Dreieck.png

Ein Dreieck ist ein Polygon und eine geometrische Figur. Es handelt sich innerhalb der Euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten. In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich.

Das beliebige (allgemeine) Dreieck

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Definition und Eigenschaften

Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

In der Geometrie werden die Eckpunkte des Dreiecks in der Regel mit A, B und C bezeichnet, üblicherweise so wie abgebildet gegen den Uhrzeigersinn. Die Seite, die einer Ecke gegenüberliegt, wird analog a, b bzw. c genannt. Damit liegt z. B. die Seite a dem Eckpunkt A gegenüber, verbindet also die Punkte B und C. Häufig wird mit a,b,c auch stattdessen die Länge der jeweiligen Seite BC,CA,AB bezeichnet. Die Winkel werden α, β und γ genannt; α ist der Winkel am Eckpunkt A, β liegt am Eckpunkt B und γ liegt am Eckpunkt C

• Die Summe der Innenwinkel in einem planaren (ebenen) Dreieck beträgt immer 180°.
• Die Summe der Außenwinkel beträgt entsprechend 360°. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer identisch groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt demnach genau genommen 2 · 360° = 720°.
• Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreieck ist immer größer oder gleich der Länge der dritten Seite. Diese Beziehungen lassen sich in der so genannten Dreiecksungleichungen ausdrücken.

Diese intuitiv einsichtigen Eigenschaften ebener Dreiecke folgen aus den Axiomen der Euklidischen Geometrie.

Berechnung eines beliebigen Dreiecks

Hat man von einem beliebigen Dreieck drei Angaben (Seiten S bzw. Winkel W), kann man die 3 fehlenden Angaben berechnen. Die 5 Lösungsfälle werden symbolisch bezeichnet: SSS, SSW, SWS, SWW, WSW.

Der 6. Fall WWW ist bei ebenen Dreiecken nicht lösbar, weil es de facto nur 2 Angaben sind, denn über die Winkelsumme im Dreieck (α+β+γ = 180°) lässt sich aus zwei bekannten Winkeln immer der andere bestimmen. Ohne gegebene Seite ist zwar die Form des Dreiecks gegeben, seine Größe bleibt aber offen.

Für Berechnungen sind der Sinussatz und der Kosinussatz am wichtigsten; zusätzlich kennt man den Projektionssatz sowie Tangenten- und Halbwinkelsätze.

Den Sinussatz gibt es in 3 Varianten, von denen sich aber die dritte aus den beiden anderen ergibt:

$\backslash frac\{a\}\{\backslash sin\backslash alpha\}\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sin\backslash beta\}\; =\; \backslash frac\{c\}\{\backslash sin\backslash gamma\}\; =\; 2r;$

dabei bezeichnet $r$ den Umkreisradius.

Der Kosinussatz ist eine verallgemeinerte Form des "Pythagoras", mit dem sich die Seiten eines beliebigen Dreiecks berechnen lassen:

$a^2\; =\; b^2\; +\; c^2\; -\; 2bc\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash alpha$

$b^2\; =\; a^2\; +\; c^2\; -\; 2ac\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash beta$

$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash gamma$

Handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck, so beträgt der Winkel γ 90°. Damit gilt: $\backslash cos\backslash gamma=\backslash cos90^\backslash circ=0$. Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt somit die Formel

$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$

$A\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,a\; h\_a\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,b\; h\_b\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,c\; h\_c$$x\_s\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash ,\; (\; x\_A\; +\; x\_B\; +\; x\_C\; )$

Umfang:	$u\; =\; 8r\backslash cdot\; \backslash cos\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash cos\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash cos\; \backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}$
Inkreisradius:	$\backslash rho\; =4r\backslash cdot\; \backslash sin\backslash frac\{\backslash alpha\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash sin\backslash frac\{\backslash beta\}\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sin\backslash frac\{\backslash gamma\}\{2\}$
Umkreisradius:	$r=\; \backslash frac\{a\}\{2\; \backslash sin\backslash alpha\}=\; \backslash frac\{b\}\{2\; \backslash sin\backslash beta\}=\; \backslash frac\{c\}\{2\; \backslash sin\backslash gamma\}$
Höhenformeln:	$h\_a\; =\; c\backslash cdot\backslash sin\backslash beta\; =\; b\backslash cdot\; \backslash sin\backslash gamma$
	$h\_b\; =\; a\backslash cdot\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; c\backslash cdot\; \backslash sin\backslash alpha$
	$h\_c\; =\; b\backslash cdot\; \backslash sin\backslash alpha\; =\; a\backslash cdot\; \backslash sin\backslash beta$
Flächeninhalt:
	$16\backslash ,A^2\; =\; \backslash left(a^2+b^2+c^2\backslash right)^2\; -\; 2\backslash ,\backslash left(a^4+b^4+c^4\backslash right)$
Flächenschwerpunkte:
	$y\_s\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}\backslash ,\; (\; y\_A\; +\; y\_B\; +\; y\_C\; )$

Dreiecksarten

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Übersicht der unterschiedlichen Arten von Dreiecken

