Der Drehimpuls oder Drall ist eine physikalische Größe, welche Richtung und Geschwindigkeit einer Drehbewegung um einen Referenzpunkt beschreibt und im alltäglichen Sprachgebrauch mitunter Schwung genannt wird.

Der Drehimpuls eines Massenpunktes ist definiert als Kreuzprodukt zwischen Ortsvektor und Impuls:

$\backslash vec\{L\}\; :=\; \backslash vec\{x\}\; \backslash times\; \backslash vec\{p\}\; =\; m(\backslash vec\{x\}\; \backslash times\; \backslash vec\{v\})$ wobei $\backslash vec\{x\}$ den Ort, $\backslash vec\{v\}$ die Geschwindigkeit, $\backslash vec\{p\}$ den Impuls und $m$ die Masse bezeichne.

Anschauliche Beschreibung

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angular_momentum_circle.png Man kann sich den Drehimpuls als Pfeil vorstellen, dessen Richtung die Drehachse angibt und dessen Länge den Schwung der Drehung angibt: Je länger der Pfeil, desto mehr Schwung. Mehr Schwung kann dabei realisiert werden durch

• eine größere Masse
• eine größere Geschwindigkeit
• einen größeren Abstand von der Drehachse.

Mathematisch korrekt wird solch ein Pfeil als Vektor bezeichnet.

Rechte_Daumen_Regel.png Die Skizze zeigt exemplarisch den Zusammenhang von Ort, Geschwindigkeit und Drehimpuls für die Kreisbewegung. Man beachte, dass der Drehimpuls senkrecht auf der Ebene, in welcher die Bewegung stattfindet, steht. Seine Länge ist in diesem Fall gleich dem Produkt aus Radius und Geschwindigkeit. Seine Richtung ist so zu wählen, dass er zusammen mit Ort und Geschwindigkeit eine sogenannte Rechtsschraube bildet. Man kann sich dies mit der Rechte-Hand-Regel veranschaulichen: Geben die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehung an, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses.

In vielen Fällen ist der Drehimpuls eines physikalischen Systems eine Erhaltungsgröße, er ändert sich also nicht. Dies hat viele weit reichende Konsequenzen, die weiter unten diskutiert werden.

Physikalische Beschreibung

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Der Drehimpuls als Kreuzprodukt von Ort und Geschwindigkeit spielt eine wichtige Rolle bei der Beschreibung von Drehbewegungen. Er ist dort äquivalent zum Impuls bei Translationsbewegungen. Dort gilt nämlich:

$\backslash dot\{\backslash vec\{p\}\}\; =\; \backslash vec\{F\}$: Die zeitliche Änderung des Impulses ist gleich der Kraft

Für Drehbewegungen gilt die analoge Formel:

$\backslash dot\{\backslash vec\; L\}\; =\; \backslash vec\; M$: Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment.

Dabei ist das Drehmoment definiert als Kreuzprodukt von Ortsvektor und Kraft. Dies folgt, indem man explizit die Zeitableitung des Drehimpulses bestimmt:

$\backslash dot\{\backslash vec\{L\}\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; (\backslash vec\{x\}\; \backslash times\; \backslash vec\{p\})\; =\; \backslash dot\{\backslash vec\{x\}\}\; \backslash times\; \backslash vec\{p\}\; +\; \backslash vec\{x\}\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash vec\{p\}\}$

Da Geschwindigkeit und Impuls parallel sind folgt mit den Eigenschaften des Kreuzproduktes und der Identität $\backslash dot\{\backslash vec\{p\}\}\; =\; \backslash vec\{F\}$ die Formel für das Drehmoment.

Findet die Bewegung nur in einer bestimmten Ebene statt, so kann man in dieser Ebene Polarkoordinaten einführen. Dann ist der Drehimpuls beschrieben durch $L\; =\; mr^2\backslash dot\{\backslash varphi\}$, wobei wieder $m$ die Teilchenmasse bezeichne. $r$ und $\backslash varphi$ sind die Polarkoordinaten.

