Doppler-Effekt

doppler_effect_diagrammatic.svg Als Doppler-Effekt bezeichnet man die Veränderung der Frequenz von Wellen jeder Art, während sich die Quelle auf den Beobachter zu oder von diesem weg bewegt. Bei der Annäherung erhöht sich die Frequenz, im umgekehrten Fall verringert sie sich.

Der Doppler-Effekt kann damit auch zur Messung der relativen Geschwindigkeit eingesetzt werden, so bei Radarfallen.

Bekanntes Beispiel ist die Tonhöhenänderung des Martinshorns eines Krankenwagens. Solange sich das Fahrzeug nähert, ist der Ton höher, wenn es sich entfernt, wird der Ton tiefer.

Begründung des Doppler-Effektes

Bei der Erklärung des akustischen Doppler-Effekts muss man unterscheiden, ob sich die Schallquelle, der Beobachter (oder beide) relativ zum Medium (der ruhenden Luft) bewegen:

Beobachter in Ruhe, Signalquelle bewegt

Als Beispiel soll angenommen werden, dass das Martinshorn des Krankenwagens Schallwellen mit einer Frequenz von 1000 Hertz aussendet. Dies bedeutet, dass genau 1/1000 Sekunde nach dem ersten Wellenberg ein zweiter Wellenberg nachfolgt. Die Wellen breiten sich mit der Schallgeschwindigkeit $c\approx 330\ \mathrm{m/s}$ aus. Solange der Krankenwagen steht, ist der Abstand der Wellenberge (also die Distanz, die der erste Wellenberg zurückgelegt hat, bis der zweite nachfolgt) $330\ \mathrm{m/s} \cdot 1/1000\ \mathrm{s} = 0.33\ \mathrm{m}$ , was man als Wellenlänge $\lambda$ bezeichnet. Für einen Beobachter an der Straße kommen diese Wellenberge zwar je nach Entfernung etwas zeitverzögert an, die Zeit zwischen zwei Wellenbergen ändert sich aber nicht, und damit auch nicht die wahrgenommene Tonhöhe (Frequenz $f$ ). Wie man aus obigen Zahlenbeispiel sieht, gibt es einen Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz, die sich formelmäßig als $c/f = \lambda$ (oder gebräuchlicher äquivalent als $\lambda \cdot f = c$ ) darstellen lässt.

Die Situation ändert sich aber, wenn der Krankenwagen auf den Beobachter zufährt. Da sich der Wagen in der Zeit zwischen den beiden Wellenbergen weiterbewegt, verkürzt sich der Abstand zwischen ihnen (also die Wellenlänge) etwas, nämlich genau um den Weg, den der Wagen in der Zeit von 1/1000 Sekunde zurücklegt (formelmäßig: $\lambda' = \lambda - v/f$ , wenn $v$ die Geschwindigkeit des Wagens ist). Da sich beide Wellenberge mit derselben (Schall-)geschwindigkeit zum Beobachter bewegen, bleibt der verkürzte Abstand zwischen ihnen erhalten, und der zweite Wellenberg kommt nicht erst 1/1000 Sekunde nach dem ersten an, sondern schon ein wenig früher. Dadurch erscheint dem Beobachter die Frequenz (also die Tonhöhe) des Martinshornes höher.

Quantitativ erhält man die Frequenzänderung einfach durch Einsetzen der Beziehung $\lambda \cdot f = c$ in obige Formel für $\lambda'$ . Für die vom Beobachter wahrgenommene Frequenz f' ergibt sich so:

(1)

f' = \frac{f}{1-\frac{v}{c}}.

Dabei bedeuten f die Frequenz der Schallquelle, c die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls und v die Geschwindigkeit der Schallquelle (also des Krankenwagens).

Wenn der Krankenwagen am Beobachter vorbei gefahren ist, verhält es sich sinngemäß umgekehrt: der Abstand zwischen den Wellenbergen (Wellenlänge) vergrößert sich, und der Beobachter hört einen tieferen Ton. Rechnerisch gilt obige Formel genauso, man muss nur für v eine negative Geschwindigkeit einsetzen.

