Die Differential- bzw. Differenzialrechnung ist ein wesentlicher Bestandteil der Analysis und eng verwandt mit der Integralrechnung, mit der sie unter der Bezeichnung Infinitesimalrechnung zusammengefasst wird. Zentrales Thema der Differenzialrechnung ist die Berechnung von lokalen Veränderungen von Funktionen.

Hierzu dient die Ableitung, deren geometrische Entsprechung die Tangentensteigung ist. Die Ableitung ist der Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Existiert ein solcher Proportionalitätsfaktor, so nennt man die Funktion differenzierbar. Äquivalent wird die Ableitung in einem Punkt als diejenige lineare Abbildung definiert, die unter allen linearen Abbildungen die Änderung der Funktion lokal am besten approximiert. Entsprechend wird die Ableitung auch die Linearisierung der Funktion genannt.

In vielen Fällen ist die Differentialrechnung zur Bildung von mathematischen Modellen, die versuchen die Wirklichkeit abzubilden, sowie deren nachfolgender Analyse ein unverzichtbares Hilfsmittel. Die Entsprechung der Ableitung im untersuchten Sachverhalt ist häufig die momentane Änderungsrate, in den Wirtschaftswissenschaften spricht man auch häufig von Grenzraten (z. B. Grenzkosten, Grenzproduktivität eines Produktionsfaktors etc.).

Dieser Artikel erklärt außerdem die Begriffe Differenzenquotient, Differenzialquotient, Differentiation, stetig differenzierbar, glatt, partielle Ableitung und totale Ableitung.

Einleitung

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Der Grundbegriff der Differentialrechnung ist die Ableitung einer Funktion.

In geometrischer Sprache ist die Ableitung eine verallgemeinerte Steigung. Der geometrische Begriff Steigung ist ursprünglich nur für lineare Funktionen definiert, deren Funktionsgraph eine Gerade ist. Die Ableitung einer beliebigen Funktion definiert man als die Steigung einer Tangente, die man an den Funktionsgraphen anlegt – wobei dieser Graph in der Regel an verschiedenen Stellen verschiedene Tangenten hat.

In arithmetischer Sprache gibt die Ableitung einer Funktion $f$ für jedes $x$ an, wie sich $f(x)$ verändert, wenn sich $x$ um einen infinitesimal kleinen Betrag $\backslash mathrm\{d\}x$ ändert.

In einer klassischen physikalischen Anwendung liefert die Ableitung der Orts- oder Weg-Zeit-Funktion nach der Zeit die Momentangeschwindigkeit eines Teilchens.

Geschichte

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Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg | Isaac_Newton.jpeg Die Aufgabenstellung der Differentialrechnung war als Tangentenproblem seit der Antike bekannt. Der nahe liegende Lösungsansatz war die Approximation der Tangente als Sekante über einem endlichen (endlich heißt hier: größer als Null), aber beliebig kleinen Intervall. Die technische Schwierigkeit bestand darin, mit einer solchen infinitesimal kleinen Intervallbreite zu rechnen. So löste Fermat um 1640 das Tangentenproblem für Polynome. Hierbei schrieb er bereits eine Ableitung hin, jedoch ohne Betrachtung von Grenzwerten und ohne niederzuschreiben, was die mathematischen Rechtfertigungen für sein Vorgehen waren. Zur selben Zeit wählte Descartes einen algebraischen Zugang, indem er an eine Kurve einen Kreis anlegte. Dieser schneidet die Kurve in zwei Punkten, es sei denn der Kreis berührt die Kurve. Dann war es ihm für spezielle Kurven möglich, die Steigung der Tangente zu bestimmen.

Ende des 17. Jahrhunderts gelang es Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander, widerspruchsfrei funktionierende Kalküle zu entwickeln (zur Entdeckungsgeschichte und zum Prioritätsstreit siehe den Artikel Infinitesimalrechnung). Newton ging das Problem jedoch von einer anderen Seite an als Leibniz. Während Newton das Problem physikalisch über das Momentangeschwindigkeitsproblem anging, versuchte es Leibniz geometrisch über das Tangentenproblem. Ihre Arbeiten erlaubten das Abstrahieren von rein geometrischer Vorstellung und werden deshalb als Beginn der Analysis betrachtet. Bekannt wurden sie vor allem durch das Buch des Adligen Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hospital, der bei Johann Bernoulli Privatunterricht nahm und dessen Forschung zur Analysis so publizierte. Die heute bekannten Ableitungsregeln basieren vor allem auf den Werken von Leonard Euler, der den Funktionsbegriff prägte. Newton und Leibniz arbeiteten mit beliebig kleinen Zahlen, die aber größer als Null sind. Dies wurde bereits von Zeitgenossen als unlogisch kritisiert, beispielsweise von Bischof Berkley in der polemischen Schrift The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician. Anfang des 19. Jahrhunderts ging Augustin Louis Cauchy davon ab und definierte die Ableitung in der heute üblichen, logisch strengen Weise als Grenzwert von Sekantensteigungen ("Differenzenquotienten"). Die heute benutzte Definition des Grenzwerts wurde schließlich von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts gegeben.

Definition

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Hinführung

Ausgangspunkt für die Definition der Ableitung ist die Näherung der Tangentensteigung durch eine Sekantensteigung. Gesucht sei die Steigung einer Funktion $f$ in einem Punkt $(x\_0\backslash mid\; f(x\_0))$. Man berechnet zunächst die Steigung der Sekante an $f$ über einem endlichen Intervall $x\_0\; +\; \backslash Delta\; x$:

Sekantensteigung = $\backslash frac\{f(x\_0+\backslash Delta\; x)-f(x\_0)\}\{(x\_0+\; \backslash Delta\; x)-x\_0\}$.