Für die Beschreibung des Drehimpulses ist es wichtig, einen Referenzpunkt anzugeben, von dem aus der Ortsvektor $\backslash vec\{x\}$ gemessen wird. Der Drehimpuls gibt dann an, mit welcher Stärke der Massenpunkt um diesen Referenzpunkt rotiert. Dabei kann sich der Massenpunkt auch auf einer Gerade bewegen, seine Bahn muss nicht zwangsläufig gekrümmt sein.

Drehimpuls eines mechanischen Systems

Für ein mechanisches System mit $N$ Teilchen ist der Gesamtdrehimpuls definiert durch

$\backslash vec\{L\}\; :=\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; m\_n\; \backslash vec\{x\}\_n\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash vec\{x\}\}\_n$

Ist das mechanische System abgeschlossen, ist der Gesamtdrehimpuls erhalten. In guter Näherung gilt dies beispielsweise für unser Sonnensystem, aber auch für ein Elektron, das an einem Atomkern gestreut wird.

Der Drehimpuls eines starren Körpers

Der Drehimpuls von starren Körpern wie Kreiseln, Katzen oder Asteroiden wird durch deren Trägheitstensor bestimmt. Rotiert der starre Körper mit der Winkelgeschwindigkeit $\backslash vec\{\backslash omega\}$, so ist der Drehimpuls durch

$\backslash vec\{L\}\; =\; \backslash Theta\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash omega\}$

gegeben, wobei $\backslash Theta$ den Trägheitstensor bezeichnet. Dies ist eine Matrix, die für die Drehbewegung dieselbe Bedeutung hat, wie die Masse für die Translationsbewegung. Erwähnenswert ist in diesem Zusammenhang, dass Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls im Allgemeinen nicht parallel zueinander sind.

Drehimpulserhaltung und Drehmoment

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In einem abgeschlossenen System bleibt der Drehimpuls erhalten. Das bedeutet, dass sich weder sein Betrag, noch seine Richtung ändern. Mit dem Noether-Theorem der theoretischen Physik zeigt man, dass der Drehimpuls genau in solchen Systemen erhalten bleibt, die invariant unter Drehungen sind, also Systeme, deren physikalische Gesetzmäßigkeiten nicht von der speziellen Orientierung im Raum abhängen.

Würde man beispielsweise alle Planeten des Sonnensystems gleichermaßen ein Stück weiter um die Sonne drehen, würde sich an der grundsätzlichen Planetenbewegung nichts ändern. Man nennt solche Systeme auch isotrop.

Folgerungen

Direkt aus der Drehimpulserhaltung im Sonnensystem folgt das zweite Keplersche Gesetz, welches besagt, dass die Verbindungslinie zwischen einem Planeten und der Sonne in gleicher Zeit gleiche Flächen überstreicht.

saltovor1b.gif Ferner nutzt man im Sport, insbesondere beim Eiskunstlauf, beim Turmspringen oder beim Ballett aus, dass der Drehimpuls erhalten bleibt: Da der Drehimpuls sowohl von der Rotationsgeschwindigkeit als auch vom Abstand der rotierenden Masse zur Rotationsachse abhängt, muss eine Änderung der einen Größe durch eine entsprechende Änderung der anderen Größe kompensiert werden. So beobachtet man bei der Pirouette, dass die Drehung schneller wird, sobald man die Arme eng an den Körper legt: Das Anziehen der Arme würde den Drehimpuls verringern. Da der Drehimpuls aber erhalten bleibt, muss dafür die Rotationsgeschwindigkeit zunehmen. Diese einfache Folgerung aus der Drehimpulserhaltung wird auch als Pirouetteneffekt bezeichnet.

Dasselbe Prinzip nutzen Turmspringer für Salti oder Katzen, um bei einem Sturz auf den Füßen zu landen.

Drehmoment

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft an einem geeigneten Hebelpunkt angreifen. Solch eine Hebelkraft nennt man Drehmoment. Definiert ist das Drehmoment durch

$\backslash vec\{M\}\; :=\; \backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash vec\{F\}$ wobei $\backslash vec\{r\}$ der Verbindungsvektor von Referenzpunkt und Angriffspunkt der Kraft ist und $\backslash vec\{F\}$ die angreifende Kraft ist.