Beobachter bewegt, Signalquelle in Ruhe

Auch bei ruhender Schallquelle und bewegtem Beobachter tritt ein Doppler-Effekt auf, allerdings ist hier die Ursache eine andere: wenn der Wagen ruht, ändert sich auch nichts am Abstand zwischen den Wellenbergen, die Wellenlänge bleibt also gleich. Allerdings kommen die Wellenberge schneller hintereinander bei dem Beobachter an, wenn sich dieser auf den Krankenwagen zubewegt: Da sie sich ihm mit der addierten Geschwindigkeit $c+v$ statt nur mit $c$ nähern, nimmt der zeitliche Abstand zwischen ihnen im Verhältnis dieser Geschwindigkeiten ab ( $t' = t \cdot \frac{c}{c+v}$ ), und die Frequenz, die einfach der Kehrwert dieser Zeit ist, dementsprechend zu. Wenn man noch durchkürzt, ergibt sich:

(2)

f' = f \left( 1 + \frac{v}{c}\right).

Auch hier wieder ergibt sich der Fall eines sich entfernenden Beobachters durch Einsetzen einer negativen Geschwindigkeit.

Wie man sieht, sind die Gleichungen (1) und (2) nicht identisch (nur im Grenzfall $v \ll c$ nähern sie sich einander an). Offensichtlich wird das im Extremfall: bewegt sich der Beobachter mit Schallgeschwindigkeit auf die Signalquelle zu, erreichen ihn die Wellenberge doppelt so schnell, und er hört einen Ton doppelter Frequenz. Bewegt sich hingegen die Signalquelle mit Schallgeschwindigkeit, wird der Abstand zwischen den Wellenbergen praktisch null, sie überlagern sich und es kommt zu einer extremen Verdichtung der Luft (siehe Schallmauerdurchbruch). Da so alle Wellenberge gleichzeitig beim Beobachter eintreffen, wäre das nach obiger Formel theoretisch eine unendliche Frequenz - praktisch hört man keinen Ton einer bestimmten Frequenz, sondern den Überschallknall.

Allgemeines Dopplergesetz für Schallquellen

Allgemein lässt sich der Frequenzunterschied schreiben als:

(5)

f'=f \left( \frac{c \pm v_D}{c \mp v_S}\right)

Dabei ist $v_D$ die Geschwindigkeit des Empfängers (Detektor) und $v_S$ die des Senders der Schallwellen, jeweils relativ zum Medium (z. B. der Luft). Das obere Operationszeichen gilt jeweils für Annäherung (Bewegung in Richtung des Senders bzw. Empfängers). Mit $v_D=0$ oder $v_S=0$ ergeben sich die oben genannten Spezialfälle.

Zu den Formeln ist noch zu sagen, dass sie unter der Annahme abgeleitet wurden, dass sich Quelle und Beobachter direkt aufeinander zubewegen. In realen Fällen fährt der Krankenwagen in einem bestimmten Mindestabstand an dem Beobachter vorbei. Das hat zur Folge, dass sich der Abstand zwischen Quelle und Beobachter nicht gleichmäßig ändert, und deswegen - besonders unmittelbar vor und nach dem Vorbeifahren - ein kontinuierlicher Übergang der Tonhöhe von höher zu tiefer zu hören ist.

Relativistischer Doppler-Effekt

Bei elektromagnetischen Wellen im Vakuum (Optischer Doppler-Effekt) gibt es kein Medium, deswegen hängt die beobachtete Frequenzänderung nur von der relativen Geschwindigkeit von Quelle und Beobachter ab; ob sich dabei die Quelle, der Beobachter oder beide bewegen, hat keinen Einfluss auf die Höhe der Frequenzänderung.

Aufgrund des Relativitätsprinzips darf sich jeder Beobachter als ruhend betrachten. Allerdings muss er dann bei der Berechnung des Dopplereffekts zusätzlich zu obigen Betrachtungen auch noch die Zeitdilatation der relativ zum Beobachter bewegten Quelle berücksichtigen. Somit erhält man für den relativistischen Dopplereffekt:

(6)

f' = \frac{f \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c}} = f \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}

(Quelle und Beobachter nähern sich einander)

(7)

f' = \frac{f \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}} = f \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}

(Quelle und Beobachter entfernen sich voneinander)

Bewegt sich die Lichtquelle durch ein Medium mit Brechungsindex $n>1$ (z.B. durch Wasser), so ist in diesem Medium die Lichtgeschwindigkeit $c'$ kleiner als die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit. In die Zeitdilatation geht aber weiterhin die Vakuumlichtgeschwindigkeit ein, so dass sich in diesem Fall ergibt:

f' = \frac{f \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v}{c'}}

Diese Formel geht für $v < c' \ll c$ in die nichtrelativistische Formel über, selbst wenn $v$ nicht wesentlich kleiner als $c'$ ist.

