Die Dirac-Theorie ist ein Teil der Quantenmechanik, der auch die spezielle Relativitätstheorie mit einbezieht. Sie wurde 1928 von Paul A. M. Dirac ausgehend von der Klein-Gordon-Gleichung entwickelt.

Die Dirac-Theorie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten von Teilchen mit halbzahligem Spin, den Fermionen, die Klein-Gordon-Gleichung dagegen das von Teilchen mit ganzzahligem Spin, den Bosonen. Die wichtigsten Erfolge der Dirac-Theorie sind:

• Die Vorhersage der Existenz von Antimaterie insbesondere die des Positrons, die Dirac aus der Existenz von Zuständen mit negativer Energie ableitete. Sie gilt als ein Paradebeispiel für die Möglichkeit eines Erkenntnisvorsprungs der theoretischen Physik vor der experimentellen. Der erste experimentelle Nachweis des Positrons gelang 1932.
• Die korrekte Vorhersage für den Wert des Spindrehimpulses des Elektrons. Während der Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik nur ganzzahlige Vielfache des planckschen Wirkungsquantums $\backslash hbar$ annehmen kann, beträgt er für den intrinsischen Drehimpuls des Elektrons $\backslash hbar/2$. Damit in Zusammenhang steht auch
• die Vorhersage für den Wert des Landé-Faktors des Elektrons.

Freie Dirac-Gleichung

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Grundlage der Dirac-Theorie ist die Dirac-Gleichung. Dabei handelt es sich um eine Differentialgleichung für einen Spinor $\backslash psi$, der im Allgemeinen als vierkomponentige Wellenfunktion geschrieben wird. Die Anzahl der Komponenten wird durch die zwei möglichen Zustände des Spins und die zwei möglichen Vorzeichen der Energieeigenwerte erklärt.

Schrödingerform

Die Dirac-Gleichung für ein kräftefreies Teilchen der Masse m lautet in der Schrödingerform

$i\backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash left(c\; \backslash vec\backslash alpha\backslash vec\; p\; +\; \backslash beta\; m\; c^2\; \backslash right)\backslash psi$.

Dabei ist $\backslash vec\backslash alpha=\backslash left(\backslash alpha\_x,\backslash alpha\_y,\backslash alpha\_z\backslash right)$ mit ein Vektor aus $4\backslash times4$-Matrizen und $\backslash vec\; p=\{\backslash hbar\backslash over\; i\}\backslash nabla$ der Impulsoperator. Durch Quadrieren der Gleichung ergibt sich die relativistische Energie-Impus-Beziehung $E\; ^2\; =\; p\; ^2\; c\; ^2\; +\; m\; ^2\; c\; ^4$, wobei der Zeitentwicklungsoperator auf der linken Seite der Energie entspricht. Dazu müssen die Dirac-Matrizen $\backslash alpha\_x,\backslash alpha\_y,\backslash alpha\_z$ und $\backslash beta$ paarweise antikommutieren. Dies wird üblicherweise durch die folgende Realisierung erreicht:

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben:

\beta = \begin{pmatrix} 1_{2\times2} & 0 \\ 0 & -1_{2\times2} \end{pmatrix}

Den Hamiltomoperator der freien Dirac-Gleichung $D\_0=c\; \backslash vec\backslash alpha\backslash vec\; p\; +\; \backslash beta\; m\; c^2$ nennt man den freien Diracoperator. Die zugehörige Eigenwertgleichung, auch zeitunabhängige Diracgleichung genannt, lautet $D\_0\backslash psi\; =\; E\; \backslash psi$ wobei $E$ die möglichen Energien des Teilchens sind. Diese Gleichung kann sowohl für positive als auch für negative $E$, genauer für $E\backslash in\; (-\backslash infty,-mc^2]\backslash cup[mc^2,\backslash infty)$ erfüllt werden. Das Auftreten von negativen Energieeigenwerten war hier zunächst verblüffend. Eine Erklärung dafür gibt Dirac mit seiner Theorie vom Dirac-See, durch die auch die Existenz von Antimaterie postuliert wird. Die Theorie des Dirac-Sees weist jedoch mehrere Mängel auf, eine bessere Erklärung negativer Energien liefert die Feynman-Stückelberg-Interpretation.

Im masselosen Fall ($m=0$), d. h. der Summand mit $\backslash beta$ tritt nicht auf, heißt die Diracgleichung auch Weylgleichung.

Kovariante Schreibweise

Eine besonders elegante Schreibweise lässt sich durch die Einführung von Dirac-Matrizen $\backslash gamma\; ^\backslash mu$ erzielen:

$\backslash left(\; i\; \backslash gamma\; ^\backslash mu\; \backslash partial\; \_\backslash mu\; -\; \backslash frac\{mc\}\{\backslash hbar\}\backslash right)\; \backslash psi\; =\; \backslash left(\; i\; \backslash partial\backslash !\backslash !\backslash !/\; -\; \backslash frac\{mc\}\{\backslash hbar\}\; \backslash right)\; \backslash psi\; =\; 0$

Nach dem ersten Gleichheitszeichen wurde hierbei die Feynmansche Slash-Schreibweise $\backslash partial\backslash !\backslash !\backslash !/\; =\; \backslash gamma\; ^\backslash mu\; \backslash partial\; \_\backslash mu$ verwendet, wobei entsprechend der Einsteinschen Summenkonvention über die $\backslash mu$ von 0 bis 3 zu summieren ist.

