Der Elastizitätsmodul (auch: Zugmodul oder Youngscher Modul, benannt nach dem Physiker Thomas Young) ist ein Materialkennwert aus der Werkstofftechnik, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers bei linear elastischem Verhalten beschreibt. Der Elastizitätsmodul wird mit E-Modul oder als Formelzeichen mit E abgekürzt. Die Mehrzahl von Elastizitätsmodul ist Elastizitätsmoduln.

Der Betrag des Elastizitätsmoduls ist um so größer, je mehr Widerstand ein Material seiner Verformung entgegensetzt. Ein Material mit hohem Elastizitätsmodul ist also steif, ein Material mit niedrigem Elastizitätsmodul ist nachgiebig.

Der Elastizitätsmodul ist die Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz. Bei kristallinen Materialien ist der Elastizitätsmodul grundsätzlich richtungsabhängig. Sobald ein Werkstoff eine kristallographische Textur hat, ist der Elastizitätsmodul also anisotrop.

Definition

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Der Elastizitätsmodul ist als Steigung des Graphen im Spannungs-Dehnungs-Diagramm bei einachsiger Belastung innerhalb des linearen Elastizitätsbereichs definiert.

$E=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash sigma\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash epsilon\}=\backslash mathrm\{const.\}$

Dabei bezeichnet $\backslash sigma$ die mechanische Spannung (Normalspannung, nicht Schubspannung) und $\backslash epsilon$ die Dehnung. Die Dehnung ist das Verhältnis von Längenänderung zur ursprünglichen Länge. Die Einheit des Elastizitätsmoduls ist die einer Spannung:

E in $\backslash mathrm\{\backslash frac\{N\}\{mm^2\}\}$, in SI-Einheiten: E in $\backslash mathrm\{\backslash frac\{N\}\{m^2\}\}$ (Pascal)

Der Elastizitätsmodul wird als Materialkonstante bezeichnet, da mit ihm und den Querkontraktionszahlen das Elastizitätsgesetz aufgestellt wird. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht bezüglich aller physikalischen Größen konstant. Er hängt von verschiedenen Umgebungsbedingungen wie z.B. Temperatur, Feuchte oder der Verformungsgeschwindigkeit ab.

Beispiele

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Anwendung

Bei ideal linear elastischem Werkstoffgesetz (Proportionalitätsbereich im Spannungs-Dehnungs-Diagramm) ergibt sich die Federkonstante D eines geraden Stabes aus seiner Querschnittsfläche A, seiner Länge L und seinem Elastizitätsmodul E.

$D=\backslash frac\{F\}\{s\}=\backslash frac\{E\; \backslash cdot\; A\}\{L\}$

Drückt man die Kraft F durch die Spannung aus $F=A\backslash cdot\backslash sigma$ und die Längenänderung s durch die Dehnung $s=\backslash epsilon\backslash cdot\; L$, so erhält man das Hookesche Gesetz.

$E=\backslash frac\{\backslash sigma\}\{\backslash epsilon\}$

Anschaulich kann man sich den Elastizitätsmodul als diejenige Normalspannung vorstellen, die das Material auf seine doppelte Länge dehnt.

Zahlenwerte

• Stahl ca.: 190 000 bis 210 000 N/mm² (bei Raumtemperatur),
• Aluminium: 70 000 N/mm²,
• Titan: 105 000 N/mm²,
• Kupfer: 140 000 N/mm²,
• Messing: 78 000 bis 123 000 N/mm²,
• Beton: 22 000 bis 45 000 N/mm² (ermittelt nach Würfeldruckfestigkeit),
• Holz, parallel zur Faser: 7 000 bis 20 000 N/mm² (Bongossi bis 28 500 N/mm², Fichte ca. 11 000 N/mm²),
• Holz, quer zur Faser: 230 bis 1 330 N/mm²,
• Silikonkautschuk: 10 bis 100 N/mm²,
• CFK (Kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff) (hergestellt aus High Tensile (HT)-Kohlenstofffaser mit phi=0,6) parallel zur Faser ca. 150 000 N/mm², senkrecht zur Faser ca. 13 000 N/mm²,
• Glasfaser: 55 000 bis 87 000 N/mm²,
• Wasser: 2000 N/mm².

Bei flächigen Bauteilen wird mit Flüssen an Stelle von Spannungen gerechnet $n\_i=t\backslash cdot\backslash sigma\_i$. Daher setzt man hier einen dickenbezogenen Elastizitätsmodul ein, was einer Steifigkeit entspricht. Diese Größe hat die Einheit $\backslash mathrm\{\backslash frac\{N\}\{mm\}\}$.

Siehe auch

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• Schubmodul
• Poissonzahl
• Elastizitätsgesetz
• Werkstoffgesetz
• Hookesches Gesetz

Werkstoffeigenschaft | Technische Mechanik | Festigkeitslehre

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