Transversaler Doppler-Effekt

Wird eine Lichtquelle seitlich beobachtet, so ändern sich der Beobachtungswinkel

\delta'

und der Abstand Lichtquelle -- Beobachter ständig. Für den Fall

\delta' = 90^{o}

sagt die Relativitätstheorie eine Frequenzverringerung (Rotverschiebung zweiter Ordnung) voraus. Die Formel hierfür lautetE. Herlt und N. Salié, Spezielle Relativitätstheorie, Vieweg, Braunschweig 1978, S. 139

f' = f \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

wobei

c

die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit bedeutet. Dies ist der eigentliche transversale Doppler-Effekt.

Beträgt dagegen der Emissionswinkel neunzig Grad ( $\delta = 90^{o}$ ), dann ergibt die Anwendung der Lorentz-Transformation rein rechnerisch

f' = \gamma f = \frac{f}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \approx f (1 + \frac{v^2}{2c^2})

Hierbei handelt es sich um eine Blauverschiebung zweiter Ordnung.

Der transversale Dopplereffekt kann bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten (also Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit) allerdings vernachlässigt werden.

Die entsprechenden vorrelativistischen Verhältnisse sind von KrauseW. Krause (2005) "Temptative Galilean Synthesis of the Optical Doppler Effect", Existentia XV, 127-139. diskutiert worden.

Informationsübertragung bei Doppler-Effekt

Wellen sind immer auch Überträger von Informationen. Hören, Sehen und Informationsübertragung durch elektromagnetische Wellen sind Beispiele dafür. Die durch den Doppler-Effekt hervorgerufenen Frequenzverschiebungen führen zu Geschwindigkeitsänderungen der Informationsübertragung. Dieser Effekt entsteht dadurch, dass nicht nur die Frequenz verändert wird, sondern in einem bestimmten Wellenabschnitt mehr oder weniger Zeitintervalle gespeichert werden können. Wellen können ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit nicht willkürlich ändern. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt immer von den Impulsübertragungseigenschaften in dem jeweiligen Medium ab und ist durch die Relativbewegungen, die Sender und Empfänger ausführen, nicht zu beeinflussen. Das bedeutet Informationen, die in der Welle enthalten sind, werden komprimiert oder gedehnt. Diese Wellen erreichen den Beobachter aber mit der gleichen Ausbreitungsgeschwindigkeit wie die Originalwelle, so dass für die entsprechende Information mehr oder weniger Zeit benötigt wird. Veranschaulichen kann man sich diesen Vorgang an einem Tonbandgerät. Wird das Band schneller abgespielt, erhöht sich nicht nur die Frequenz der Abspielung, sondern man braucht auch weniger Zeit für das Gesamtstück. Für die Berechnung dieses Effektes können die für die Frequenzverschiebung gültigen Formeln verwendet werden, wenn man davon ausgeht, dass

f = 1/T

ist. Durch entsprechende Umstellung erhält man :

Für Bewegung zum Empfänger hin $T'=T({1-\frac{v}{c}})$

Für Bewegung vom Empfänger weg

$T'=T({1+\frac{v}{c}})$

Dabei bedeutet $T'$ die Zeitdifferenz für die verschobene Welle, $T$ die Zeitdifferenz für die unverschobene Welle, $v$ die Geschwindigkeit des Senders und $c$ die Geschwindigkeit der Welle in dem entsprechenden Medium. Es wird in diesem Fall angenommen, dass der Empfänger im Bezug zum Medium sich in Ruhe befindet.

Anwendungen

Der Doppler-Effekt tritt bei Echos von ausgesendeten akustischen und elektromagnetischen Signalen auf. Beim Doppler-Radar berechnet man die Annäherungsgeschwindigkeit eines Objekts aus der gemessenen Frequenzänderung. In der Astronomie konnten Planeten außerhalb des Sonnensystems aufgrund der Frequenzverschiebung durch den Doppler-Effekt nachgewiesen werden. Sie entsteht durch die geringfügige Eigenbewegung des Sterns, welche durch umlaufende Planeten verursacht wird.

Die Rotverschiebung weit entfernter astronomischer Objekte ist nicht nur allein auf den Doppler-Effekt zurückzuführen. Vielmehr sind hierfür mehrere Ursachen verantwortlich.

