehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch nur Parameter) p der Ellipse:

$p\; =\; \backslash frac\{b^2\}\{a\}$

Eine andere Definition der Ellipse benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die perspektive Affinität (vgl. dazu den Artikel Affinität (Mathematik)). Hier ist die Ellipse als perspektiv affines Bild eines Kreises definiert. Dabei wird jeder Kreisdurchmesser auf einen Ellipsendurchmesser abgebildet.

Hauptlage und analytische Definition

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammenfällt, nennt man Ellipse in der 1. Hauptlage. Es gilt folgende Gleichung für die Koordinaten der Ellipsenpunkte einer solchen Ellipse:

$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Eigenschaften

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Brennpunkteigenschaft

Hauptartikel: Brennpunkt (Ellipse) | EllipseTangNorm.png Die Verbindungslinie zwischen einem Brennpunkt und einem Punkt der Ellipse heißt Brennlinie, Leitstrahl, oder Brennstrahl. Ihren Namen erhielten Brennpunkte und Brennstrahlen aufgrund der Eigenschaft, dass der Winkel zwischen den beiden Brennstrahlen in einem Punkt der Ellipse durch die Normale in diesem Punkt halbiert wird. Damit ist der Einfallswinkel, den der eine Brennstrahl mit der Tangente bildet gleich dem Ausfallswinkel der Tangente mit dem anderen Brennstrahl. Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, würde demnach an der Ellipsentangente so reflektiert, dass er den anderen Brennpunkt trifft. Bei einem ellipsenförmigen Spiegel treffen sich demnach alle von einem Brennpunkt ausgehenden Lichtstrahlen in dem anderen Brennpunkt.

Zwei Ellipsen mit übereinstimmenden Brennpunkten nennt man konfokal.

Anekdote

Archimedes soll die Brennpunkteigenschaft von Ellipsen ausgenutzt haben, um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen, die seine Heimatstadt Syrakus belagerten. Er ordnete viele Schilde zu einem großen Ellipsenbogen an und entzündete ein Feuer in einem Brennpunkt, so dass die Segel eines feindlichen Schiffes im anderen Brennpunkt in Flammen aufgingen.

Natürliches Vorkommen und Anwendung in der Technik

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Ellipsenhälfte. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, verstärkt („Flüstergewölbe“). Das gleiche Prinzip wird heute zur Zertrümmerung von Nierensteinen mit Stoßwellen verwendet.

Direktrix

EllipseDef2.png Eine Parallele zur Nebenachse im Abstand $\backslash frac\{a^2\}\{e\}$ bezeichnet man als Direktrix oder Leitlinie. Für einen beliebigen Punkt P der Ellipse ist das Verhältnis seines Abstands von einem Brennpunkt zu dem Abstand von der Direktrix $d$ auf der entsprechenden Seite der Nebenachse gleich der numerischen Exzentrität:

$\backslash mathrm\{\backslash left|P\; F\_1\backslash right|\; :\; \backslash left|P\; d\_1\backslash right|\; =\; \backslash left|P\; F\_2\backslash right|\; :\; \backslash left|P\; d\_2\backslash right|\; =\; \backslash varepsilon\}$

Ein gegebener Brennpunkt $F$, eine Gerade $d$ (die Direktrix) und eine Zahl definieren umgekehrt eine Ellipse $e$ als Menge aller Punkte $P$ für die das Verhältnis ihres Abstandes $\backslash left|FP\backslash right|$ vom Brennpunkt zu ihrem Abstand $\backslash left|Fd\backslash right|$ von der Geraden $d$ gleich $\backslash varepsilon$ ist.

Konjugierte Durchmesser

Konjugierte Ellipsendurchmesser.png Betrachtet man zu einem beliebigen Ellipsendurchmesser (einer Ellipsensehne durch den Ellipsenmittelpunkt) $\backslash overline\{P\; P\text{'}\}$ alle parallelen Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte ebenfalls auf einem Ellipsendurchmesser $\backslash overline\{Q\; Q\text{'}\}$. Man nennt $\backslash overline\{Q\; Q\text{'}\}$ den zu $\backslash overline\{P\; P\text{'}\}$ konjugierten Durchmesser. Bildet man zum konjugierten Durchmesser erneut den konjugierten Durchmesser, so erhält man wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser. In der Zeichnung stimmt also der zu $\backslash overline\{Q\; Q\text{'}\}$ konjugierte Durchmesser mit dem ursprünglichen Durchmesser $\backslash overline\{P\; P\text{'}\}$ überein.

