Effektivwert

Unter dem Effektivwert versteht man in der Elektro- bzw. Messtechnik den quadratischen Mittelwert (engl.: Root Mean Square, kurz: RMS) eines zeitlich veränderlichen Signals.

Eine der bekanntesten Anwendungen ist die Angabe der Effektivspannung des Wechselstroms, wie man ihn im Haushalt aus der Steckdose beziehen kann. Dieses sinusförmige Signal von 50 Hz mit einem Maximum von etwa 325 V erbringt an einem ohmschen Widerstand (z.B. einem Toaster) im zeitlichen Mittel die gleiche Leistung wie eine Gleichspannung von 230V.

Mit Hilfe der Effektivwerte von Strom und Spannung lassen sich Formeln der Gleichstromtechnik für die Wechselstromtechnik wiederverwenden.

Definition1

Ist s ein reellwertiges Signal, das von der Zeit t abhängt, und T die Periodendauer des Signals, so heißt

s_{\rm eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T {s^2(t) ~ \mathrm dt}}

der Effektivwert von s.

Für komplexwertige Signale s berechnet sich der Effektivwert zu

s_{\rm eff} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T {s(t) \cdot s^{*}(t) ~ \mathrm dt}},

wobei $s^{*}$ das zu $s$ konjugiert komplexe Signal ist.

Definition 2

Der Effektivwert eines Wechselstroms entspricht dem Gleichstrom, der im ohmschen Widerstand die gleiche Leistung erzeugt wie der Wechselstrom über volle Perioden gemittelt.

Spezielle Signalformen

Signal	Formel	Effektivwert
Gleichsignal	$s(t) = A$	$A$
Sinussignal	$s(t) = A \sin(\omega t)$	$A/\sqrt{2}$

Vgl. hierzu Spannungsform.

Rechtecksignal und Pulsweitenmodulation

Mit einer Pulsweitenmodulation kann der Effektivwert einer Spannung ohne Verlustleistung abgesenkt werden. Es wird während einer festen Periodendauer T_Periode die Spannung nur für einen Teil der Periode T_ein eingeschaltet. Der Effektivwert ergibt sich dabei zu

\ U_{\mathrm{eff}}^2 = U^2 * T_{ein} / T_{Periode}

Beispiele für Effektivwertberechnung

Energetische Betrachtung bei Strom- und Spannung

Als Effektivwert eines elektrischen Stromes von wechselnder Größe wird derjenige Wert angegeben, der in einem (rein ohmschen) Wirkwiderstand R die gleiche Wärmemenge erzeugt, wie ein gleich großer Gleichstrom I in gleicher Zeit t.

Batterie

Eine Batterie als elektrische Spannungsquelle liefert einen Strom, der ständig gleich bleibt, solange der angeschlossene Stromkreis nicht verändert wird und solange die Batterie nicht erschöpft ist. Ebenso verhält sich der Spannungswert der Batterie.

Neben diesem Gleichstrom, dessen Werte leicht zu bestimmen sind, gibt es zahlreiche andere Formen des elektrischen Stromes vor allem den Wechselstrom und Ströme, die aus aufeinanderfolgenden Impulsen bestehen.

Sinusförmige Ströme und Spannungen

Der Wechselstrom der Versorgungsnetze besteht aus Impulsen mit wechselnder Polarität, deren Größe während ihres Ablaufs von Null bis zu einem Maximalwert steigt und dann wieder auf Null zurückgeht. Der Ablauf folgt periodisch den Sinuswerten der Winkel von Null bis 360 Grad und hat daher die Bezeichnung "Sinusform".

Um die Größenordnung dieser Ströme unabhängig von Momentwerten, Spitzen- und Minimalwerten zu kennzeichnen, wird der Effektivwert angegeben. Beim sinusförmigen Industrie- und Haushalts-Wechselstrom ist der Effektivwert um den Wert

\frac {1} {\sqrt 2} \approx 0{,}7071

kleiner als der Spitzenwert der Spannung oder des Stromes. (Mathematische Herleitung siehe unten)

Der Scheitelfaktor (Crestfaktor) bezeichnet das Verhältnis von Scheitelwert (Spitzenwert) und Effektivwert. Er ist abhängig von der Wellenform des Signales. Für harmonische (sinusförmige) Signale beträgt er 1,414.