Die Sekantensteigung ist also der Quotient zweier Differenzen; sie wird deshalb auch Differenzenquotient genannt. Mit der Kurznotation $y$ für $f(x)$ kann man die Sekantensteigung abgekürzt als $\backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}$ schreiben.

Ableitung.PNG

Differenzenquotienten sind aus dem täglichen Leben wohlbekannt, zum Beispiel als Durchschnittsgeschwindigkeit:

„Auf der Fahrt von Augsburg nach Flensburg war ich um 9:43 Uhr ($x\_0$) am Kreuz Biebelried (Tageskilometerstand $f(x\_0)$ = 198 km). Um 11:04 Uhr ($x\_0\; +\backslash Delta\; x$) war ich am Dreieck Hattenbach (Tageskilometerstand $f(x\_0+\backslash Delta\; x)$=341 km). In 1 Stunde und 21 Minuten ($\backslash Delta\; x$) habe ich somit 143 km ($\backslash Delta\; y$) zurückgelegt. Meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf dieser Teilstrecke betrug somit 143 km/1,35 h = 105,9 km/h ($\backslash Delta\; y\; /\; \backslash Delta\; x$).“

Um eine Tangentensteigung (im genannten Anwendungsbeispiel also eine Momentangeschwindigkeit) zu berechnen, muss man die beiden Punkte, durch die die Sekante gezogen wird, immer weiter aneinander rücken. Dabei gehen sowohl $\backslash Delta\; x$ als auch $\backslash Delta\; y$ gegen Null. Der Quotient $\backslash Delta\; y\; /\; \backslash Delta\; x$ bleibt aber im Normalfall endlich. Auf diesem Grenzübergang beruht die folgende Definition:

Differenzierbarkeit und Ableitung in einem Punkt: Formale Definition und Notation

Eine Funktion, die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet ($f:U\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$), heißt differenzierbar an der Stelle $x\_0\; \backslash in\; U$, falls der Grenzwert

$\backslash lim\_\{x\; \backslash rightarrow\; x\_0\}\; \backslash frac\; \{f(x)\; -\; f(x\_0)\}\; \{x\; -\; x\_0\}\; =\; \backslash lim\_\{h\; \backslash rightarrow\; 0\}\; \backslash frac\; \{f(x\_0\; +h)\; -\; f(x\_0)\}\; \{h\}$   (mit $h\; =\; x\; -\; x\_0$)

existiert. Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient oder Ableitung von $f$ nach $x$ an der Stelle $x\_0$ und wird als

$f\backslash ,\; \text{'}(x\_0)$   oder   $\backslash frac\{\; \backslash mathrm\{d\}f\}\; \{\backslash mathrm\{d\}x\}(x\_0)$   oder   $\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}f(x\_0)\}\; \{\backslash mathrm\; \{d\}x\}$   notiert.

Die Terme $\backslash mathrm\{d\}f$ und $\backslash mathrm\{d\}x$ heißen Differentiale. Sie stellen infinitesimal kleine Zahlenwerte dar (vgl. Einleitung). In manchen Anwendungen (Kettenregel, Integration mancher Differentialgleichungen, Integration durch Substitution) rechnet man mit ihnen fast wie mit "normalen" Variablen. Ein Differential ist auch Teil der üblichen Notation für Integrale.

Die Notation einer Ableitung als Quotient zweier Differentiale wurde von Leibniz eingeführt. Newton benutzte einen Punkt über der abzuleitenden Größe, was in der Physik für Zeitableitungen bis heute üblich geblieben ist. Die Notation mit Apostroph ($f\; \backslash ,\; \text{'}$) geht auf Lagrange zurück, der sie 1797 in seinem Buch Théorie des fonctions analytiques einführte.

Im Laufe der Zeit wurde folgende gleichwertige Definition gefunden, die sich im allgemeineren Kontext komplexer oder mehrdimensionaler Funktionen als leistungsfähiger erwiesen hat:
Eine Funktion heißt in einem Punkt $x\_0$ differenzierbar, falls eine Konstante $L$ existiert, so dass

$\backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x\_\{0\}+h)-f(x\_0)-Lh\}\{h\}=0$.

Der Zuwachs der Funktion $f$, wenn man sich von $x\_0$ nur wenig entfernt, lässt sich also durch $Lh$ sehr gut approximieren, man nennt die Ableitung $L$ deswegen auch die Linearisierung von $f$.

Eine weitere Definition ergibt die Darstellung

$f(x)\; =\; f(a)\; +\; f\text{'}(a)(x\; -\; a)\; +\; r(x\; -\; a)$,

wobei die Funktion r für x gegen a gegen Null geht. Der Vorteil ist, dass Beweise einfacher zu führen sind, da kein Quotient betrachtet werden muss. Diese Darstellung der besten linearen Approximation wurde schon von Weierstraß, Henry Cartan und J. Dieudonné konsequent angewandt.

Bezeichnet man eine Funktion als differenzierbar, ohne sich auf eine bestimmte Stelle zu beziehen, dann bedeutet dies die Differenzierbarkeit an jeder Stelle des Definitionsbereiches, also die Existenz einer eindeutigen Tangente für jeden Punkt des Graphen.

