Das Hookesche Gesetz (nach Sir Robert Hooke) beschreibt das elastische Verhalten von Festkörpern, deren elastische Verformung $\backslash varepsilon$ linear proportional zur anliegenden Spannung $\backslash sigma$ ist. Dieses Verhalten ist z.B. für Metalle typisch. Für einen prismatischen Körper der Länge $L$ und dem Querschnitt $A$ gilt demzufolge:

$\backslash sigma\; =\; E\; \backslash cdot\; \backslash varepsilon$

oder

$\backslash Delta\; L\; =\; \backslash frac\{1\}\{E\}\; \backslash cdot\; F\; \backslash cdot\; \backslash frac\{L\}\{A\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{E\}\; \backslash cdot\; L\; \backslash cdot\; \backslash sigma$

Der Proportionalitätsfaktor $E$ wird Elastizitätsmodul genannt. Er ist eine Werkstoffkonstante.

Das Hookesche Gesetz gilt nur für lineare elastische Deformationen. Diese Bedingung ist in der Regel für kleine Deformationen erfüllt. Bei Deformationen oberhalb der so genannten Proportionalitätsgrenze werden die Verformungen nicht-linear, d.h. die Verzerrung $\backslash varepsilon$ ist nicht mehr proportional zur Verspannung $\backslash sigma$, die Verformung kann aber dennoch reversibel sein. Hier gelten abgewandelte Materialmodelle, die durch eigene Elastizitätstensoren (z.B. sog. Neo-Hooke'sches Materialmodell oder nach Mooney-Rivlin) beschrieben werden. Erst für noch größere Deformationen wird die Verformung irreversibel (plastische Deformation), und es findet keine vollständige Rückformung beim Nachlassen der Spannung statt.

Federkonstante

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Das Hookesche Gesetz gilt für einen großen Dehnungsbereich bei Zug- und Druckfedern. In diesem Spezialfall einer eindimensionalen linearen elastischen Deformation vereinfacht sich der Elastizitätsmodul $E$ zur Federkonstante $D$, die Verzerrung $\backslash varepsilon$ des Körpers zu seiner relativen Längenänderung $\backslash Delta\; l\backslash ,/\backslash ,l$ und statt der mechanischen Spannung $\backslash sigma$ (Kraft pro Angriffsfläche) kann direkt die angelegte Kraft $F$ angegeben werden. Das Hookesche Gesetz kann dann in der einfachen Form

$\backslash Delta\; l=\backslash frac\{1\}\{D\}\; F$

als eine lineare Funktion zwischen der angelegten Kraft $F$ und der daraus resultierenden Längenänderung $\backslash Delta\; l$ dargestellt werden (Hookesche Gerade). Die Verlängerung einer Feder durch eine Gewichtskraft G ist also proportional zu diesem.

Das Hookesche Gesetz findet nicht nur in der Mechanik, sondern auch in der Molekülphysik Anwendung. Hierbei beschreibt die Federkonstante, die in diesem Fall Kraftkonstante genannt wird, die Stärke einer chemischen Bindung.

Verallgemeinertes Hookesches Gesetz

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Im allgemeinen Fall wird das Hookesche Gesetz durch eine lineare Tensorgleichung (4. Stufe!) ausgedrückt:

$\backslash tilde\backslash sigma=\backslash tilde\{\backslash tilde\; C\}\backslash tilde\backslash varepsilon$,

mit dem Elastizitätstensor $\backslash tilde\{\backslash tilde\; C\}$, der die elastischen Eigenschaften der deformierten Materie kennzeichnet. Da der Tensor $\backslash tilde\{\backslash tilde\; C\}$ 81 Komponenten $C\_\{ijkl\},\backslash ;i,j,k,l=1\backslash ldots3$ aufweist, ist er schwierig zu handhaben. Aufgrund der Symmetrie von Verzerrungs- und Spannungstensor reduziert sich die Zahl der unabhängigen Komponenten jedoch auf 36. Damit lässt sich das hookesche Gesetz in eine einfacher zu handhabende Matrixgleichung überführen, wobei die elastischen Konstanten in einer $6\backslash times6$-Matrix, sowie die Verzerrung und die Spannung als sechskomponentige Vektoren dargestellt werden (Voigtsche Notation):

$$

\begin{pmatrix} \sigma_{1} \\ \sigma_{2} \\ \sigma_{3} \\ \sigma_{4} \\ \sigma_{5} \\ \sigma_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{51} & C_{52} & C_{53} & C_{54} & C_{55} & C_{56} \\ C_{61} & C_{62} & C_{63} & C_{64} & C_{65} & C_{66} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \varepsilon_{1} \\ \varepsilon_{2} \\ \varepsilon_{3} \\ \varepsilon_{4} \\ \varepsilon_{5} \\ \varepsilon_{6} \end{pmatrix}. Aus energetischen Überlegungen ergibt sich, dass auch diese $6\backslash times6$-Matrix symmetrisch ist. Die Anzahl der unabhängigen $C\_\{ij\},\backslash ;i,j=1\backslash ldots6$ (elastische Konstanten) reduziert sich damit weiter auf maximal 21.