Konstruktion

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Näherung über Krümmungskreise

Ellipsen lassen sich (mit Zirkel und Lineal) nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise an den Scheitelpunkten und eines Kurvenlineals lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse zu schneiden, braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnutzen.

Gärtnerkonstruktion

Eine einfache Möglichkeit, die Ellipse genau zu zeichnen, ist die sogenannte Gärtnerkonstruktion. Sie benutzt direkt die Ellipsendefinition: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen, schlägt man zwei Pflöcke in die Brennpunkte und befestigt daran die Enden einer Schnur mit der Länge 2a. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Da diese Methode neben Zirkel und Lineal zusätzliche Hilfsmittel benötigt, handelt es sich nicht um eine Konstruktion der klassischen Geometrie.

Ellipsenzirkel

L-Ellipsenzirkel.png | Frans_van_Schooten_-_Ellipsenzirkel.png Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Konstruktion nach de la Hire

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach de la Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte bekannt sein müssen.

Rytzsche Achsenkonstruktion

Sind zwei konjugierte Durchmesser gegeben, können mit Hilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und die Achsen) bestimmt werden.

Die Ellipse als Kegelschnitt

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EllipseKegelschnitt.png

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Beispiele

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• Schaut man schräg auf einen Kreis (beispielsweise auf die Deckfläche eines Kreiszylinders), so erscheint dieser Kreis als Ellipse. Präziser: Eine Parallelprojektion bildet Kreise im Allgemeinen auf Ellipsen ab.

• In der Astronomie kommen Ellipsen häufig als Bahnen von Himmelskörpern vor. Nach dem ersten keplerschen Gesetz bewegt sich jeder Planet auf einer Ellipse um die Sonne, wobei diese in einem der beiden Brennpunkte steht. Entsprechendes gilt für die Bahnen von wiederkehrenden (periodischen) Kometen, Planetenmonden oder Doppelsternen. Allgemein ergeben sich bei jedem Zweikörperproblem der Gravitationskraft zueinander ähnliche Ellipsenbahnen, wenn die Energie nicht ausreicht, die Entfernung der beteiligten Himmelskörper unendlich groß werden zu lassen.

• Für jeden zwei- oder dreidimensionalen harmonischen Oszillator erfolgt die Bewegung auf einer Ellipsenbahn. So schwingt etwa der Pendelkörper eines Fadenpendels näherungsweise auf einer elliptischen Bahn, falls die Bewegung nicht auf eine Ebene beschränkt ist.

• Ellipsen werden oft in Grafiken verschiedenster Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im alten ORF-Logo bekannt.

Formelsammlung

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Ellipsengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Mittelpunkt $(x\_0|y\_0)$, Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\backslash frac\{(x-x\_0)^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{(y-y\_0)^2\}\{b^2\}\; =\; 1$

Herleitung der Ellipsengleichung:

Es gelten die Beziehungen:

$r\_1\; +\; r\_2\; =\; 2a$ (1)

(Definition der Ellipse | $r\_1$ und $r\_2$ sind jeweils die Strecken $r\_1\; =\; \backslash overline\{F\_1P\_1\}$ bzw $r\_2\; =\; \backslash overline\{F\_2P\_2\}$)

$e^2\; =\; a^2\; -\; b^2$ (2)

(wenn x = 0 entsteht ein gleichschenkliges Dreieck mit Seiten $r\_1$ und $r\_2$, die gleich lang sind)

Man geht vom Mittelpunkt aus:

$y^2\; =\; r\_1^2\; -\; (e\; +\; x)^2$ (3.1) (Mit Pythagoras)

$y^2\; =\; r\_2^2\; -\; (e\; -\; x)^2$ (3.2)

(1) nach $r\_2$ umstellen:

$r\_2\; =\; 2a\; -\; r\_1$ (quadrieren)

$r\_2^2\; =\; 4a^2\; -\; 4ar\_1\; +\; r\_1^2$ (4)

(4) eingesetzt in (3.2):

$y^2\; =\; 4a^2\; -\; 4ar\_1\; +\; r\_1^2\; -\; (e\; -\; x)^2$ (4.2)