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig. Die Umkehrung gilt jedoch überraschender Weise nicht. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernhard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker tatsächlich eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde; Karl Weierstraß fand dann in den 1860ern ebenfalls eine derartige Funktion, was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Ein bekanntes Beispiel für eine stetige, nicht differenzierbare Funktion ist die von Helge von Koch 1904 vorgestellte Koch-Kurve.

Ableitung als eine Funktion

Die Ableitung der Funktion $f$ an der Stelle $x\_0$, bezeichnet mit $f\backslash ,\text{'}(x\_0)$, beschreibt lokal das Verhalten der Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle $x\_0$. Nun wird $x\_0$ im Allgemeinen nicht die einzige Stelle sein, an der $f$ differenzierbar ist. Man kann daher versuchen, jeder Zahl $x$ aus dem Definitionsbereich von $f$ die Ableitung an dieser Stelle (also $f\backslash ,\text{'}(x)$) zuzuordnen. Auf diese Weise erhält man eine neue Funktion $f\backslash ,\text{'}$, deren Definitionsbereich eine Teilmenge des Definitionsbereiches von $f$ ist. $f\backslash ,\text{'}$ heißt die Ableitungsfunktion oder kurz die Ableitung von $f$. Beispielsweise hat die Quadratfunktion $f:\; \backslash ,\; x\; \backslash mapsto\; x^2$ an einer beliebigen Stelle $x\_0$ die Ableitung $f\backslash ,\text{'}(x\_0)\; =\; 2\; x\_0$. Daher ist die zugehörige Ableitungsfunktion $f\backslash ,\text{'}$ gegeben durch $f\backslash ,\text{'}:\; \backslash ,\; x\; \backslash mapsto\; 2x$.

Die Ableitungsfunktion ist im Normalfall eine andere als die ursprüngliche, einzige Ausnahme ist die Exponentialfunktion $e^x$ und ihre Vielfachen.

Ist die Ableitung stetig, dann heißt $f$ stetig differenzierbar. In Anlehnung an die Bezeichnung $C(\backslash Omega)$ des Raums der auf der Menge $\backslash Omega$ stetigen Funktionen wird der Raum der stetig differenzierbaren Funktionen mit $C^1(\backslash Omega)$ abgekürzt.

Komplexe Differenzierbarkeit

Bisher wurde nur von reellen Funktionen gesprochen. Für Differenzierbarkeit von Funktionen mit komplexen Argumenten wird einfach die Definition mit der Linearisierung verwandt. Überraschenderweise ist die Bedingung hier viel einschränkender als im reellen: So ist beispielsweise die Betragsfunktion nirgendwo komplex differenzierbar. Gleichzeitig ist jede in einer Umgebung einmal komplex differenzierbare Funktion automatisch beliebig oft differenzierbar, es existieren also alle höheren Ableitungen.

Berechnung von Ableitungen

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Das Berechnen der Ableitung einer Funktion wird Differentiation genannt; sprich, man differenziert diese Funktion.

Um die Ableitung elementarer Funktionen (z. B. $x^n$, $\backslash sin(x)$,...) zu berechnen, hält man sich eng an die oben angegebene Definition, berechnet explizit einen Differenzenquotienten und lässt dann $\backslash Delta\; x$ gegen Null gehen. Allerdings vollzieht der typische Mathematikanwender diese Berechnung nur ein paar wenige Male in seinem Leben nach. Später kennt er die Ableitungen der wichtigsten elementaren Funktionen auswendig und schlägt Ableitungen nicht ganz so geläufiger Funktionen in einem Tabellenwerk (z. B. im Bronstein-Semendjajew oder unserer Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen) nach.

Beispiel für die elementare Berechnung einer Ableitungsfunktion

Gesucht sei die Ableitung von $f(x)\; =\; x^3$. Dann berechnet man den Differenzenquotienten als

$\backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}$

= \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{(x_0+\Delta x)^3 - (x_0)^3}{\Delta x}

$$

= \frac{(x_0^3 + 3 x_0 ^2 \Delta x + 3 x_0 \Delta x ^2 + \Delta x^3) - x_0^3}{\Delta x}

$$

= \frac{(3 x_0 ^2 \Delta x + 3 x_0 \Delta x ^2 + \Delta x^3)}{\Delta x}

$$

= 3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2

und erhält im Limes $\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0$ die Ableitung

$f\text{'}(x\_0)$

= \lim_{\Delta x \to 0}(3 x_0^2 + 3 x_0 \Delta x + \Delta x^2) = 3 x_0^2 .

Beispiel für eine nicht überall differenzierbare Funktion

$f\; (x)\; =\; |x|$ ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar:

Für $x\; >\; 0$ gilt $f(x)=x$ und damit

$$

\lim_{x \rightarrow 0+} \frac {f(x) - f(0)} {x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0+}\frac {x-0}{x-0} = 1 . Für gilt dagegen $f(x)=-x$ und folglich

$$

\lim_{x \rightarrow 0-} \frac {f(x) - f(0)} {x - 0} = \lim_{x \rightarrow 0-}\frac {-x-0}{x-0} = -1 .

Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert kein beidseitiger Grenzwert. $f$ ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar (an allen anderen Stellen aber sehr wohl!). Die Funktion $f$ ist jedoch richtungsdifferenzierbar, d.h. man kann eine rechtsseitige und eine linksseitige Steigung angeben (1 bzw -1).

Abs_x.PNG

Betrachtet man den Graphen von $f$, so kommt man zu der Erkenntnis, dass der Begriff der Differenzierbarkeit anschaulich bedeutet, dass der zugehörige Graph keine „Knicke“ enthält.

