Unter der Rotation versteht man in der Mathematik eine bestimmte Funktion eines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort an, wie schnell und um welche Achse ein mitschwimmender Körper rotieren würde. Dieser Zusammenhang ist namensgebend, im Allgemeinen muss jedoch keine Rotation im Sinne einer Drehbewegung im Spiel sein.

Hier einige praktische Beispiele:

• Ein Wirbelsturm rotiert um sein so genanntes Auge, und ein Vektorfeld, das die Windgeschwindigkeiten eines Wirbelsturms angibt, hat eine von Null verschiedene Rotation im Auge, und möglicherweise noch an anderen Stellen.
• Ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit jedes Punktes einer rotierenden Scheibe angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von Null verschiedene Rotation.
• Das Vektorfeld einer Autobahn, deren Spuren von rechts nach links ansteigende Fahrzeuggeschwindigkeiten aufweisen, hat an den Mittellinien zwischen den Spuren eine von Null verschiedene Rotation.

Die Rotation lässt sich formal als Ableitungsoperator interpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradient und Divergenz der Vektoranalysis an, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

Definition

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Die Rotation eines dreidimensionalen Vektorfeldes F = (F_x, F_y, F_z) ist wiederum ein dreidimensionales Vektorfeld. Es wird geschrieben als

$\backslash operatorname\{rot\}\backslash vec\; F\; =\; \backslash nabla\backslash times\backslash vec\; F$

wobei $\backslash nabla$ der Nabla-Operator und rot das Funktionssymbol der Rotation ist. Das Kreuz bezeichnet dabei formal ein Kreuzprodukt, so dass die Rotation in kartesischen Koordinaten folgendermaßen definiert ist

$\backslash operatorname\{rot\}\backslash vec\; F\; =\; \backslash nabla\backslash times\backslash vec\; F\; =$

\begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\frac{\partial F_z}{\partial y}} - {\frac{\partial F_y}{\partial z}} \\ {\frac{\partial F_x}{\partial z}} - {\frac{\partial F_z}{\partial x}} \\ {\frac{\partial F_y}{\partial x}} - {\frac{\partial F_x}{\partial y}} \end{pmatrix}

Alternativ lässt sich die Rotation auch als formale Determinante formulieren

$\backslash nabla\backslash times\backslash vec\; F\; =$

\begin{vmatrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}

In Kugelkoordinaten mit $(r\; \backslash ,\; \backslash theta\; \backslash ,\; \backslash phi)$ lautet die Rotation:

$\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\; F\; =$

\begin{pmatrix} \frac{1}{r \sin \theta} \left\frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\phi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi } \right \\ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\phi \right) \\ \frac{1}{r} \left\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right \end{pmatrix}

In Zylinderkoordinaten mit $(r\; \backslash ,\; \backslash varphi\; \backslash ,\; z)$:

$\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\; F\; =$

\begin{pmatrix} \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \\ \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \\ \frac 1 r \left\frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right \end{pmatrix}

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Feld von Pseudovektoren. Das bedeutet, dass die Rotation eines Vektorfeldes beim Wechsel von einem linkshändigen Koordinatensystem zu einem rechtshändigen das Vorzeichen wechselt. Analog ist die Rotation eines Pseudovektorfeldes ein Vektorfeld.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation überall null ist, nennt man wirbelfrei.

Verallgemeinerung auf Tensorfelder beliebiger Stufe

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Ein Vektorfeld kann als Tensorfeld 1. Stufe aufgefasst werden. Durch die Einsteinsche Summenkonvention und mit dem Levi-Civita-Symbol lässt sich die Rotation eines Vektorfeldes wie folgt schreiben:

$$

(\nabla\times\vec F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k

Die Verallgemeinerung auf Tensoren $F\_\{j\_1,j\_2,\backslash dots,j\_N\}$ beliebiger Stufe ist dann offensichtlich:

$$

(\nabla\times F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_{j_1,j_2,\dots,j_{N-1},k}