(4.2) gleichgesetzt mit (3.1):

$r\_1^2\; -\; (e\; +\; x)^2\; =\; 4a^2\; -\; 4ar\_1\; +\; r\_1^2\; -\; (e\; -\; x)^2$ ($r\_1^2$ kann gekürzt werden)

$-\; e^2\; -\; 2ex\; -\; x^2\; =\; 4a^2\; -\; 4ar\_1\; -\; e^2\; +\; 2ex\; -\; x^2$ ($-\; e^2$ und :$-\; x^2$ kürzen)

$4a^2\; -\; 4ar\_1\; +\; 4ex\; =\; 0$ (5)

(5) umstellen nach $r\_1$:

$\backslash frac\{(a^2\; +\; ex)\}\{a\}\; =\; r\_1$ (6)

(6) eingesetzt in (3.1):

$y^2\; =\; (\backslash frac\{(a^2\; +\; ex)\}\{a\})^2\; -\; (e\; +\; x)^2$

$y^2\; =\; a^2\; +\; 2ex\; +\; \backslash frac\{e^2x^2\}\{a^2\}\; -\; e^2\; -\; 2ex\; -\; x^2$ (7) ($2ex$ kürzen)

(2) in (7) eingesetzt:

$y^2\; =\; a^2\; +\; \backslash frac\{((a^2\; -\; b^2)x^2)\}\{a^2\}\; -\; a^2\; +\; b^2\; -\; x^2$ ($a^2$ kürzen)

$y^2\; =\; \backslash frac\{(a^2x^2-x^2b^2)\}\{a^2\}\; +\; b^2\; -\; x^2$

$y^2\; =\; x^2\; -\; \backslash frac\{x^2b^2\}\{a^2\}\; +\; b^2\; -\; x^2$ ($x^2$ kürzen)

$a^2y^2\; =\; a^2b^2\; -\; x^2b^2$ ($\backslash frac\{/(a^2b^2)\}\{\}$)

$\backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{x^2\}\{a^2\}$

$\backslash frac\{x^2\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y^2\}\{b^2\}\; =\; 1$(q.e.d.)

Ellipsengleichung (Parameterform)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse:

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; a\; \backslash \; \backslash cos\; t\; \backslash \backslash \; y\; =\; b\; \backslash \; \backslash sin\; t\; \backslash end\{matrix\}\backslash right.\; \backslash \; ,\; \backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 2\backslash pi$

Mittelpunkt $(x\_0|y\_0)$, Hauptachse parallel zur x-Achse:

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}\; x\; =\; x\_0\; +\; a\; \backslash \; \backslash cos\; t\; \backslash \backslash \; y\; =\; y\_0\; +\; b\; \backslash \; \backslash sin\; t\; \backslash end\{matrix\}\backslash right.\; \backslash \; ,\; \backslash \; 0\; \backslash le\; t\; \backslash le\; 2\backslash pi$

Ellipsengleichung (Polarkoordinaten)

Hauptachse waagrecht, Mittelpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; \backslash varepsilon^2\; \backslash cos^2\; \backslash varphi\}\}$

Hauptachse waagrecht, rechter Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r\; =\; \backslash frac\{p\}\{1\; +\; \backslash varepsilon\; \backslash cos\; \backslash varphi\}$

Hauptachse waagrecht, linker Brennpunkt als Pol, Polarachse längs Hauptachse nach rechts:

$r\; =\; \backslash frac\{p\}\{1\; -\; \backslash varepsilon\; \backslash cos\; \backslash varphi\}$

Tangentengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x\_B|y\_B)$

$\backslash frac\{x\_B\; x\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{y\_B\; y\}\{b^2\}\; =\; 1$

Mittelpunkt $(x\_0|y\_0)$, Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt $(x\_B|y\_B)$

$\backslash frac\{(x\_B\; -\; x\_0)\; (x\; -\; x\_0)\}\{a^2\}\; +\; \backslash frac\{(y\_B\; -\; y\_0)\; (y\; -\; y\_0)\}\{b^2\}\; =\; 1$

Winkel der Ellipsentangente

Tangente_an_Ellipse.jpg

In der nebenstehenden Grafik gilt das Winkelverhältnis

$\backslash varphi\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\; \backslash left(1\; -\; \backslash varepsilon^2\; \backslash right)\; \backslash tan(\backslash beta)\backslash right)$

und nachdem man die Formel für $\backslash varepsilon$ eingesetzt hat:

$\backslash varphi\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\backslash frac\; \{b^2\}\{a^2\}\; \backslash tan(\backslash beta)\backslash right)$

Herleitung

Winkel_der_Ellipsentangente.png

Das Argument läuft über eine affine Transformation in einen Kreis und wieder zurück.

