Differenzengleichung

In der Mathematik wird durch eine Differenzengleichung (DzGl) (auch als Rekursionsgleichung bezeichnet) eine Folge rekursiv definiert. D.h. jedes Folgenglied ist eine Funktion der vorhergehenden Folgenglieder:

$x_n = f(x_{n-1}, x_{n-2}, ..., x_1, x_0)$

Eine Spezialform sind die lineare Differenzengleichungen.

Herkunft und Anwendung

In der Ingenieurwissenschaft ist die Differenzengleichung eine Rechenvorschrift zur Berechnung einer Ausgangsfolge respektive Ausgangssignal. Im Sinne der Zeitreihenanalyse lässt sich eine Differenzengleichung auch allgemeiner als Gleichung, mit der sich die Werte einer Zeitreihe berechnen lassen, die rekursiv zusammenhängen, definieren.

Nach der Diskretisierung eines kontinuierlichen Signals kann aus der Folge keine Ableitung mehr berechnet werden, man muss sich hier des Differenzenquotienten bedienen. Sie ist im Grunde das zeitdiskrete Pendent zur Differentialgleichung und findet ihre Anwendung vor allem in der Digitale Signalverarbeitung (z.B. im Zusammenhang mit dem Entwurf von Filtern).

Anwendungsbeispiele aus der Zeitreihenanalyse sind die Tilgungsrate eines Annuitäten-Kredits (deterministischer Zusammenhang) oder der Bestand an Arbeitslosen (stochastischer Zusammenhang).

Zusammenhang Differenzengleichung und z-Transformation

Die z-Transformation nimmt die gleiche Stellung für zeitdiskrete Signale (Folgen), wie die Laplacetransformation für den kontinuierlichen Zeitbereich.

Dzgl_z.png

Vom Z-Bildbereich zum Zeitdiskreten

Vom Zeitdiskreten in den z-Bildbereich

Es gibt hier viele Möglichkeiten: Durch Tabellen, Taylorreihenentwicklung, nichtabbrechende Division u.a.

mit Hilfe der Übertragungsfunktion

Ausdrücke in z können sehr einfach mit Hilfe einer Übertragungsfunktion der Variablen und eines Stoßes (im Diskreten) in eine Differenzengleichung übersetzt werden. Ein Beispiel dazu:

sei $a(z)=\frac{1 + z^{-1}}{2 + 3z^{-1}}$ , und weiter als zwei einzelne Funktionen für a(z) und 1 :

a(z) \cdot ( 1 + z^{-1} ) = ( 2 + 3z^{-1}) \cdot 1

Wird nun ausgeklammert, $a(z) + a(z) \cdot z^{-1} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot z^{-1} \cdot 1$ , ist schön zu erkennen, dass ein Vergleich gleicher Koeffizienten der Filter a und 1 mittels Indexverschiebung

k\mapsto u(k-N) \Leftrightarrow z^{-N} \cdot u(z)=\sum_i u(i)z^{-i-N}=\sum_k u(k-N)z^{-k}

möglich wird:

a(k) + a(k-1) =  2 \cdot \delta (k) + 3 \cdot \delta (k-1)

Eine beschränkte Lösung dieser Differenzengleichung kann mittels der geometrischen Reihe bestimmt werden, dazu wird der Nenner durch Erweitern auf die Form 1+2/3 z gebracht:

a(z)=\frac13\cdot\frac{1+z}{1+\frac23z}=\frac13(1+z)\sum_{k=0}^\infty (2z/3)^k

woraus sich

a_k=0

für k<0,

a_0=\frac13

und :

a_k=\frac{2^k}{3^{k+1}}+\frac{2^{k-1}}{3^k}=\frac{5\cdot2^{k-1}}{3^{k+1}}

für k>0 ergibt.

Dies ist eine Anwendung der erzeugenden Funktionen.

Anmerkung: Der diskrete Deltastoss $\delta(k)=\delta_{0,k}$ hat immer den Wert 0, außer bei k=0. Dort hat er den Wert 1. Die rechte Seite tritt hier also als Teil der Anfangsbedingungen auf.

Siehe auch