Eine Ebene ist in der Mathematik ein zweidimensionaler Vektorraum. Meist meint man die in der Geometrie verwendete euklidische Ebene, die ein zweidimensionaler euklidischer Raum ist.

Zur Beschreibung einer Ebene (Ebenengleichung) gibt es verschiedene Möglichkeiten:

• Koordinatendarstellung : $a\_1\; \backslash cdot\; x+a\_2\; \backslash cdot\; y+a\_3\; \backslash cdot\; z=b$
• Parameterform : $\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; r\_0\; +\; \backslash lambda\; \backslash cdot\; \backslash vec\; u\; +\; \backslash mu\; \backslash cdot\backslash vec\; v$ (ein Punkt und zwei Richtungen)
• Normalenform : $(\; \backslash vec\; r\; -\; \backslash vec\; a\; )\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n\; =\; 0$ (ein Punkt ($\backslash vec\; a$)und eine Richtung senkrecht zur Ebene ($\backslash vec\; n$))
• Hessesche Normalform : $\backslash vec\; r\; \backslash cdot\; \backslash vec\; n\_0\; =\; d$ (die Richtung senkrecht zur Ebene und der Abstand zum Nullpunkt)
• Achsenabschnittsform : $\{x\; \backslash over\; a\}\; +\; \{y\; \backslash over\; b\}\; +\; \{z\; \backslash over\; c\}\; =\; 1$
• drei Punkte, die in der Ebene liegen

Umwandlungen zwischen den verschiedenen Formen (Beispiele)

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1a) Normalenform in Koordinatenform

$\backslash begin\{pmatrix\}\; 6\; \backslash \backslash \; -2\; \backslash \backslash \; 13\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; n\; -\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash right)\; =\; 0$

$6x\_1\; -\; 2x\_2\; +\; 13x\_3\; -\; (6\; \backslash cdot\; 2\; +\; 2\; \backslash cdot\; 3\; +\; 13\; \backslash cdot\; 2)\; =\; 0$

$6x\_1\; -\; 2x\_2\; +\; 13x\_3\; -\; 44\; =\; 0$

b) Koordinatenform in Normalenform

$2x\_1\; -\; 3x\_2\; +\; x\_3-9=0$

Normalenvektor ablesen:

$\backslash vec\{n\}=\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}$

Zwei Koordinaten nullsetzen und dadurch Punkt bestimmen:

$x\_1,x\_2\; =\; 0\; \backslash to\; x\_3\; =\; 9$

Führt zu

$\backslash begin\{pmatrix\}\; 2\; \backslash \backslash \; -3\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash end\{pmatrix\}\; \backslash cdot\; \backslash left(\; n\; -\; \backslash begin\{pmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 9\; \backslash end\{pmatrix\}\backslash right)\; =\; 0$

2a) Normalenform in Parameterform

b) Parameterform in Normalenform

3a) Parameterform in Koordinatenform

$\backslash begin\{pmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 2\; \backslash \backslash \; 3\; \backslash end\{pmatrix\}+\backslash lambda\backslash begin\{pmatrix\}5\backslash \backslash 2\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}+\backslash mu\backslash begin\{pmatrix\}8\backslash \backslash 1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash overrightarrow\{x\}$ umwandeln in $ax+by+cz+d=0$

Das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt den Normalenvektor der Ebene, dessen Komponenten die Koeffizienten a,b,c sind.

$\backslash begin\{pmatrix\}\; 5\backslash \backslash 2\backslash \backslash 5\backslash end\{pmatrix\}\backslash times\backslash begin\{pmatrix\}8\backslash \backslash 1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 25\backslash \backslash -11\backslash end\{pmatrix\}$

$\backslash Longrightarrow\; 1x+25y-11z+d=0$

Zur Berechnung von d nun einfach den Stützvektor in die Koordinatenform einsetzen:

$1\backslash cdot1+25\backslash cdot2-11\backslash cdot3+d=0\; \backslash Longrightarrow\; d=-18$

b) Koordinatenform in Parameterform

$x+25y-11z-18=0$

Zwei der Variablen substituiert man mit $\backslash lambda\backslash quad\backslash mu$ und nach der dritten wird umgestellt.

$y=\backslash lambda\backslash ;;\backslash ;z=\backslash mu\backslash ;;\backslash ;x=-25\backslash cdot\backslash lambda+11\backslash cdot\backslash mu+18$

Damit erhält man sofort

$x=18-25\backslash lambda+11\backslash mu$

$y=0+\backslash lambda+0$

$z=0+0+\backslash mu$

und damit ist sofort klar $\backslash begin\{pmatrix\}18\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}+\backslash begin\{pmatrix\}-25\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot\backslash lambda+\backslash begin\{pmatrix\}11\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash cdot\backslash mu=\backslash overrightarrow\{x\}$

Ebenen im 3-dimensionalen Raum

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kartesische Koordinaten

Die x-y-Ebene, u-a-Ebene und die z-x-Ebene sind Schnitte oder Abbildungen des dreidimensionalen Raums, bei denen die jeweils im Namen vorkommenden Achsen des kartesischen Koordinatensystems sichtbar sind. Sie sind in der Regel unendlich weit ausgedehnt.

Polarkoordinaten

Genauso lassen sich in Polarkoordinaten Ebenen bilden. Man kann es mit einer Torte erklären:

• Die r-z-Ebene beschreibt die Ebene, die ein Tortenstück von der geschnittenen Seite zeigt. (Man sieht die Sahnefüllung und die Teigschichten). Damit kann man sehr gut rotationssymmetrische Körper darstellen und z. B. dreidimensionale Felder, Kräfte, etc. vereinfacht berechnen. (Eine Rotation dieser Ebene um die Z-Achse um 2π ergibt dann den rotationssymmetrischen Körper.) Die r-z-Ebene ist in z-Richtung unendlich weit ausgedent, in r-Richtung jedoch nur von r=0 bis ∞, deshalb ist sie eigentlich nur eine Halbebene. Würde man die ganze Torte in zwei Hälften schneiden, wäre alles links von der Mitte eine Spiegelung der rechten Seite, deshalb verwendet man nur eine Halbebene.
• Die r-φ-Ebene (auch Drehebene) sieht man die Torte von oben, oder man schneidet mit dem Messer von oben etwas ab und sieht den Schnitt durch eine Schicht von oben. Sie ist unendlich weit ausgedehnt und unterscheidet sich nicht von einer Ebene in kartesischen Koordinaten, wenn man sie zu einer x-y-Ebenen umdefiniert (die Z-Achse zeigt dann weiterhin aus der Ebenen heraus). Die r-φ-Ebene kann z. B. zur zweidimensionalen Darstellung und Berechnung eines Elektromotors verwendet werden.
• Der φ-z-Ebene kommt eine geringere Bedeutung zu. Sie würde z. B. den abgewickelten Rand der Torte zeigen und liegt in den Intervallen z=und φ=[0,2π.

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Siehe auch Planiversum, Spurgerade, Affine Ebene

Geometrie

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