Rechenregeln

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Für alle Konstanten $c\backslash in\backslash R$, skalaren Felder $u$ sowie Vektorfelder $\backslash vec\{F\}$ und $\backslash vec\{G\}$ gilt:

Linearität

• $\backslash operatorname\{rot\}(c\; \backslash cdot\backslash vec\{F\})\; =\; c\backslash cdot\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\{F\}$
• $\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,(\backslash vec\{F\}+\backslash vec\{G\})\; =\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\{F\}+\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\{G\}$

Regeln (Differentialformen)

• $\backslash operatorname\{rot\}\backslash ;\backslash operatorname\{grad\}\backslash ,u=\backslash vec\; 0$
• $\backslash operatorname\{rot\}(u\backslash cdot\backslash vec\{F\})\; =\; u\backslash cdot\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,\backslash vec\{F\}\; +\; \backslash operatorname\{grad\}\backslash ,u\; \backslash times\backslash vec\{F\}$

Weitere Produktregeln

• $\backslash operatorname\{rot\}(\backslash vec\{F\}\backslash times\backslash vec\{G\})\; =\; \backslash left(\backslash vec\{G\}\backslash cdot\backslash operatorname\{grad\}\backslash right)\backslash vec\{F\}\; -\; \backslash left(\backslash vec\{F\}\backslash cdot\backslash operatorname\{grad\}\backslash right)\backslash vec\{G\}\; +\; \backslash vec\{F\}\backslash ,\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash vec\{G\}\; -\; \backslash vec\{G\}\backslash ,\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash vec\{F\}$
• $\backslash operatorname\{rot\}\backslash ;(\backslash operatorname\{rot\}\backslash ,u)=\backslash operatorname\{grad\}(\backslash operatorname\{div\}\backslash ,u)\; -\; \backslash Delta\; u$

Integralsatz von Stokes

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Eine wichtige Rolle in der Vektoranalysis spielt die Rotation beim Satz von Stokes. Dieser erlaubt die Umwandlung eines Oberflächenintegrals in ein Kurvenintegral:

$\backslash int\_\{M\}\; (\backslash operatorname\{rot\}\backslash ;\backslash mathbf\{F\})\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{A\}\; =\; \backslash oint\_\{\backslash partial\; M\}\; \backslash mathbf\{F\}\; \backslash cdot\; \backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{r\}$

Anwendung

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Die Rotation in allgemein orthogonalen Koordinaten:

$\backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash times\backslash vec\{V\}=\; \backslash frac\{\backslash vec\{e\}\_\{q\_\{1\}\}\}\; \{h\_2h\_3\}\; \backslash left\backslash frac\{\; \backslash partial\; (h\_3V\_3)\}\{\backslash partial\; q\_2\}\; -\; \backslash frac\{\; \backslash partial\; (h\_2V\_2)\}\{\backslash partial\; q\_3\}\backslash right+\; \{\}$ $\backslash frac\{\backslash vec\{e\}\_\{q\_\{2\}\}\}\; \{h\_1h\_3\}\; \backslash left\backslash frac\{\; \backslash partial\; (h\_1V\_1)\}\{\backslash partial\; q\_3\}\; -\; \backslash frac\{\; \backslash partial\; (h\_3V\_3)\}\{\backslash partial\; q\_1\}\backslash right+\; \{\}$ $\backslash frac\{\backslash vec\{e\}\_\{q\_\{3\}\}\}\; \{h\_1h\_2\}\; \backslash left\backslash frac\{\; \backslash partial\; (h\_2V\_2)\}\{\backslash partial\; q\_1\}\; -\; \backslash frac\{\; \backslash partial\; (h\_1V\_1)\}\{\backslash partial\; q\_2\}\backslash right$ mit $h\_a\; =\; \{\backslash left|\; \{\backslash frac\{\backslash partial\{\backslash vec\{r\}\}\}\{\backslash partial\{q\_a\}\}\}\; \backslash right|\; \}$

Analysis

Curl | Rotor | Rotore (fisica) | 回転 (数学) | Rotasyonel | 旋度