Ein typisches Beispiel für nirgends differenzierbare stetige Funktionen, deren Existenz zunächst schwer vorstellbar erscheint, sind fast alle Pfade der Brownschen Bewegung. Diese wird zum Beispiel zur Modellierung der Charts von Aktienkursen benutzt.

Beispiel für eine nicht überall stetig differenzierbare Funktion

N stetig diffb.png Beachte: Selbst wenn $f$ überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion

$$

f(x) = \begin{cases} x^2\cos \left( \frac{1}{x} \right) & x\ne 0\\ 0 & x=0 \end{cases} in jedem Punkt differenzierbar, auch in $x=0$, aber die Ableitung

$$

f'(x) = \begin{cases} 2x\cos \left(\frac{1}{x} \right) + \sin \left(\frac{1}{x} \right) & x\ne 0\\ 0 & x=0 \end{cases}

ist im Punkt 0 nicht stetig.

Ableitungsregeln

Ableitungen zusammengesetzter Funktionen (z. B. $\backslash sin(2x)$ oder $x^2\; \backslash cdot\; \backslash exp(-x^2)$) führt man mit Hilfe von Ableitungsregeln auf die Differentiation elementarer Funktionen zurück (siehe auch: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen).

Mit den folgenden Regeln kann man die Ableitung zusammengesetzter Funktionen auf Ableitungen einfacherer Funktionen zurückführen. Seien $f$, $g$ und $h$ (im Definitionsbereich) differenzierbare, reelle Funktionen, $n$ und $a$ reelle Zahlen, dann gilt:

$(f^\{-1\})\text{'}(f(x\_0))\; =\; \backslash frac\{1\}\{f\text{'}(x\_0)\}.$

(Spiegelt man einen Punkt $P$ des Graphen von $f$ an der 1. Mediane und erhält damit $P^*$ auf $f^\{-1\}$, so ist die Steigung von $f^\{-1\}$ in $P^*$ der Kehrwert der Steigung von $f$ in $P$)

$(\backslash ln(f))\text{'}\; =\; \backslash frac\{f\text{'}\}\{f\}$

Ein Bruch der Form $f\backslash ,\text{'}/\; f$ wird logarithmische Ableitung genannt.

$f\text{'}(x)\; =\; \backslash left(h\text{'}(x)\backslash ln(g(x))\; +\; h(x)\; \backslash frac\{g\text{'}(x)\}\{g(x)\}\backslash right)\; g(x)^\{h(x)\}$.

$(uv)^\{(n)\}\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^n\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; u^\{(k)\}\; v^\{(n-k)\}$.
Die hier auftretenden Ausdrücke der Form $\{n\; \backslash choose\; k\}$ sind Binomialkoeffizienten.

$\backslash bullet\backslash ;$ konstante Funktion:	$\backslash left(a\backslash right)\text{'}\; =\; 0$
$\backslash bullet\backslash ;$ Faktorregel:	$(a\backslash cdot\; f)\text{'}\; =\; a\backslash cdot\; f\text{'}$
$\backslash bullet\backslash ;$ Summenregel:	$\backslash left(g\; \backslash pm\; h\backslash right)\text{'}\; =\; g\text{'}\; \backslash pm\; h\text{'}$
$\backslash bullet\backslash ;$ Produktregel:	$(g\backslash cdot\; h)\text{'}\; =\; g\text{'}\; \backslash cdot\; h\; +\; g\; \backslash cdot\; h\text{'}$
$\backslash bullet\backslash ;$ Quotientenregel:	$\backslash left(\backslash frac\{g\}\{h\}\backslash right)\text{'}\; =\; \backslash frac\{g\text{'}\; \backslash cdot\; h\; -\; g\; \backslash cdot\; h\text{'}\}\{h^2\}$
$\backslash bullet\backslash ;$ Potenzregel:	$\backslash left(x^n\backslash right)\text{'}\; =\; n\; x^\{n-1\}$
$\backslash bullet\backslash ;$ Kettenregel:	$(g\; \backslash circ\; h)\text{'}(x)\; =\; (g(h(x)))\text{'}\; =\; g\text{'}(h(x))\backslash cdot\; h\text{'}(x)$
$\backslash bullet\backslash ;$ Umkehrregel:	Ist $f$ eine an der Stelle $x\_0$ differenzierbare, bijektive Funktion mit $f\text{'}(x\_0)\backslash neq\; 0$, und ihre Umkehrfunktion $f^\{-1\}$ bei $f(x\_0)$ differenzierbar, dann gilt:
$\backslash bullet\backslash ;$ Logarithmische Ableitung:	Aus der Kettenregel folgt für die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion $f$:
$\backslash bullet\backslash ;$ Ableitung der Potenzfunktion:	Um $\backslash mathsf\{\}f(x)\; =g(x)^\{h(x)\}$ abzuleiten, erinnert man sich, dass Potenzen mit reellen Exponenten auf dem Umweg über die Exponentialfunktion definiert sind: $\backslash mathsf\{\}f(x)\; =\; \backslash exp(h(x)\backslash cdot\; \backslash ln(g(x)))$. Anwendung der Kettenregel und – für die innere Ableitung – der Produktregel ergibt
$\backslash bullet\backslash ;$Leibnizsche Regel	Die Ableitung $n$-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei $n$-fach differenzierbaren Funktionen ergibt sich aus

Manche Ableitungen des Quotienten von Funktionen lassen sich auch mit der Regel von L'Hospital berechnen.