- align="center" valign="top"	Dreiecksarten	unregelmäßig Kein Winkel und keine Seite sind gleich groß.	gleichschenklig Zwei Seiten und zwei Winkel sind gleich groß.	gleichseitig Alle Winkel und Seiten sind gleich groß.	- align="center" bgcolor="#F8F8FF"	spitzwinklig Alle Winkel sind spitze Winkel, d.h. alle Winkel sind <90°.	Unregelmaessiges_spitzwinkliges_Dreieck.png	Gleichschenkliges_spitzwinkliges_Dreieck.png	Gleichseitiges_spitzwinkliges_Dreieck.png	- align="center" bgcolor="#F8F8FF"	rechtwinklig Ein Winkel ist ein rechter Winkel.	Unregelmaessiges_rechtwinkliges_Dreieck.png	Gleichseitiges_rechtwinkliges Dreieck.png		- align="center" bgcolor="#F8F8FF"	stumpfwinklig Ein Winkel ist ein stumpfer Winkel (>90°).	Unregelmaessiges_stumpfwinkliges_Dreieck.png	Gleichseitiges_stumpfwinkliges_Dreieck.png

Das gleichseitige Dreieck

Eigenschaften

gleichseit.Dreieck.png

• Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seiten gleich lang und alle drei Innenwinkel gleich groß. Aus diesem Grund gehört das gleichseitige Dreieck auch zu den regelmäßigen Polygonen.
• Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks beträgt 60°.
• Das gleichseitige Dreieck zählt zu den spitzwinkligen Dreiecken, weil alle drei Winkel kleiner als 90° sind.
• Außerdem ist das gleichseitige Dreieck auch ein gleichschenkliges Dreieck.
• Alle gleichseitigen Dreiecke sind zueinander ähnlich.
• Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Seitenhalbierende und Höhe zu einer Seite fallen bei einem gleichseitigen Dreieck jeweils zusammen. Entsprechendes gilt für den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt, den Schwerpunkt und den Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks.

Formeln

Für ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a$ gilt:

Fläche $A$	$A\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}\backslash ,a^\{2\}$
Höhe $h$	$h\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{2\}\backslash ,a$
Umkreisradius $r$	$r\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{3\}\backslash ,a=\backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$
Inkreisradius $\backslash rho$	$\backslash rho\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{6\}\backslash ,a$
Umfang $u$	$u\; =\; 3\; \backslash cdot\; a$

Das gleichschenklige Dreieck

GleichschenkligesDreieck.png

• Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind wenigstens zwei Seiten gleich lang und daher die diesen Seiten gegenüberliegenden Winkel gleich groß.
• Die beiden gleich langen Seiten bezeichnet man als Schenkel, die dritte als Basis.
• Die gleich großen Winkel, die den Schenkeln gegenüber liegen, heißen Basiswinkel.
• Der Punkt, an dem beide Schenkel zusammentreffen, nennt man Spitze.
• In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Mittelsenkrechte zur Basis, die Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze, die Seitenhalbierende der Basis und die Höhe zur Basis identisch.
• Das gleichseitige Dreieck lässt sich als eine spezielle Form des gleichschenkligen Dreiecks sehen, bei der jede Seite gleichzeitig Schenkel und Basis ist und jede Ecke des Dreiecks als Spitze bezeichnet werden kann.
• Man kann die Höhe bestimmen, wenn man das Dreieck teilt und so den Satz des Pythagoras anwenden kann.

Das rechtwinklige Dreieck

• Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen 90°-Winkel, auch rechter Winkel genannt.
• Die längste Seite des Dreiecks liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt.
• Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

{| border=1 class="hintergrundfarbe2 rahmenfarbe1" Satz des Pythagoras $c^2\; =\; a^2\; +\; b^2$ Right triangle abchpq.svg Kathetensatz von Euklid $a^2\; =\; c\; \backslash cdot\; p$ $b^2\; =\; c\; \backslash cdot\; q$ $c\; =\; p\; +\; q$ Höhensatz von Euklid $h^2\; =\; p\; \backslash cdot\; q$ Bei Kenntnis zwei der Angaben ($a$, $b$, $c$, $p$, $q$ und $h$) lassen sich die fehlenden fünf anderen Werte aus den in der Tabelle aufgeführten Formeln berechnen.

Die Längen der drei Seiten werden durch den Satz des Pythagoras in Beziehung gebracht: Das Quadrat der Länge der Hypotenuse (in der Grafik als $c$ bezeichnet) gleicht der Summe der Quadrate der Längen der Katheten ($a$ und $b$).

