Der Dreisatz (früher auch: die Regel de tri, lat. regula de tribus) ist ein Berechnungsverfahren für proportionale Wertepaare ausgehend von einem bekannten Wertepaar $(x\_0,y\_0)$.

Herkunft und Struktur

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Anders formuliert: Ausgehend von dem bekannten Verhältnis von $x\_0$ Einheiten eines Objektes $A$ zu $y\_0$ Einheiten eines anderen Objektes $B$ fragt man nach der Anzahl Einheiten von $B$, die in demselben Verhältnis zu $x\_1$ Einheiten von $A$ stehen.

Der Begriff Dreisatz kommt daher, dass man dieses Proportionalitätsproblem typischerweise in drei Sätzen formuliert und löst.

I. Das Verhältnis ist $x\_0$ Einheiten von $A$ zu $y\_0$ Einheiten von $B$.

II. Das entspricht dem Verhältnis eine Einheit von $A$ zu $\backslash frac\{y\_0\}\{x\_0\}$ Einheiten von $B$.

III. Das gesuchte Verhältnis ist $x\_1$ Einheiten von $A$ zu $\backslash frac\{y\_0\backslash cdot\; x\_1\}\{x\_0\}$ Einheiten $B$.

In der Praxis werden die vorkommenden Brüche üblicherweise in jedem Schritt vollständig gekürzt.

Vor der Anwendung des Dreisatzes ist stets zu prüfen, ob die Voraussetzung einer proportionalen Zuordnung (in Beispiel 1: konstante Geschwindigkeit) gegeben ist.

Modernere Formulierung

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Das Formulieren und Lösen des Dreisatzes in ganzen Sätzen stammt aus einer Zeit, bevor die Mathematik mit Hilfe der Algebra in der Lage war, solche Fragen in Symbolen auszudrücken und zu abstrahieren. Eine Methode diese Abstraktionsebene zu nutzen ist die Folgende:

Man schreibt:

I. $x\_0\backslash \; \backslash hat\; =\backslash \; y\_0$

II. $1\backslash \; \backslash hat\; =\backslash \; \backslash frac\{y\_0\}\{x\_0\}$

Wichtig ist bei dieser sehr verkürzten Darstellung, die Werte mit den gleichen Einheiten untereinander zu schreiben. Man erhält

III. $?\; =\; \backslash frac\{y\_0\backslash cdot\; x\_1\}\{x\_0\}$

Der verallgemeinerte Dreisatz

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Der verallgemeinerte Dreisatz, der das Verhältnis von einem Produkt von Einheiten mehrerer Objekte zu einer Anzahl von Einheiten eines Objektes als Ausgangspunkt der Fragestellung nimmt, basiert auf dieser Methode (vgl. Beispiel 2).

Einfacher formuliert: Ausgehend vom Verhältnis $a\_0\backslash cdot\; b\_0\backslash cdot\; c\_0\backslash hat\{=\}d\_0$ kann man auf zweierlei Art und Weise die Lösung des Problems $a\_1\backslash cdot\; b\_1\backslash cdot\; c\_1\backslash hat\{=\}?$ bestimmen. Entweder man führt mehrfach den normalen Dreisatz aus (man geht zuerst von $a\_0$ zu $a\_1$ über, dann von $b\_0$ zu $b\_1$ und schließlich von $c\_0$ zu $c\_1$) oder man macht alle Schritte parallel:

I. $a\_0\backslash cdot\; b\_0\backslash cdot\; c\_0\backslash hat\{=\}d\_0$

II. $1\backslash hat\{=\}\backslash frac\{d\_0\}\{a\_0\backslash cdot\; b\_0\backslash cdot\; c\_0\}$

III. $?=\backslash frac\{d\_0\backslash cdot\; a\_1\backslash cdot\; b\_1\backslash cdot\; c\_1\}\{a\_0\backslash cdot\; b\_0\backslash cdot\; c\_0\}$

Beispiel 1

In 3 Stunden legt ein Fahrzeug bei konstanter Geschwindigkeit 240 km zurück, wie weit kommt es in 7 Stunden? Der Schluss:

3 zu 240 verhält sich wie 7 zu "X"

Rechnung:

- align="center"

Zeit in h

Strecke in km

Rechne:

- align="center"

1.

3

240

:3

- align="center"

2.

1

80

·7

- align="center"

3.

7

560

Lösung: In 7 Stunden kommt das Fahrzeug 560 km weit. (Die Systemkonstante ist in diesem Falle die Geschwindigkeit des Fahrzeugs, 80 km/h).

Beispiel 2

2 Kühe fressen an einem Tag 48 kg Gras. Wie viel kg Gras fressen 5 Kühe in 6 Stunden?

• 1. Satz: 2 Kühe fressen in 24 h 48 kg Gras
• 2. Satz: 1 Kuh frisst in 1 h 1 kg Gras
• 3. Satz: 5 Kühe fressen in 6 h 30 kg Gras

Beispiel 3

Diese Beispiele haben dieselben Zahlen, jedoch unterschiedliche Verhältnisse. Im ersten Beispiel beziehen sich die Mengenangaben auf einen festen Zeitraum (ein Arbeitstag). Im zweiten Beispiel beziehen sich andererseits die Zeitangaben auf eine feste Mengenangabe (eine bestimmte Menge Abraum). Dreisatz1.jpg

Anwendungen

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Der Dreisatz ist für Prozentrechnungen, aber auch für viele physikalische oder chemische Formeln geeignet. Dennoch ist der Dreisatz lediglich ein sehr einfaches Hilfsmittel, da die Prozentrechnung - richtig verstanden - wie auch die Bruchrechnung auf dieses Hilfsmittel verzichten.

Nachteile

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Der Dreisatz kann nicht-proportionale Vorgänge nicht erfassen:

Ein Bauarbeiter braucht 1h, ein anderer Bauarbeiter benötigt 2h, für eine Mauer bestimmter Größe. Wie lange dauert es, wenn die beiden Bauarbeiter zusammenarbeiten?

Da die benötigte Zeit nicht direkt proportional mit der Anzahl der Bauarbeiter zusammenhängt, ist das Problem mit dem Dreisatz nicht formulierbar.

Die Lösung für dieses Beispiel würde so aussehen:

$\backslash frac\{1\}\{t\_\{Mauer\}\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{t\_\{Arbeiter,1\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{t\_\{Arbeiter,2\}\}$

Siehe auch

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• Proportionalität, Antiproportionalität, Prozent

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