Der Fundamentalsatz der Analysis

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Die wesentliche Leistung von Leibniz war die Erkenntnis, dass Integration und Differentiation zusammenhängen. Diese formulierte er im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt. Er besagt:

Ist $I\backslash subset\backslash mathbb\; R$ ein Intervall, $f:I\backslash to\backslash mathbb\; R$ eine stetige Funktion und $a\backslash in\; I$ ein beliebiger Punkt, so ist die Funktion

$F:I\backslash to\backslash mathbb\; R,\backslash ;\; x\backslash mapsto\; \backslash int\_a^x\; f(t)\backslash ,dt$

stetig differenzierbar, und ihre Ableitung ist $F\backslash ,\text{'}=f$.

Hiermit ist also eine Anleitung zum Integrieren gegeben: Wir suchen eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist. Dann gilt:

$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dx\; =\; F(b)-F(a)$.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

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Ein weiterer zentraler Satz der Differentialrechnung ist der Mittelwertsatz, der von Cauchy bewiesen wurde.

Es sei $f:\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ eine Funktion, die auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b$ (mit ) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion $f$ im offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar. Unter diesen Voraussetzungen gibt es mindestens ein $x\_0\; \backslash in\; (a,b)$, sodass $f\text{'}(x\_0)\; =\; \backslash frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}$ gilt.

Mehrfache Ableitungen

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Ist die Ableitung einer Funktion $f$ wiederum differenzierbar, so lässt sich die zweite Ableitung von $f$ als Ableitung der ersten definieren. Auf dieselbe Weise können dann auch dritte, vierte, etc. Ableitungen definiert werden. Eine Funktion kann dementsprechend einfach differenzierbar, zweifach differenzierbar, etc. sein.

Die zweite Ableitung kann geometrisch als die Krümmung eines Graphen interpretiert werden. Sie hat zahlreiche physikalische Anwendungen. Zum Beispiel ist die erste Ableitung des Orts $x(t)$ nach der Zeit $t$ die Momentangeschwindigkeit, die zweite Ableitung die Beschleunigung. Aus der Physik kommt die Schreibweise $\backslash dot\; x(t)$, (Sprich: x Punkt), für Ableitungen einer beliebigen Funktion nach der Zeit.

Wenn Politiker sich erfreut über den "Rückgang des Anstiegs der Arbeitslosenzahl" äußern, dann sprechen sie von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die unangenehme Aussage der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenzahl) zu relativieren.

Mehrfache Ableitungen können auf drei verschiedene Weisen geschrieben werden:

$f\text{'}\text{'}\; =\; f^\{(2)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2f\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}$ ,

$f\text{'}\text{'}\text{'}\; =\; f^\{(3)\}\; =\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^3f\}\{\backslash mathrm\{d\}x^3\}$ , ...

oder im physikalischen Fall

$\backslash ddot\; x(t)=\; \backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\; x\}\{\backslash mathrm\{d\}\; t^2\}$

wobei dies die Beschleunigung ist.

Naheliegenderweise wird die Multi-Apostroph-Schreibweise bei niedrigen, die eine oder andere Zahlen-Schreibweise bei hohen Ableitungen bevorzugt. Für die formale Bezeichnung beliebiger Ableitungen $f\backslash ,^\{(i)\}$ legt man außerdem fest, dass $f\backslash ,^\{(1)\}=f\text{'}$ und $f\backslash ,^\{(0)\}=f$.

Taylor-Reihen und Glattheit

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Ist $f$ eine ($n+1$)-mal stetig differenzierbare Funktion im Intervall $I$, dann gilt für alle $a$ und $x$ aus $I$ die Darstellung der so genannten Taylor-Formel:

$f(x)\; =\; T\_\{n\}\; (x)\; +\; R\_\{n+1\}\; (x)$

mit dem so genannten $n$-ten Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle $a$

$$

T_{n}(x) = \sum_{k=0}^n \left( {f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^k \right) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n und dem so genannten ($n+1$)-ten Restglied

$$

R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!}\int_a^x (x-t)^n f^{(n+1)}(t) dt .

Eine beliebig oft differenzierbare Funktion wird glatte Funktion genannt. Da sie alle Ableitungen besitzt, kann die oben angegebene Taylor-Formel erweitert werden auf die Taylor-Reihe von $f$ mit Entwicklungspunkt $a$:

$$

f(a) + f'(a) (x-a) + \frac{f''(a)}{2} (x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n .

Es stellt sich allerdings heraus, dass die Existenz aller Ableitungen nicht ergibt, dass $f$ sich durch die Taylor-Reihe darstellen lässt. Anders ausgedrückt: Jede analytische Funktion ist glatt, aber nicht umgekehrt, wie das im Artikel Taylorreihe gegebene Beispiel einer nicht analytischen glatten Funktion zeigt.

Häufig findet man in mathematischen Betrachtungen den Begriff hinreichend glatt. Hiermit ist gemeint, dass die Funktion so oft differenzierbar ist, wie nötig um den aktuellen Gedankengang durchzuführen.

Anwendung: Berechnung von Minima und Maxima

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Eine der wichtigsten Anwendungen der Differentialrechnung ist die Bestimmung von Extremwerten, meist zur Optimierung von Prozessen. Diese befinden sich unter anderem bei monotoner Funktionen am Rand des Definitionsbereichs, im Allgemeinen jedoch an den Stellen, wo die Ableitung Null ist. Eine Funktion kann einen Maximal- oder Minimalwert haben, ohne dass die Ableitung an dieser Stelle existiert, im folgenden werden jedoch nur zumindest lokal differenzierbare Funktionen betrachtet. Als Beispiel nehmen wir das Polynom

$\{\; f(x)\; \}\; =\; \{\; 1\; \backslash over\; 3\; \}\; \backslash cdot\; x^3\; -\; 2\; \backslash cdot\; x^2\; +\; 3\; \backslash cdot\; x$

Die Abbildung zeigt den Verlauf von $f(x)$, $f\text{'}(x)$ und $f\text{'}\text{'}(x)$ .