Wird bei der Angabe von Wechselspannung keine zusätzliche Angabe gemacht, so ist immer der Effektivwert gemeint. Im technischen Bereich wird für den Effektivwert häufig der englische Begriff RMS (root mean square) verwendet.

Herleitung: Effektivwert eines Sinussignals

Für den Fall des gleich bleibenden Stromes bei gleich bleibender Spannung gilt:

U(t) = {\rm const} := U_0, \  I(t) = {\rm const} := I_0\

und

\ U_0 = I_0 \cdot R

Damit ergibt sich die Leistung an einem von Gleichstrom durchflossenen ohmschen Widerstand zu:

P_{0} = U_0 \cdot I_0 = I_0^2 \cdot R = U_0^2/R

Die während der Zeit t an diesem Widerstand umgesetzte Energie ergibt sich damit zu:

E = P_0 \cdot t= I_0^2 \cdot R \cdot t =  U_0^2/R \cdot t

Es sollen sich jetzt Strom $I(t)$ und Spannung $U(t)$ zeitabhängig ändern. Damit gelten:

U(t) = I(t) \cdot R

Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu:

P(t) = U(t) \cdot I(t) = I(t)^2 \cdot R = U(t)^2/R

Die augenblickliche Leistung ist immer positiv.

Die während eines Zeitraums t an dem Widerstand umgesetzter Energie ist das Integral über die gesamte zeitabhängige Leistung. Wir wählen den Beginn der Integration willkürlich zu Null:

E_{t} = \int_0^t P(\tau) ~ \mathrm d \tau =  R \int_0^t I^2 ( \tau ) ~ \mathrm d\tau =  1/R \int_0^t U^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau

Jetzt setzen wir die während des Zeitraums t von Gleichstrom und vom zeitabhängigen Strom umgesetzte Energiemenge in das Verhältnis so folgt:

E_{t} / E = \frac { \int_{0}^{t} I^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau }{ I_{0}^2 \cdot t} = \frac { \int_{0}^{t} U^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau } { U_{0}^2 \cdot t }

Für die Effektivwerte von Strom und Spannung gilt nach Definition des Effektivwertes:

\frac { \int_{0}^{t} I^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau } { I_{\mathrm{eff}}^2 \cdot t} = \frac { \int_{0}^{t} U^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau } { U_{\mathrm{eff}}^2 \cdot t } :=1 \ \ (!)

Damit folgen die bekannten Formeln:

I_{\mathrm{eff}}=\sqrt \frac { \int_{0}^{t} I^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau } {t}  \

und

\ U_{\mathrm{eff}} = \sqrt \frac {  \int_{0}^{t} U^2 (\tau ) ~ \mathrm d\tau } { t }

und es erklärt sich RMS (root mean square) als Wurzel des Mittelwerts der Quadrate...

Im Stromversorgungsnetz

Der in der Leistungsübertragung, und damit in den öffentlichen Versorgungsnetzen, wichtigste Wechselstrom bzw. -spannung ist sinusförmig, mit einer Frequenz von 60 Hertz (USA), 50 Hertz (Europa) und 16,666 Hertz (Bahn). Es sollen sich jetzt Strom I(t) und Spannung U(t) sinusförmig ändern. Damit gelten:

U(t)=U_{0} \sin (\omega t ), \  I(t)=I_{0} \sin (\omega t) \

mit

\ U(t)=I(t) \cdot R

und

\omega=2 \pi \cdot f

Strom und Spannung nehmen innerhalb einer Periode einen Minimal- und einen Maximalwert an, und gehen zweimal durch Null.

Die umgesetzte augenblickliche Leistung berechnet sich analog zu oben zu:

P(t) = U(t) \cdot I(t) = I(t)^2 \cdot R = I_{0}^2 \sin^2 (\omega t) \cdot R  = \frac{U(t)^2}{R} = \frac{U_{0}^2 \sin^2 (\omega t )}{R}

Die augenblickliche Leistung ist bei Verbrauchern immer positiv, sie nimmt während einer Periode von Strom oder Spannung zweimal Minimal- und Maximalwert an.

