Differenzierbarkeit.png Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Differenzierbarkeit ist in zahlreichen mathematischen Räumen definiert.

Die Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differenzialrechnung, die ihrerseits ein mathematisches Teilgebiet der Analysis darstellt.

Definitionen

Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion aus den reellen Zahlen in sich selbst. ($f:\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$)

Definition: Eine Funktion $f$ ist differenzierbar an einer Stelle $x\_0$ ihres Definitionsbereichs, falls eine reelle Zahl $a$ und eine Funktion $g$ (Fehler der Approximation) existieren, derart, dass:

$f(x\_0\; +\; h)\; =\; f(x\_0)\; +\; a\; \backslash cdot\; h\; +\; g(h)$

und g von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht. (Wachstumsvergleich g(h)/h -> 0 für h->0)

Der Grenzwert

$\backslash lim\_\{x\; \backslash rightarrow\; x\_0\}\; \backslash left(\; \backslash frac\; \{f(x)\; -\; f(x\_0)\}\; \{x\; -\; x\_0\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\; \{\backslash mathrm\{d\}\}\; \{\backslash mathrm\{d\}x\}\; f(x\_0)$

heißt dann die Ableitung der Funktion f im Punkt $x\_0$ und wird mit $f\text{'}(x\_0)$ bezeichnet.

Sie heißt genau dann differenzierbar ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Grafisch lässt sich dies so deuten, dass eine Funktion genau dann differenzierbar ist, wenn an jedem Punkt des Graphen von f genau eine Tangente existiert.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion, die an einer Stelle differenzierbar ist, muss dort auch stetig sein. Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht, wie das Beispiel $f:\; x\; \backslash mapsto\; |x|$ zeigt.

Unstetigkeit.png

Für viele mathematische Sätze ist nicht die Differenzierbarkeit, sondern die stetige Differenzierbarkeit relevant, also die Frage, ob auch die Ableitung selbst noch eine stetige Funktion ist. Von ganz besonders großer Bedeutung sind in diesem Zusammenhang die unendlich oft stetig differenzierbaren oder glatten Funktionen.

Beispiel: Ist dann ist wegen $\backslash frac\{f(x)-f(0)\}\{x-0\}=\backslash frac\{f(x)\}\{x\}=x\backslash ,\backslash sin\backslash left(\backslash frac1\{x\}\backslash right)\backslash to\; 0$ für $x\backslash to\; 0$

die Ableitung $f\text{'}(0)=0\backslash ,$. Und $\backslash forall\; x\backslash neq\; 0$ ist $f\text{'}(x)=2x\backslash ,\backslash sin\backslash left(\backslash frac1\{x\}\backslash right)-\backslash cos\backslash left(\backslash frac1\{x\}\backslash right)$, wobei $\backslash lim\_\{x\backslash to\; 0+\}\; f\text{'}(x)$ nicht existiert. Die Funktion f ist daher differenzierbar, jedoch nicht stetig differenzierbar.

Eine Trajektorie eines Wiener-Prozesses ist als Funktion $X:\backslash mathbf\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbf\{R\},\; t\backslash mapsto\; X\_t(\backslash omega)$ stetig - aber fast sicher nirgends differenzierbar.

Die nach ihrem Entdecker benannte Weierstraß-Funktion $f(x)\; =\; \backslash sum\_\{k=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{\backslash sin(2^kx)\}\{1\{,\}5^k\}$ ist ebenfalls überall stetig, aber sogar nirgends differenzierbar.

Begriffserweiterungen

Der Begriff der Differenzierbarkeit lässt sich ausdehnen auf

• mehrdimensionale Räume, wo partielle und totale Differenzierbarkeit unterschieden werden müssen.
• komplexe Räume, bei denen die reellen Zahlen durch komplexe Zahlen ersetzt werden; hier liefert Differenzierbarkeit eine wesentlich stärkere Einschränkung einer Funktion
• gekrümmte Räume bzw. differenzierbare Mannigfaltigkeiten und komplexe Mannigfaltigkeiten.

Analysis

Derivative | Дифференцируемая функция