Einekurvendiskussionmod.png

Waagerechte Tangenten

Besitzt eine Funktion $f\backslash colon\; (a,b)\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$mit $(a,b)\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}$ in einem Punkt $x\_0\; \backslash in\; (a,b)$ ihren größten Wert, gilt also für alle $x$ dieses Intervalls $f(x\_0)\; \backslash ge\; f(x)$, und ist $f$ im Punkt $x\_0$ differenzierbar, so kann die Ableitung dort nur gleich null sein: $f\text{'}(x\_0)=0$. Eine entsprechende Aussage gilt, falls $f$ in $x\_0$ den kleinsten Wert annimmt.

Geometrische Deutung dieses Satzes von Fermat ist, dass der Graph der Funktion in lokalen Extrempunkten eine parallel zur $x$-Achse verlaufende Tangente, auch waagerechte Tangente genannt, besitzt.

Es ist somit für differenzierbare Funktionen eine notwendige Bedingung für das Vorliegen einer Extremstelle, dass die Ableitung an der betreffenden Stelle den Wert 0 annimmt: $f^\{\backslash prime\}(x\_0)=0$

Umgekehrt kann daraus, dass die Ableitung an einer Stelle den Wert null hat, noch nicht auf eine Extremstelle geschlossen werden, es könnte auch beispielsweise ein Sattelpunkt vorliegen. Eine Liste verschiedener hinreichender Kriterien, deren Erfüllung sicher auf eine Extremstelle schließen lässt, findet sich im Artikel Extremwert. Diese benutzen meist die zweite oder noch höhere Ableitungen.

Notwendige und hinreichende Bedingung im Beispiel

Im Beispiel ist

$f\text{'}(x)\; =\; x^2\; -\; 4\; \backslash cdot\; x\; +\; 3.$

Daraus folgt, dass $f^\{\backslash prime\}(x)=0$ genau für $x=1$ und $x=3$ gilt. Die Funktionswerte an diesen Stellen sind $f(1)=4/3$ und $f(3)=0$, d.h. die Kurve hat in den Punkten $(1\backslash mid\; 4/3)$ und $(3\backslash mid\; 0)$ waagerechte Tangenten, und nur in diesen.

Da die Folge

$f(0)=0,\backslash quad\; f(1)=\backslash frac\{4\}\{3\},\backslash quad\; f(3)=0,\backslash quad\; f(4)=\backslash frac\{4\}\{3\}$

abwechselnd aus kleinen und großen Werten besteht, muss in diesem Bereich ein Hoch- und ein Tiefpunkt liegen. Nach dem Satz von Fermat hat die Kurve in diesen Punkten eine waagerechte Tangente, es kommen also nur die oben ermittelten Punkte in Frage: Also ist $(1\backslash mid\; 4/3)$ ein Hochpunkt und $(3\backslash mid\; 0)$ ein Tiefpunkt.

Kurvendiskussion

Mit Hilfe der Ableitungen lassen sich noch weitere Eigenschaften der Funktion analysieren, wie Wendepunkte, Sattelpunkte, Konvexität oder die oben schon angesprochene Monotonie. Die Durchführung dieser Untersuchungen wird im Artikel Kurvendiskussion beschrieben.

Ein Beispiel für angewandte Differentialrechnung

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NeoklProdFkt.png

In der Mikroökonomie werden beispielsweise verschiedene Arten von Produktionsfunktionen analysiert, um daraus Erkenntnisse für makroökonomische Zusammenhänge zu gewinnen. Hier ist vor allem das typische Verhalten einer Produktionsfunktion von Interesse: Wie reagiert die abhängige Variable Output $y$ (produzierte Menge eines Gutes), wenn der Input $x$ (Produktionsfaktor, z. B. Arbeit oder Kapital) um eine (infinitesimal) kleine Einheit erhöht wird?

Ein Grundtyp einer Produktionsfunktion ist etwa die neoklassische Produktionsfunktion. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass der Output bei jedem zusätzlichen Input steigt, dass aber die Zuwächse abnehmend sind. Es sei beispielsweise für einen Betrieb die Produktionsfunktion

$y\; =\; f(x)\; =\; \backslash sqrt\{400x-4\}\backslash \; \backslash mathrm\{f\backslash ddot\; ur\}\backslash \; x\; \backslash ge\; 100$

(gezeichnet ist $y\; =\; f(x)\; =\; 10\backslash sqrt\{0\{,\}04x-4\}\; =\; \backslash sqrt\{4x-400\}\backslash \; \backslash mathrm\{f\backslash ddot\; ur\}\backslash \; x\; \backslash ge\; 100$)

maßgebend. Die erste Ableitung dieser Funktion ergibt unter Anwendung der Kettenregel

$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}(\{400x-4\})^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; \backslash cdot\; 400\; =\; \backslash frac\{200\}\{\backslash sqrt\{400x-4\}\}$.

Da der Wurzelausdruck der ersten Ableitung nur positiv werden kann, sieht man, dass der Ertrag bei jedem zusätzlichen Input steigt. Die zweite Ableitung ergibt

$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2y\}\{\backslash mathrm\{d\}x^2\}\; =\; 200\; \backslash left(-\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right)\; (\{400x-4\})^\{-\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; \backslash cdot\; 400\; =\; -\backslash frac\{40.000\}\{\backslash sqrt\{(400x-4)^3\}\}$.