Die maximal sechs unabhängigen der beiden symmetrischen Tensoren für Dehnung und Spannung werden häufig in der folgenden Weise auf zwei sechskomponentige Vektoren verteilt:

$$

\begin{matrix} &\epsilon_{xx}:=\varepsilon_x\,,\; \epsilon_{yy}:=\varepsilon_y\,,\; \epsilon_{zz}:=\varepsilon_z\,,\; \epsilon_{xy}=\epsilon_{yx}:=\sqrt{2}\gamma_{xy}\,,\\ &\epsilon_{yz}=\epsilon_{zy}:=\sqrt{2}\gamma_{xz}\,,\; \epsilon_{zx}=\epsilon_{xz}:=\sqrt{2}\gamma_{yz}\,, \end{matrix} also

$\backslash mathbf\backslash varepsilon^T=\backslash left(\backslash varepsilon\_x\backslash ,,\backslash ;\backslash varepsilon\_y\backslash ,,\backslash ;\; \backslash varepsilon\_z\backslash ,,\backslash ;\backslash sqrt\{2\}\backslash gamma\_\{xy\}\backslash ,,\backslash ;\backslash sqrt\{2\}\backslash gamma\_\{xz\}\backslash ,,\backslash ;$

\sqrt{2}\gamma_{yz}\right)\,, und analog

$\backslash mathbf\backslash sigma^T=\backslash left(\backslash sigma\_x\backslash ,,\backslash ;\backslash sigma\_y\backslash ,,\backslash ;\backslash sigma\_z\backslash ,,\backslash ;$

\sqrt{2}\tau_{xy}\,,\;\sqrt{2}\tau_{xz}\,,\;\sqrt{2}\tau_{yz}\right)\,.

Der Faktor $\backslash sqrt\{2\}$ ist notwendig, um Übereinstimmung zwischen der hier eingeführten Matrix/Vektor-Darstellung Tensorgleichung und der Tensorgleichung $\backslash tilde\backslash sigma=\backslash tilde\{\backslash tilde\; C\}\backslash tilde\backslash varepsilon$ herzustellen. (Statt $\backslash sqrt\{2\}$ bei den Vektordarstellungen für sowohl Verzerrung als auch Spannung kann auch der Faktor 2 bei nur einem der beiden Vektoren verwendet werden.)

Isotrope Medien

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Im Spezialfall isotroper Medien reduziert sich die Anzahl der unabhängigen elastischen Konstanten von 21 auf 2. Wesentliche Eigenschaften der Deformation lassen sich dann durch die Querkontraktionszahl charakterisieren. Das Hookesche Gesetz lässt sich dann darstellen in der Form

$\backslash bar\backslash varepsilon\; =\; L^\{-1\}\; \backslash bar\backslash sigma$, mit

$L^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{E\}$

\begin{bmatrix} 1 &-\nu &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &1 &-\nu &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot & 1 &0 &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0 &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu &0 \\ \cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1+\nu \end{bmatrix}, bzw.

$L\; =\; \backslash frac\{E\}\{1+\backslash nu\}$

\begin{bmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&\frac{\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\frac{1-\nu}{1-2\nu}&0&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &1&0&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&1&0\\ \cdot &\cdot &\cdot &0&0&1 \end{bmatrix}, wobei E der Elastizitätsmodul (auch Youngsmodul) und $\backslash nu$ die Querkontraktionszahl sind. Beide sind vom Werkstoff bestimmt. Für eindimensionale Deformationen vereinfacht sich die Beziehung zu

$\backslash varepsilon=\backslash frac\{1\}\{E\}\backslash sigma$.

Relativistisch invariante Formulierung

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Das Hookesche Gesetz wird nahezu ausschließlich in seiner klassischen Formulierung verwendet. Eine relativistisch invariante Formulierung wurde von Gron Tudor Jones kurz nach der Entdeckung der speziellen Relativitätstheorie entwickelt. Motiviert wird dies durch das Bellsche Raumschiffparadoxon ^*.

Literatur

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Schnell, Gross, Hauger: Technische Mechanik 2 (Elastostatik), Springer Verlag, ISBN 3-540-64147-5

Siehe auch

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• Konfiguration (Mechanik)
• Kontinuumsmechanik
• Verformung
• Spannungstensor

Weblinks

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• http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/hooke.html Interaktives Modell zum Hookeschen Gesetz

Feder (Technik) | Mechanik

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