Bei der Rotverschiebung, die durch den Doppler-Effekt hervorgerufen wird, handelt es sich immer um eine Bewegung im Raum. Die Rotverschiebung tritt sofort am Objekt auf. Zwei Beobachter in gleicher Linie in unterschiedlichen Entfernungen würden die gleiche Rotverschiebung beobachten, vorausgesetzt sie befinden sich untereinander in Ruhe. Da es sich um Bewegung im Raum handelt treten relativistische Effekte auf; in dem Fall Zeitverlangsamung vom Beobachter aus betrachtet. Diese Form der Rotverschiebung ist in reiner Form allerdings nur in einem statischen Universum möglich. In einer expandierenden Raumzeit muss sich diese Expansion in einer bestimmten Weise manifestieren. Das geschieht in dem der Abstand zwischen sich ansonsten in Ruhe befindlichen Raumpunkten kontinuierlich größer wird. Es entsteht also ständig und überall neuer Raum. Die Bewegung, die auf diese Weise zwischen zwei Punkten entsteht, stellt eine eigene Bewegungsform dar, um sie von der Bewegung im Raum unterscheiden zu können wird diese Bewegung Tilly-Bewegung genannt. Da die Tilly-Bewegung keine Bewegung im Raum ist, treten auch keine relativistischen Effekte auf. In einer expandierenden Raumzeit, in der nur Tilly-Bewegung auftritt, vergeht die Zeit überall gleich. Die Rotverschiebung, die durch Tilly-Bewegung hervorgerufen wird, entsteht auf der gesamten Strecke zwischen Sender und Empfänger. Auf halber Strecke zum Zielobjekt ist die Rotverschiebung deshalb auch nur halb so groß wie am Ende der gesamten Strecke. In der Realität treten beide Bewegungsformen natürlich immer in Kombination auf, da es Bewegung im Raum immer gibt, es ist die Bewegung die letztlich die Strukturen im Raum erzeugt hat.

Die dritte Form der Rotverschiebung ist die relativistische Rotverschiebung, sie entsteht dadurch, dass bei Bewegung im Raum entsprechend der allgemeinen Relativitätstheorie bei Bewegung weg vom Beobachter die Zeit des Senders langsamer vergeht. Das bedeutet alle physikalischen Prozesse auf dem Sender laufen langsamer ab. Es ist etwas schwer auszudrücken, aber der Vorgang der Erzeugung des Lichtes dauert damit entsprechend länger. Da aber vom Beobachter aus betrachtet das Licht sich sofort mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, wird die Lichtwelle in die Länge gezogen und damit ins rote verschoben.

Der Beobachter nimmt natürlich nur eine konkrete Rotverschiebung wahr, die sich aus den drei verschiedenen Arten zusammensetzt. Das Problem dabei ist, dass eine Unterscheidung der Rotverschiebungen durch reine Beobachtung nicht möglich ist. Eine Entfernungseinschätzung auf Grund der Rotverschiebungen ist deshalb nicht ohne weiteres möglich. In erster Näherung ist eine Abschätzung gut möglich. Es muss nur der Grundsatz beachtet werden, dass je weiter die Objekte entfernt sind die Rotverschiebung auf Grund der Tilly-Bewegung immer mehr dominant wird und ab einer gewissen Entfernung die anderen beiden Rotverschiebungen vernachlässigt werden können. In unmittelbarer Umgebung unserer Galaxis kann dagegen diese Rotverschiebung vernachlässigt werden und die beiden anderen dominieren. Den geringsten Anteil hat auf jeden Fall die relativistische Rotverschiebung. Diese Rotverschiebung wird erst interessant, wenn sich der Lichtgeschwindigkeit angenähert wird und das ist bei Stern- und Galaxienbewegungen nicht der Fall. Bewegungen in den Galaxien und zwischen den Galaxien liegen bei ca. 300 km/s. Aber selbst bei 1500 km/s ist der Zeitverlauf in dem bewegten Objekt erst bei 99,9 % der Normalzeit. Und das ist auch in fernen Bereichen des Universums nicht anders, denn die hohen Fluchtgeschwindigkeiten, die dort registriert werden sind ausschließlich Tilly-Bewegung.

In der Medizin wird der akustische Dopplereffekt bei Ultraschalluntersuchungen (Sonographie) ausgenutzt, um die Blutstromgeschwindigkeit darzustellen und zu messen (siehe Sonografie#Doppler-Verfahren).

In der Meteorologie wird das Doppler-Radar zur Bestimmung von Rotationsbewegungen in Superzellen (Tornados) benutzt.

Das Militär und die Flugüberwachung nutzen den Doppler-Effekt unter anderem beim Passiv-Radar.