Sie wird für alle Inputs negativ, also fallen die Zuwächse. Man könnte also sagen, das bei steigendem Input der Output unterproportional steigt.

Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen

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Alle vorigen Ausführungen legten eine Funktion in einer Variablen (also mit einer reellen oder komplexen Zahl als Argument) zu Grunde. Funktionen, die Vektoren auf Vektoren oder Vektoren auf Zahlen abbilden, können ebenfalls eine Ableitung haben. Allerdings ist eine Tangente an die Funktion in diesen Fällen nicht mehr eindeutig bestimmt, da es viele verschiedene Richtungen gibt. Hier ist also eine Erweiterung des bisherigen Ableitungsbegriffs notwendig.

Partielle Ableitungen

Wir betrachten zunächst eine Funktion, die von $\backslash mathbb\{R\}^n\backslash to\backslash mathbb\{R\}$ geht. Ein Beispiel ist die Temperaturfunktion: Wir messen in Abhängigkeit vom Ort die Temperatur in unserem Zimmer, um zu beurteilen, wie effektiv die Heizung ist. Bewegen wir das Thermometer in eine bestimmte Richtung, bemerken wir eine Veränderung der Temperatur. Diese ist die so genannte Richtungsableitung. Die Richtungsableitungen in spezielle Richtungen, nämlich die der Koordinatenachsen, nennt man auch die partiellen Ableitungen.

Insgesamt lassen sich für eine Funktion in $n$ Variablen insgesamt $n$ partielle Ableitungen errechnen:

$k\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\; (x\_1,\; \backslash dots\; ,\; x\_n)\}\{\backslash partial\; x\_i\}$

$=\; \backslash lim\_\{\backslash Delta\; x\_i\; \backslash to\; 0\}$

\frac{f(x_1, \dots , x_i+\Delta x_i, \dots , x_n) - f(x_1, \dots , x_i , \dots , x_n)}{\Delta x_i};\quad i \in n

Die einzelnen partiellen Ableitungen einer Funktion lassen sich auch gebündelt als Gradient oder Nablavektor anschreiben. Partielle Ableitungen können wieder differenzierbar sein und lassen sich dann in der so genannten Hesse-Matrix anordnen. Analog zum eindimensionalen Fall sind die Kandidaten für Extremstellen da, wo die Ableitung Null ist, also der Gradient verschwindet. Ebenfalls analog benutzt man die zweite Ableitung, also die Hesse-Matrix, zur Bestimmung des exakt vorliegenden Falles. Im Gegensatz zum eindimensionalen ist allerdings die Formenvielfalt in diesem Falle größer. Mittels einer Hauptachsentransformation der durch eine mehrdimensionale Taylor-Entwicklung im betrachteten Punkt gegebenen quadratischen Form lassen sich die verschiedenen Fälle klassifizieren.

Implizite Differentiation

Ist eine Funktion $x\; \backslash mapsto\; y(x)$ durch eine implizite Gleichung $F\backslash left(x,y\backslash left(x\backslash right)\backslash right)\; =\; 0$ gegeben, so folgt aus der verallgemeinerten Kettenregel, die für Funktionen mehrerer Variablen gilt:

$F\_x\; +\; F\_yy\text{'}\; =\; 0\backslash mathsf\{\}$.

Für die Ableitung der Funktion $y$ ergibt sich daher:

$y\text{'}\; =\; -\backslash frac\{F\_x\}\{F\_y\}$ mit $F\_x\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; x\; \}\; ,\; F\_y\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; F\}\{\backslash partial\; y\};\; F\_y\; \backslash neq\; 0$.

Totale Differenzierbarkeit

Eine Funktion $f:U\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^m$, wobei $U$ eine offene Menge ist, heißt in einem Punkt $x\_0\; \backslash in\; U$ total differenzierbar (oder auch nur differenzierbar), falls eine lineare Abbildung $L:\; \backslash ,\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^m$ existiert, sodass

$\backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(x\_\{0\}+h)-f(x\_0)-Lh\}\{\backslash |h\backslash |\}=0$ gilt.

Für den eindimensionalen Fall stimmt diese Definition mit der oben angegebenen überein. Die lineare Abbildung $L$ ist bei Existenz eindeutig bestimmt, hängt also insbesondere nicht von der verwendeten Norm ab. Die Tangente wird also durch die lokale Linearisierung der Funktion abstrahiert. Die Matrixdarstellung der ersten Ableitung von $f$ nennt man Jacobi-Matrix. Es handelt sich um eine $n\; \backslash times\; m$-Matrix, im Fall $m=1$ erhalten wir den oben beschriebenen Gradienten.

Zwischen den partiellen Ableitungen und der totalen Ableitung besteht folgender Zusammenhang: Existiert in einem Punkt die totale Ableitung, so existieren dort auch alle partiellen Ableitungen. In diesem Fall stimmen die partiellen Ableitungen mit den Koeffizienten der Jacobi-Matrix überein. Umgekehrt folgt aus der Existenz der partiellen Ableitungen in einem Punkt $x\_0$ nicht zwingend die totale Differenzierbarkeit, ja nicht einmal die Stetigkeit. Sind die partiellen Ableitungen jedoch zusätzlich in einer Umgebung von $x\_0$ stetig, dann ist die Funktion in $x\_0$ auch total differenzierbar.