Einige Herleitungen

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Drehimpulserhaltung im Zentralpotential

Ein Zentralpotential ist ein Potenzial der Form $V\; :=\; V(r)$. Es hängt nur vom Abstand des Massenpunktes ab, nicht von einer bestimmten Orientierung. Die Kraft hat dann die Form $\backslash vec\{F\}\; =\; \backslash nabla\; V(r)\; =\; V\text{'}(r)\; \backslash vec\{x\}$ wobei $\backslash vec\{x\}$ der Ortsvektor des Massenpunktes ist. Dann gilt:

$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash vec\{L\}\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}\; (\; m\backslash vec\{x\}\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash vec\{x\}\})\; =\; (m\backslash dot\{\backslash vec\{x\}\}\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash vec\{x\}\})\; +\; (\backslash vec\{x\}\; \backslash times\; m\; \backslash ddot\{\backslash vec\{x\}\})$

Das Kreuzprodukt paralleler Vektoren ist Null, daher gilt weiter

$\backslash frac\{d\}\{dt\}\; \backslash vec\{L\}\; =\; \backslash vec\{x\}\; \backslash times\; \backslash vec\{F\}\; =\; \backslash vec\{x\}\; \backslash times\; (V\text{'}(r)\backslash ,\; \backslash vec\{x\})\; =\; 0$

Drehimpuls des starren Körpers

Wir betrachten den inneren Drehimpuls eines starren Körpers und wählen den Schwerpunkt als Koordinatenursprung. Der gesamte Drehimpuls ist dann die Summe der Drehimpulse jedes einzelnen Massenpunktes des Körpers Der Körper habe $N$ Massenpunkte mit den Massen $m\_n$ und den relativ zum Schwerpunkt gemessenen Koordinaten $\backslash vec\{r\}\_n$. Dann lautet der Gesamtdrehimpuls

$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; m\_n\; \backslash vec\{r\}\; \backslash times\; \backslash dot\{\backslash vec\{r\}\}$ Die Geschwindigkeit einer Rotationsbewegung ist gleich

$\backslash dot\{\backslash vec\{r\}\}\; =\; \backslash vec\{\backslash omega\}\; \backslash times\; \backslash vec\{r\}$, also das Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Ortsvektor. Eingesetzt erhalten wir also

$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; m\_n\; \backslash vec\{r\}\; \backslash times\; (\backslash vec\{\backslash omega\}\; \backslash times\; \backslash vec\{r\})$

Gemäß den Regeln des Kreuzproduktes ist dies

$\backslash sum\_\{n=1\}^N\; m\_n\; (\backslash vec\{r\}^2\; \backslash vec\{\backslash omega\}\; -\; \backslash vec\{r\}\; \backslash vec\{r\}\; \backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash omega\})$ Das $\backslash omega$ lässt sich in beiden Fällen ausklammern und aus der Summe ziehen: $\backslash left\backslash sum\_\{n=1\}^N\; m\_n\; (\backslash vec\{r\}^2\; E\_n\; -\; \backslash vec\{r\}\; \backslash vec\{r\})\; \backslash right\backslash cdot\; \backslash vec\{\backslash omega\}$ Es handelt sich also um ein Matrixprodukt. In Komponentenschreibweise:

$L^a\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^N\; m\_n\; (r^k\; r\_k\; \backslash delta\_\{ab\}\; -\; r\_a\; r\_b)\; \backslash omega^b$

Hierbei wird die Einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Die Summe ist gerade die Definition des Trägheitstensors $\backslash Theta$, so dass der Drehimpuls letztendlich geschrieben werden kann als $\backslash vec\{L\}\; =\; \backslash Theta\; \backslash vec\{\backslash omega\}$.

Für eine kontinuierliche Massenverteilung ersetze man die Summe durch ein Integral über das Volumen und die Massen $m\_n$ durch die Dichtefunktion $\backslash varrho(\backslash vec\{r\})$.

Siehe auch

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• Bahndrehimpuls
• Spin (Drehimpuls in der Quantenmechanik)

Mechanik

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