Für Wasserwellen (Schwerewellen), deren Trägermedium einer konstanten Strömungsgeschwindigkeit unterliegt, siehe unter Wellentransformation.

Für die berührungslose Messung der Geschwindigkeitsverteilung von Fluiden (Flüssigkeiten und Gase) wird die Laserdoppler-Anemometrie (LDA) angewandt.

Zur Geschwindigkeitsermittlung bei sog. Radarfallen im Straßenverkehr wird ein Doppler-Radar benutzt.

Diese Dopplerverschiebungen führen im Mobilfunk zu Pegeleinbrüchen, welche in dem Begriff Fast-Fading zusammengefasst sind.

In der Musik wird der Dopplereffekt zur Erzeugung von Klangeffekten verwendet, beispielsweise bei den rotierenden Lautsprechern eines Leslie-Kabinetts.

Beispiel

Ein ruhender Beobachter hört eine Schallquelle, die sich genau auf ihn zu bewegt, mit der Frequenzen f'_zu(v/c), siehe Gleichung (1), wenn sie sich von ihm entfernt, mit der Frequenz f'_weg(v/c), siehe Gleichung (2). Bei Schallquellen spielt der relativistische transverale Dopplereffekt keine Rolle. Je weiter der Beobachter von der linearen Flugbahn entfernt ist, desto langsamer ändert sich die radiale Geschwindigkeitskomponente bei Annäherung. Die Schnelligkeit der Frequenzänderung hängt ab von der kürzesten Entfernung zwischen Beobachter und Signalquelle. Das Diagramm rechts zeigt die Frequenzabhängigkeit relativ zu einem im Ursprung ruhenden Beobachter. Die rote Linie entspricht der Frequenz, die er hört, wenn ihn die Signalquelle in großem Abstand passiert, blau der bei geringem Abstand. Maximal- und Minimal-Frequenzen liegen nicht symmetrisch zur Eigenfrequenz, da die Geschwindigkeit v nicht sehr viel kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit c. Es gelten die Beziehungen (1) und (2).

Sind die Koordinaten der bewegten Signalquelle bekannt, kann man aus dem Frequenzverlauf den eigenen Standort ableiten (siehe z.B. Transit (Satellitensystem)).

Die Tonbeispiele geben die Tonhöhen, die ein ruhender Beobachter hört, wenn eine Signalquelle an ihm vorbeifliegt. Sie vernachlässigen den Effekt, dass die sich entfernende Quelle länger zu hören ist als die sich nähernde:

Frequenz f₀=400 Hz, relative Geschwindigkeit v/c=0,1 (dann ist f_{zu_max}=440Hz und f_{weg_min}=360Hz):

(1) Langsam bewegte Signalquelle, die Beobachter in geringem Abstand passiert.

(2) : wie (1), aber Passieren der Signalquelle in größerem Abstand.

(3) : wie (2), Abstand noch größer.

Erhöht sich die relative Geschwindigkeit, verschieben sich die Frequenzen:

Frequenz wie oben, aber v/c=0,42 (dann ist f_{zu_max}=690Hz, f_{weg_min}=280Hz).

(4) : Abstand wie (2).

Entdeckung

Der Doppler-Effekt wurde nach dem österreichischen Physiker und Mathematiker Christian Doppler benannt, der ihn 1842 voraussagte. Doppler wollte die unterschiedlichen Farben der Sterne durch ihre Eigenbewegung erklären. Auch wenn er damit falsch lag - die Farben entstehen durch unterschiedliche Oberflächentemperatur der Sterne - war seine Berechnung im Prinzip richtig.

Ein Experiment zum Doppler-Effekt mit Schallwellen wurde 1845 vom Physiker Christoph Buys-Ballot durchgeführt. Er postierte dazu mehrere Trompeter sowohl auf einem fahrenden Eisenbahnzug als auch neben der Bahnstrecke. Beim Vorbeifahren sollte jeweils einer von ihnen ein G spielen und die anderen die gehörte Tonhöhe bestimmen. Trotz Schwierigkeiten bei der Durchführung - das Geräusch der Lokomotive war sehr laut, die Musiker waren manchmal unaufmerksam - gelang es Buys-Ballot, den Doppler-Effekt zu bestätigen. Armand Hippolyte Fizeau entdeckte den Effekt für Licht im Jahre 1848.

William Huggins wandte den Doppler-Effekt auf Sternbewegungen an.

Referenzen

Weblinks

Wellenlehre Akustik

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