Der Punkt $P\_e$ der Ellipse ist das affine Bild des entsprechenden Punktes $P\_k$ auf dem Hauptkreis, der das Urbild der Ellipse unter einer affinen Transformation ist. Die Koordinaten von $P\_k$ sind $(a\; \backslash cos(t),\; a\; \backslash sin(t))$ für einen noch zu bestimmenden Winkel $t$, wobei $a$ der Kreisradius ist. Die Koordinaten der Ellipsenpunkte gehen durch eine Stauchung ihrer y-Koordinaten mit dem Faktor $b\; /\; a$ aus den korrespondierenden Kreis-Punkten hervor. Daher hat $P\_e$ die Koordinaten:

$(a\; \backslash cos(t),\; a\backslash ,\backslash frac\{b\}\{a\}\backslash ,\backslash sin(t))\; =\; (a\; \backslash cos(t),\; b\; \backslash sin(t))$

Dies ist auch die Koordinatenform der Ellipse.

Durch Ableitung erhält man den Richtungsvektor ihrer Tangente $t\_e$ im Punkt $P\_e$: $(-a\backslash ,\backslash sin(t),\; b\backslash ,\backslash cos(t))$. Der Richtungsvektor der Normalen $n\_e$ ergibt sich durch Vertauschen der Koordinaten und Invertieren einer Koordinate zu: $(b\backslash ,\backslash cos(t),\; a\backslash ,\backslash sin(t))$.

Daraus ergibt sich die Steigung der Normalen zu

$\backslash frac\{a\; \backslash ,\; \backslash sin(t)\}\{b\; \backslash ,\; \backslash cos(t)\}$

und damit ihr gesuchter Steigungswinkel $\backslash beta$ zu

$\backslash beta\; =\; \backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{a\; \backslash ,\backslash sin(t)\; \}\{\; b\; \backslash ,\backslash cos(t)\}\backslash right)$

Dieser Winkel ist bisher ausgedrückt in Abhängigkeit des Winkels $t$ und muss noch in Abhängigkeit von $\backslash varphi$ umgeschrieben werden.

In obiger Abbildung sieht man, dass

$a\; \backslash ,\backslash cos(t)\; =\; x\; =\; r\text{'}\; \backslash cos(\backslash varphi)$

und

$a\; \backslash sin(t)\; =\; y\_k\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; y\_e\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; r\text{'}\; \backslash sin(\backslash varphi)$

Dies eingesetzt in die Gleichung für $\backslash beta$ ergibt:

$$

\beta = \arctan\left(\frac{a \sin(t)}{b \cos(t)}\right) = \arctan\left(\frac{\frac{a}{b} r' \sin(\varphi) }{ b \frac{r' }{ a} \cos(\varphi)}\right)

Durch Zusammenfassen der Brüche, das Wegfallen von $r\text{'}$ und das Ersetzen der $\backslash sin\; /\; \backslash cos$ Funktion durch $\backslash tan$ erhält man schlussendlich die gewünschte Gleichung zum Winkelverhältnis:

$\backslash beta\; =\; \backslash arctan\backslash left(\backslash frac\{a^2\}\{b^2\}\; \backslash tan(\backslash varphi)\backslash right)$

Durch Auflösen nach $\backslash varphi$ ergibt sich das oben angeführte Winkelverhältnis

$\backslash underline\{\backslash underline\; \{\backslash varphi\; =\; \backslash arctan\; \backslash left(\backslash frac\{b^2\}\{a^2\}\; \backslash tan(\backslash beta)\backslash right)\}\}$

Weiters kann man auch das Winkelverhältnis der Ellipsentangente zur Tangente des Hauptachsenkreises ableiten. Indem die Formeln...

