Effizienz ist ein Begriff in der Statistik, mit dem die Qualität eines Schätzers für einen unbekannten Parameter bemessen werden kann.

Definition

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Formal sei $T(X)\backslash ;$ ein erwartungstreuer Schätzer für den unbekannten Parameter $\backslash vartheta\backslash ;$ in einer Familie von Wahrscheinlichkeitsdichten und $I(\backslash vartheta)\backslash ;$ die zur Dichte $\backslash prod\_\{i=1\}^\{n\}\; f\_\{\backslash vartheta\}(x\_i)$ gehörige Fisher-Information. Dann ist die Effizienz von $T(X)\backslash ;$ wie folgt definiert:

$e(T(X))\; =\; \backslash frac\{1\}\{I(\backslash vartheta)\; \backslash mathrm\{Var\}\_\{\backslash vartheta\}(T(X))\}$.

Eine Konsequenz aus der Cramer-Rao-Ungleichung ist, dass unter Regularitätsbedingungen $e(T(X))\backslash ;$ nach oben durch 1 beschränkt ist und daher solche Schätzer effizient genannt werden, für die $e(T(X))\; =\; 1\backslash ;$ und also $\backslash mathrm\{Var\}\_\{\backslash vartheta\}(T(X))\; =\; I(\backslash vartheta)^\{-1\}$ gilt. Dies ist unter den für die Cramer-Rao-Ungleichung notwendigen Bedingungen an das stochastische Modell die bestmögliche Varianz eines Schätzers.

Falls der Schätzer $T\backslash ;$ nicht erwartungstreu ist, lässt sich seine Effizienz als

$e(T(X))\; =\; \backslash frac\{(\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; \backslash vartheta\}\; E\_\{\backslash vartheta\}*)^2\}\{I(\backslash vartheta)\; \backslash mathrm\{Var\}\_\{\backslash vartheta\}(T(X))\}$

definieren. Offensichtlich ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Asymptotische Effizienz

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In der Regel reicht es aus, wenn Schätzer asymptotisch effizient sind, d.h. wenn sie in Verteilung gegen eine normalverteilte Zufallsvariable konvergieren, deren Varianz das Inverse der Fisher-Information ist. Formal soll also die Konvergenzaussage

$\backslash sqrt\; n\; (T(X)\; -\; \backslash vartheta)\; \backslash rightarrow\; \backslash mathcal\; N\; (0,\; I\_\{1\}(\backslash vartheta)^\{-1\})$

bewiesen werden können, wobei $I\_\{1\}(\backslash vartheta)$ die Fisher-Information der Dichte $f\_\{\backslash vartheta\}(x)$ bezeichnet und $I(\backslash vartheta)\; =\; n\; \backslash cdot\; I\_\{1\}(\backslash vartheta)$ gilt. Für asymptotisch effiziente Schätzer gilt offensichtlich $\backslash lim\_\{n\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; e(T)\; =\; 1.$

Typische Beispiele für asymptotisch effiziente Schätzer sind solche, die mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode gewonnen werden. Statistik

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