In Bezug auf die spitzen Winkel des Dreiecks spricht man von der Ankathete des Winkels als die dem Winkel anliegende Kathete und von der Gegenkathete als die dem Winkel gegenüberliegende Kathete. Durch das Verhältnis zwischen Katheten und Hypotenuse lässt sich auch ein Winkel im rechtwinkligen Dreieck eindeutig bestimmen. RechtwinkligesDreieck.png

Funktion	Berechnung
Der Sinus des Winkels $\backslash alpha$ ist dabei als das Verhältnis zwischen der Gegenkathete (hier: $a$) und der Hypotenuse (hier: $c$) definiert.	$\backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{a\}\{c\}$
Der Kosinus des Winkels $\backslash alpha$ ist das Verhältnis zwischen der Ankathete (hier: $b$) und der Hypotenuse.	$\backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{b\}\{c\}$
Der Tangens ist durch das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete gegeben.	$\backslash tan\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{a\}\{b\}$
Der Kotangens ist das Verhältnis zwischen Ankathete und Gegenkathete, und ist damit der Kehrwert des Tangens.	$\backslash cot\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{b\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash tan\; \backslash alpha\}$
Der Sekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete, also der Kehrwert des Kosinus.	$\backslash sec\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{c\}\{b\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cos\; \backslash alpha\}$
Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete, d. h. der Kehrwert des Sinus.	$\backslash csc\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\{c\}\{a\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sin\; \backslash alpha\}$

Diese sechs Funktionen werden Winkelfunktionen oder trigonometrische Funktionen genannt; im schulischen Kanon werden diese jedoch meistens auf die ersten drei reduziert (diese sind auch die geläufigsten, die anderen sind seltener von Bedeutung).

Dreiecke der Nichteuklidschen Geometrie

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Sphärische Dreiecke

Dreiecke auf der Kugel nennt man sphärisch, wobei die 3 Seiten Teile von Großkreisen sind. Ihre Seitenlänge wird nicht in der Dimension einer Länge angegeben (Meter, cm usw.), sondern als zugehöriger Winkel im Kugelmittelpunkt. Sphaere.png

Ein sphärisches Dreieck hat eine Winkelsumme größer als 180°, wobei der "Überschuss" sphärischer Exzess heißt und in Formeln meist als ε bezeichnet wird: $\backslash alpha\; +\; \backslash beta\; +\; \backslash gamma\; =\; 180^\backslash circ\; +\; \backslash varepsilon$.

Der Exzess hängt direkt mit dem Flächeninhalt des Dreiecks zusammen (ε = F / R², bzw. in Grad ε = 180°.F / R²π), worin R den Kugelradius und π die Kreiszahl 3,14159... bedeutet.
Der maximale Exzess von 360° tritt beim größtmöglichen "Dreieck" auf, das ein Viertel der Kugeloberfläche umspannt: mit 3 gestreckten Winkeln hat es eine Winkelsumme von 3 mal 180° und ε = 540° − 180° = 360°. Kugelzweieck.png Sphärische Dreiecke können analog den ebenen Dreiecken berechnet werden, wofür es z. B. den sphärischen Sinussatz, den Cosinussatz, den Projektionssatz und verschiedene Halbwinkelsätze gibt – siehe Sphärische Trigonometrie.

Sphärisches Zweieck: Für manche Berechnungen auf der Sphäre – z. B. auf der Himmelskugel – sind auch Kugelzweiecke nützlich. Die Formeln ergeben sich als Sonderfall des Dreiecks.

Hyperbolische Dreiecke

Sattelfläche.png Zur nichteuklidischen Geometrie – in der das Parallelenaxiom nicht gilt – zählen z. B. auch Dreiecke auf einer Sattelfläche. Während eine Kugel überall konvex gekrümmt ist, haben Sattel- und andere hyperbolische Flächen sowohl konvexe als auch konkave Krümmung (ihr Produkt, das Krümmungsmaß, ist negativ).

Entsprechend ist auch der Exzess negativ – d. h. die Winkelsumme eines Dreiecks auf einer Sattelfläche ist kleiner als 180°. Die Kongruenzsätze machen Aussagen über die Dreiecksgrößen (Seitenlänge, Winkel), die notwendig sind, um ein Dreieck eindeutig zu bestimmen.

In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Siehe dazu insbesondere Dreiecksgeometrie.

Oft auftretende Dreiecksgrößen

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• die Fläche
• die Höhen
• die Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten)
• die Winkelsymmetralen (Winkelhalbierenden)
• die Seitenhalbierenden
• der Inkreis
• der Umkreis

Interessant sind auch die Schnittpunkte dieser Linien bzw. die Mittelpunkte der Kreise, die als ausgezeichnete oder merkwürdige Punkte des Dreiecks bekannt sind.

Sätze rund um das Dreieck

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• Kongruenzsätze
• Thaleskreis
• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck
• Südpolsatz
• Sinussatz
• Satz des Pythagoras, Kosinussatz
• Satz von Menelaos
• Satz von Ceva
• Satz von Stewart
• Satz des Heron (Fläche aus drei Seiten berechnen)
• Eulersche Gerade
• Feuerbachkreis
• Simsonsche Gerade
• Symmedianen und Lemoinepunkt
• Trigonometrie
• Weitere Zusammenhänge

Weblinks

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• Bilder verschiedener Dreiecksarten
• Ein weiteres Programm zur Dreiecksberechnung
• Java-Applet zur Veranschaulichung einiger Punkte im Dreieck

Dreiecksgeometrie | Geometrische Figur

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