$\backslash tan(\backslash varphi)\; =\; \backslash frac\{y\_e\}\{x\}\; ;\backslash ;\; \backslash tan(t)\; =\; \backslash frac\{y\_k\}\{x\}$

nach $x$ auflöst und gleichsetzt und weiters $y\_k=\; \backslash frac\{a\}\{b\}\; y\_e$ einsetzt, erhält man das Winkelverhältnis:

$\backslash underline\{\backslash underline\; \{\backslash varphi\; =\; \backslash arctan\backslash left(\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; \backslash tan(t)\; \backslash right)\}\}$

Normalengleichung (kartesische Koordinaten)

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt $(x\_B|y\_B)$

$\backslash left(\; 1-\{\backslash frac\; \{y\}\{y\_B\}\}\; \backslash right)\; \backslash frac\; \{b^2\}\{a^2\}+\{\backslash frac\; \{x\}\{x\_B\}\}=1$

Krümmungsradien

Krümmungsradius in einem der beiden Hauptscheitel:

$r\_H\; =\; \backslash frac\{b^2\}\{a\}$

Krümmungsradius in einem der beiden Nebenscheitel:

$r\_N\; =\; \backslash frac\{a^2\}\{b\}$

Weitere Formeln

Flächeninhalt:

$A=\backslash pi\; \backslash ;\; a\; \backslash ;\; b\; =\; \backslash pi\; \backslash ;\; a^2\; \backslash ;\; \backslash sqrt\{1-\backslash varepsilon^2\}$

Umfang:

$U\; =\; 4a\backslash int\_0^\{\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; \{\backslash sqrt\; \{1\; -\; \backslash varepsilon^2\; (\backslash cos\; t)^2\}\}\; \backslash \; dt=4a\; \backslash ;\; E(\backslash varepsilon)$

mit $\backslash varepsilon=\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{a^2-b^2\}\}\{a\}$; $E(\backslash varepsilon)$ heißt elliptisches Integral. Dieses Integral lässt sich nicht in einer geschlossenen integralfreien Form schreiben. Es gibt aber die Reihenentwicklung

$U=2a\; \backslash \; \backslash pi\; \backslash left\backslash ;\; -\; \backslash ;\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^2\; \backslash varepsilon^2\; \backslash ;\; -\; \backslash ;\; \backslash left(\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 3\}\{2\; \backslash cdot\; 4\}\backslash right)^2\; \backslash frac\{\backslash varepsilon^4\}\{3\}\; \backslash ;\; -\; \backslash ;\; \backslash dots\; \backslash ;\; -\; \backslash left(\backslash frac\{1\; \backslash cdot\; 3\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdot\; \backslash ;\; \backslash dots\; \backslash ;\; \backslash cdot\; (2n-1)\}\{2\; \backslash cdot\; 4\; \backslash cdot\; 6\; \backslash cdot\; \backslash ;\; \backslash dots\; \backslash ;\; \backslash cdot\; 2n\}\backslash right)^2\; \backslash frac\{\backslash varepsilon^\{2n\}\}\{2n-1\}\; \backslash ;\; -\; \backslash ;\; \backslash dots\; \backslash right$

und die Näherung

$U\; \backslash approx\; \backslash pi\; (a+b)\; \backslash left(1+\; \backslash frac\{3\backslash lambda^2\}\{10+\backslash sqrt\{4-3\backslash lambda^2\}\}\; \backslash right)$ mit $\backslash quad\; \backslash lambda\; =\; \backslash frac\{a-b\}\{a+b\}\backslash ,$;   relativer Fehler: $\backslash approx\; \backslash frac\{3\backslash varepsilon^\{20\}\}\{2^\{36\}\}$

Formelsammlung

Siehe auch

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• Erweitert man die Ellipsengleichung für den Raum, oder rotiert eine Ellipse um ihre Hauptachse, entsteht ein Ellipsoid.
• Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse zur Lamésche Kurve (Superellipse).
• Homöoid
• Fokaloid

Weblinks

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Berechnungen:

• Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung
• Website zum Berechnen eines Ellipsenumfang

Konstruktion:

• Webseite mit der Möglichkeit Ellipsenkonstruktionen interaktiv auszuprobieren
• http://members.aol.com/geometrie11/koorgeom/vellipse.html
• http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/homepage/faecher/mathe/geometri/analytgeo/ellipsenzirkeleuk.htm
• http://home.eduhi.at/teacher/alindner/geonext/geonext/klasse4/ellipse/ell_zirkel_kreis.htm
• http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/bielefeldproj2/plugin_cin/e_streifenkonstr.htm

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