Sonstiges zur freien Dirac-Gleichung

Für jede Komponente $\backslash psi\_\backslash alpha$ kann man in gewisser Weise die Diracgleichung als Quadratwurzel der Klein-Gordon-Gleichung auffassen, die aus dieser folgt. ( da sie nur die Tatsache $p^2\; =\; m^2$ widerspiegelt.)
Beweis: Wendet man den komplex-konjugierten Dirac-Operator $\backslash left(\; -i\; \backslash gamma\; ^\backslash mu\; \backslash partial\; \_\backslash mu\; -\; \backslash frac\{mc\}\{\backslash hbar\}\backslash right)$ auf die Dirac-Gleichung an, so entsteht für jede Komponente $\backslash psi\; \_i$ mit $\backslash gamma\; ^\backslash mu\; \backslash gamma\; ^\backslash nu+\backslash gamma\; ^\backslash nu\; \backslash gamma\; ^\backslash mu\; =\; 2g^\{\backslash mu\backslash nu\}$des Dirac-Spinors eine Klein-Gordon-Gleichung:

$\backslash left(\; \backslash partial\; ^\backslash mu\; \backslash partial\; \_\backslash mu\; +\; \backslash left(\; \backslash frac\{mc\}\{\backslash hbar\}\backslash right)\; ^2\; \backslash right)\; \backslash psi\; \_i\; =\; 0$

Die elektromagnetische Wechselwirkung

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Minimale Kopplung

In der Quantenmechanik wird die Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes durch die folgenden Substitutionen des Impuls- und Zeitentwicklungsoperators in der Schrödingergleichung berücksichtigt:

$\backslash vec\; p\; \backslash rightarrow\; \backslash vec\; p\; -\; \backslash frac\{e\}\{c\}\backslash vec\{A\}$; $i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash rightarrow\; i\backslash hbar\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; -\; e\backslash Phi$

Dabei ist $e$ die elektrische Ladung des Teilchens, $\backslash vec\{A\}$ das Vektorpotenzial des elektromagnetischen Feldes $\backslash vec\{B\}\; =\; \backslash operatorname\{rot\}\; \backslash vec\{A\}$ und $\backslash Phi$ das skalare Potenzial des elektrischen Feldes $\backslash vec\{E\}\; =\; -\; \backslash vec\{\backslash nabla\}\; \backslash Phi\; -\backslash frac\{1\}\{c\}\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash vec\{A\}\}\{\backslash partial\; t\}$.

Damit ergibt sich die Diracgleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld:

$i\backslash hbar\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash left(c\backslash vec\backslash alpha(\backslash vec\; p\; -\; e\backslash vec\; A)\; +\; \backslash beta\; m\; c^2\; +\; e\backslash Phi\; \backslash right)\; \backslash psi$

Setzt man das elektrische Potenzial $\backslash Phi\; =\; 0$ und geht in den nicht-relativistischen Grenzfall über, so wird aus der Dirac-Gleichung in obiger Form die Pauli-Gleichung, die das Verhalten eines Spin-½-Teilchens in einem magnetischen Feld beschreibt. Dies war einer der ersten großen Erfolge der Dirac-Theorie, insbesondere, da der Landé-Faktor des Elektrons korrekt vorhergesagt werden konnte (siehe unten).

In der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik werden die beiden Potenziale $\backslash vec\{A\}$ und $\backslash Phi$ zu einem 4-Vektor $A\; ^\backslash mu\; =\; (\backslash Phi\; /\; c,\; \backslash vec\{A\})$ zusammengefasst. Dann kann die minimale Kopplung durch den Übergang

$\backslash partial\; \_\backslash mu\; \backslash rightarrow\; D\; \_\backslash mu\; =\; \backslash partial\; \_\backslash mu\; +\; ieA\; \_\backslash mu$

hergestellt werden.

Landé-Faktor

Für mehr Informationen siehe Landé-Faktor

Ein geladenes Teilchen der Masse $m$ mit der Ladung $e$ hat ein magnetisches Moment $\backslash vec\{\backslash mu\}$, das im wesentlichen das Verhalten des Teilchens in einem Magnetfeld bestimmt. Ein magnetisches Moment kann zum Beispiel durch den Bahndrehimpuls $\backslash vec\{L\}$ des Teilchens erzeugt werden:

$\backslash vec\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{e\}\{2m\}\backslash vec\{L\}$

Auch der Spin $\backslash vec\{s\}$ eines Teilchens trägt zum magnetischen Moment bei:

$\backslash vec\{\backslash mu\}\; =\; g\; \backslash frac\{e\}\{2m\}\backslash vec\{s\}$

Der Faktor $g$ wird Landé-Faktor (auch g-Faktor oder gyromagnetisches Moment) genannt. Er gibt die relative Stärke des von Bahndrehimpuls und Spin erzeugten magnetischen Moments an.

Der Landé-Faktor eines Elektrons beträgt $g\; =\; 2$. Diese Tatsache kann in der nicht-relativistischen Quantenmechanik nicht erklärt werden und muss als Annahme in die Pauli-Gleichung gesteckt werden. Bei der Ableitung der Pauli-Gleichung als nicht-relativistischer Grenzfall der Dirac-Gleichung kommt dieser Faktor jedoch automatisch richtig heraus.

Präzisionsmessung zeigen, dass der wahre g-Faktor des Elektrons von 2 abweicht und in Wahrheit ungefähr $g\; =\; 2,0023$ beträgt. Diese Abweichung kann im Rahmen der Quantenelektrodynamik als Ergebnis der Wechselwirkung des Elektrons mit seinem eigenen Strahlungsfeld verstanden und mit großer Genauigkeit theoretisch vorhergesagt werden.

Artikel

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• P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A117 610 (1928)
• P.A.M. Dirac, Proc. R. Soc. A126 360 (1930)
• C.D. Anderson, Phys. Rev. 43, 491 (1933)
• R. Frisch and O. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)

Bücher

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• J. D. Bjorken, S. Drell: Relativistische Quantenmechanik. ISBN 3-411-00098-8

Quantenphysik

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