Die während eines Zeitraums t an dem Widerstand umgesetzte Energie ist das Integral über die gesamte zeitabhängige Leistung. Wir wählen den Beginn der Integration willkürlich zu Null

E_{t} = \int_{0}^{t} P(\tau) ~ \mathrm d\tau =  I_{0}^2 \cdot R \int_{0}^{t} \sin^2 (\omega \tau ) ~ \mathrm d\tau =  \frac{U_{0}^2}{R} \int_{0}^{t} \sin^2 (\omega \tau ) ~ \mathrm d\tau

Jetzt setzen wir die während des Zeitraums t von Gleich- und Wechselstrom umgesetzte Energiemenge in das Verhältnis

\frac{E_{t}}{E} = \frac { I_{0}^2 \cdot R \int_{0}^{t} \sin^2 (\omega \tau ) ~ \mathrm d\tau } { I_{0}^2 \cdot R \cdot t} = \frac { \frac{U_{0}^2}{R} \int_{0}^{t} \sin^2 (\omega \tau ) ~ \mathrm d\tau } { \frac{U_{0}^2}{R} \cdot t } = \frac {\int_{0}^{t} \sin^2 (\omega \tau ) ~ \mathrm d\tau}{t}

Mit ${\int \sin^2 (\omega \tau ) ~ \mathrm d\tau = \frac {\tau}{2} - \frac {1}{4\omega} \sin(2\omega \tau)}$ folgt:

_{0}^{t}} {t}

Berücksichtigen wir nur volle Perioden, dass also gilt $t=nT$ , so folgt:

\frac{E_{t}}{E} = \frac {1}{2}

Ein(e) sinusförmiger Wechselstrom (Wechselspannung) gleicher Amplitude setzt an einem ohmschen Widerstand pro Periode die Hälfte der Energie um wie ein(e) Gleichstrom (Gleichspannung) gleicher Amplitude in der gleichen Zeit. Daraus können wir jetzt den Effektivwert bestimmen.

I_{\mathrm{eff}}^2 \cdot R=\frac {P_{0}}{2} = \frac {I_{0}^2 \cdot R} {2}

und

\frac{U_{\mathrm{eff}}^2}{R}=\frac {P_{0}}{2} = \frac {1} {2}\cdot \frac{U_{0}^2}{R}

Damit folgt:

I_{\mathrm{eff}}= \frac {I_{0}} {\sqrt 2}

und

U_{\mathrm{eff}}= \frac {U_{0}} {\sqrt 2}

Messtechnische Erfassung

Falscher und echter Effektivwert

Messgeräte wurden ursprünglich für die Anzeige des Effektivwertes sinusförmiger Spannungen ausgelegt, indem sie den Gleichrichtwert der Spannung messen und mit dem Formfaktor für Sinus-Spannungen verrechnen. D.h. die Angabe des Effektivwertes durch solche Messgeräte gilt nur für harmonische Spannungen.

Als in der modernen Elektrotechnik bzw. Elektronik die Spannungsformen stark von der Sinusform abwichen, zeigten sich hierfür jedoch falsche Messwertangaben. Messgeräte, welche den Effektivwert tatsächlich nach den mathematischen Grundlagen bestimmen, werden zur Verdeutlichung Echteffektivwert-Messgeräte (true RMS meter) genannt und mit der Bezeichnung True RMS bzw. TRMS ausgewiesen (RMS = root mean square).

Hitzedrahtmesswerk

Zur Bestimmung des Effektivwertes einer nichtsinusförmigen Spannung oder eines Stromes wurde in Zeiten der mechanischen Messgeräte ein Messstrom durch einen sehr feinen Draht geleitet. Dieser erwärmte sich, dehnte sich aus und verstellte damit den Zeiger. Die thermische Trägheit bildete den Mittelwert und die Dehnung = Temperatur die "Leistungsfähigkeit" der Signalspannung.

Ähnlich war die Messmethode, mit dem Messstrom ein Heizelement zu erwärmen und den Effektivwert aus der Temperaturdifferenz zu ermitteln.

Prinzip der Effektivwertberechnung in modernen Geräten

Ein Absolutspannungs-Stromwandler erzeugt aus der Messspannung einen Strom I1. Dieser wird einem Quadrierer / Dividierer zugeführt. Der Divisor entsteht durch einen Spiegelstrom nach Integration mit einem Kondensator. Er ist der Mittelwert des Stromes I1. Dadurch wird ein Ausgangsstrom gebildet, welcher dem Echteffektivwert entspricht..

Siehe dazu weiter Spannungsform der Wechselspannung.

Weblinks

Elektrotechnik | Elektrische Messtechnik

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