Wichtige Sätze

• Satz von Schwarz: Die Differentiationsreihenfolge ist bei der Berechnung von partiellen Ableitungen höherer Ordnung unerheblich, wenn alle partiellen Ableitungen bis zu dieser Ordnung (einschließlich) stetig sind.
• Satz von der impliziten Funktion: Funktionsgleichungen sind lösbar, falls die Jacobi-Matrix bezüglich bestimmter Variablen invertierbar ist.

Verallgemeinerungen

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• In vielen Anwendungen ist es wünschenswert, Ableitungen auch für stetige oder sogar unstetige Funktionen bilden zu können. So kann beispielsweise eine sich am Strand brechende Welle durch eine partielle Differentialgleichung modelliert werden, die Funktion der Höhe der Welle ist aber noch nicht einmal stetig. Zu diesem Zweck verallgemeinerte man Mitte des 20. Jahrhunderts den Ableitungsbegriff auf den Raum der Distributionen und definierte dort eine schwache Ableitung. Eng verbunden damit ist der Begriff des Sobolew-Raums.
• In der Differentialgeometrie werden gekrümmte Flächen untersucht. Hierzu wird der Begriff der Differentialform benötigt.
• Der Begriff der Ableitung als Linearisierung lässt sich analog auf Funktionen $f:\; U\backslash subset\; X\; \backslash to\; Y$, $U\; \backslash subset\; X$ offen zwischen Banachräumen $X$, $Y$ übertragen. $f$ heißt in $x\_0\; \backslash in\; U$ differenzierbar, wenn ein stetiger linearer Operator $L\; \backslash in\; \backslash mathcal\; L(X,Y)$ existiert, so dass

$\backslash lim\_\{h\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash |f(x\_0\; +\; h)\; -\; f(x\_0)\; -\; Lh\backslash |\}\{\backslash |h\backslash |\}\; =\; 0$.

Differentialgleichungen

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Die wichtigste Anwendung der Differentialrechnung neben dem Bestimmen von Maxima und Minima ist in der mathematischen Modellierung physikalischer Vorgänge. Wachstum, Bewegung oder Kräfte haben alle mit Ableitungen zu tun, ihre formelhafte Beschreibung muss also Differentiale enthalten. Typischerweise führt dies auf Gleichungen, in denen Ableitungen einer unbekannten Funktion auftauchen, eben genau Differentialgleichungen.

Beispielsweise verknüpft das Newtonsche Bewegungsgesetz

$\backslash mathbf\{F\}(t)\; =\; m\; \backslash mathbf\{a\}(t)\; =\; m\; \backslash ddot\; \backslash mathbf\{s\}\; =\; m\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\backslash mathbf\{s\}\}\; \{\backslash mathrm\{d\}t^2\}$

die Beschleunigung $\backslash mathbf\{a\}$ eines Körpers mit seiner Masse $m$ und der auf ihn einwirkenden Kraft $\backslash mathbf\{F\}$. Das Grundproblem der Mechanik lautet deshalb, aus einer gegebenen Beschleunigung auf die Ortsfunktion eines Körpers zurückzuschließen. Diese Aufgabe, eine Umkehrung der zweifachen Differentiation, hat die mathematische Gestalt einer Differentialgleichung zweiter Ordnung. Die mathematische Schwierigkeit dieses Problems rührt daher, dass Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren sind, die im allgemeinen nicht in die gleiche Richtung zeigen, und dass die Kraft – je nach Anwendungsfall – von der Zeit $t$ oder/und vom Ort $\backslash mathbf\{s\}$ abhängen kann.

Da viele Anwendungen mehrdimensional sind, sind dort partielle Ableitungen sehr wichtig, mit denen sich partielle Differentialgleichungen formulieren lassen. Mathematisch kompakt werden diese mittels Differentialoperatoren beschrieben und analysiert.

Literatur

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• Schulbücher:
  • Differentialrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt.
• Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik):
  • Henri Cartan: Differentialrechnung. BI-Wissenschaftsverlag, ISBN 3-411-01442-3
  • Henri Cartan: Differentialformen. BI-Wissenschaftsverlag, ISBN 3-411-01443-1
  • Henri Cartan: Elementare Theorien der Analytischen Funktionen einer und mehrerer Komplexen Veränderlichen. BI-Wissenschaftsverlag, ISBN 3-411-00112-7
  • Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1, 2. Springer, 1. Aufl. 1928, 4. Aufl. 1971
  • Jean Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis, Band 1. Vieweg, ISBN 3-528-18290-3
  • Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2004. ISBN 3-528-67224-2
  • Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rⁿ. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg-Verlag, 6. Aufl. 2005. ISBN 3-528-47231-6
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, 2. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995
  • Steffen Timmann: Repetitorium der Analysis 1, 2. Binomi Verlag, 1. Auflage, 1993,
• Lehrbücher für Studenten mit Nebenfach/Grundlagenfach Mathematik (z.B. Studenten der Ingenieur- oder Wirtschaftswissenschaften):
  • Rainer Ansorge und Hans Joachim Oberle: Mathematik für Ingenieure. Wiley-VCH, Band 1, 3. Auflage, 2000
  • Lothar Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure Band 1
  • Klaus Weltner: "Mathematik für Physiker" Band 1

Weblinks

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• Lernpfad zur Einführung in die Differentialrechnung (benötigt JavaScript)
• Grundidee des Differenzierens - Filmclip
• Anschauliche Erklärung von Ableitungen
• Erklärung der Differentialrechnung für Schüler

Analysis

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