Distributivgesetz

Die Distributivgesetze (lat. distribuere „verteilen“), auf Deutsch Verteilungsgesetze, sind mathematische Regeln und geben an, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen, zum Beispiel Multiplikation ( $\cdot$ ) und Addition (+), bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten. Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

a \cdot \left( b + c \right) = a \cdot b + a \cdot c

(linksdistributiv)

\left( a + b \right) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

(rechtsdistributiv)

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt.

Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra.

Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv über der Multiplikation.

In der Schulalgebra bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern. Der umgekehrte Rechenschritt wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

Das Distributivgesetz kann man auch folgendermaßen in Worte fassen:

Eine Summe (Differenz) wird summandenweise multipliziert respektive dividiert. Das heißt:

Eine Summe kann multipliziert (dividiert) werden, indem man jeden Summanden multipliziert (dividiert).

Siehe auch

Algebra

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