Die Differentialgeometrie stellt als Teilgebiet der Mathematik die Synthese von Analysis und Geometrie dar.

Teilgebiete

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Klassische Differentialgeometrie

Die elementare Differentialgeometrie beschäftigt sich mit Kurven und Flächen im dreidimensionalen Anschauungsraum und ihren Krümmungseigenschaften. Zu den klassischen Studienobjekten gehören beispielsweise die Minimalflächen, die in der Natur als Formen von Seifenhäuten entstehen.

Moderne Differentialgeometrie

Die abstrakte Differentialgeometrie entsteht aus der intrinsischen Beschreibung geometrischer Objekte, d.h. der Beschreibung ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der differenzierbaren Mannigfaltigkeit: eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der lokal in etwa aussieht wie der $n$-dimensionale reelle Raum. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die Erdoberfläche: In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben, d.h. kleine Teile "sehen aus wie" die Ebene. Um aber ein Gesamtbild der Erde zu erhalten, müssen noch die Kartenwechsel beschrieben sein: welche Teile zweier Karten entsprechen sich? Das Attribut differenzierbar bezieht sich nun darauf, dass diese Kartenwechsel differenzierbare Abbildungen sein sollen. Das ermöglicht es, von differenzierbaren Funktionen auf der Mannigfaltigkeit zu sprechen, und die Analysis wird gewissermaßen zur lokalen Theorie, deren globale Entsprechung die Differentialgeometrie ist.

Riemannsche Geometrie

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von riemannschen Mannigfaltigkeiten. Sie sind Gegenstand der riemannschen Geometrie, die auch die sich aus dieser Struktur ergebenden Begriffe der Krümmung, der kovarianten Ableitung und der Parallelverschiebung untersucht.

Differentialtopologie

Die Differentialtopologie benutzt Mittel der Differentialgeometrie und der Topologie zum Studium topologischer Eigenschaften der betrachteten Mannigfaltigkeiten.

Theorie der Liegruppen

So wie Gruppen auf Mengen basieren, sind Mannigfaltigkeiten die Grundlage der Liegruppen. Liegruppen treten an vielen Stellen der Mathematik und Physik als Gruppen kontinuierlicher Symmetrien auf, beispielsweise als Drehungen des Raumes. Das Studium des Transformationsverhaltens von Funktionen unter Symmetrien führt zur Darstellungstheorie der Liegruppen.

Anwendungsgebiete

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Anwendung findet die klassische Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ermöglicht die Voraussage von Phänomenen, die durch das Experiment bestätigt werden (Lichtablenkung, Periheldrehung des Merkur).

Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht unterschiedlichen Sichtweisen auf ein Ereignis.

Die klassische Differentialgeometrie wurde auch schon früher in der Geodäsie und Kartographie angewendet. Beispiel ist hier unter anderem die Kartenprojektionslehre aus der die Begriffe geodätische Linie und Gauß'sche Krümmung stammen.

Methoden

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Koordinatentransformationen

Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrische Objekte zu ermöglichen.

Will man Abstände auf einer Kugeloberfläche untersuchen, so wird man Kugelkoordinaten verwenden, betrachtet man euklidische Abstände im Raum, so verwendet man kartesische Koordinaten.

Ein einfacheres Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten, mit denen man eine Kreislinie einfacher beschreiben kann.

$f(r,\backslash Phi)=(r\backslash cos\; \backslash Phi,r\backslash sin\; \backslash Phi)\; =\; (x,y)$

Die Koordinaten (x,y) berechnen sich aus $(r,\backslash Phi)$ folgendermaßen:

• $x(r,\backslash Phi)\; =\; r\backslash cos\; \backslash Phi$
• $y(r,\backslash Phi)\; =\; r\backslash sin\; \backslash Phi$

x und y werden auch als Komponentenfunktionen von f bezeichnet. Hierfür lassen sich die (totalen) Differentiale angeben:

$\backslash mathrm\{d\}x=\backslash frac\{\backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; r\}\backslash mathrm\{d\}r\; +\backslash frac\{\backslash partial\; x\}\{\backslash partial\; \backslash phi\}\backslash mathrm\{d\}\backslash phi\; =\; \backslash cos\; \backslash phi\; \backslash mathrm\{d\}r\; -\; r\backslash sin\; \backslash phi\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash phi$

$\backslash mathrm\{d\}y=\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; r\}\backslash mathrm\{d\}r\; +\backslash frac\{\backslash partial\; y\}\{\backslash partial\; \backslash phi\}\backslash mathrm\{d\}\backslash phi\; =\; \backslash sin\; \backslash phi\; \backslash mathrm\{d\}r\; +\; r\backslash cos\; \backslash phi\; \backslash mathrm\{d\}\; \backslash phi$

Man bezeichnet dx,dy,dr, $\backslash mathrm\{d\}\backslash phi$ als Koordinatendifferentiale. Bei diesem Beispiel fällt die Bedeutung von d als Differentialoperator mit der Bedeutung eines infinitesimalen Abstandes zusammen.

Kugelkoordinaten werden auch als krummlinige Koordinaten bezeichnet, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, der Kugeloberfläche, ermöglichen.

Ein wesentliches Hilfsmittel der klassische Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können. Oft werden krummlinige Koordinaten verwendet.

Die aus der Analysis bekannten Differentialoperatoren werden auf krummlinige Differentialoperatoren erweitert.

Kovariante Ableitung

Ein krummliniger Differentialoperator ist z.B. die kovariante Ableitung, die im Riemannschen Raum verwendet wird.

Krummlinige Differentialoperatoren ermöglichen die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z.B. die Definition von Geodäten im Riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche. Die Längenkreise auf einer Kugel sind Beispiele für geodätische Liníen, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).

Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im Riemannschen Raum die Christoffelsymbole $\backslash Gamma^\backslash mu\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$ definiert.

Die Christoffelsymbole gehen in die Definition der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.

Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Räume. Sie reduziert sich im euklidischen Raum zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des Riemannschen Krümmungstensors verwendet.

Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve kann im gekrümmten Raum dazu führen, dass sich der verschobene Vektor mit seinem Ausgangsvektor nicht deckt.

Literatur

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Elementare Differentialgeometrie

• Wilhelm Blaschke, Kurt Leichtweiß, Elementare Differentialgeometrie, Springer-Verlag, 1973

Dieses Buch ist eine sehr schöne Einführung in dieses Teilgebiet der Mathematik. Es schafft den Spagat zwischen den geometrischen Ideen und der Abstraktion.

• Manfred P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. Vieweg & Sohn, 1983

Beschreibt die so genannte elementare Differentialgeometrie. Enthält einen Abschnitt über Parallelverschiebung.

• E. Heil: Differentialformen. BI Wissenschaftsverlag, 1974

Eine Einführung in die Analysis und wie sie mit Hilfe von Differentialformen beschrieben werden kann. Das Buch ist hilfreich für das Verständnis differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Es ist (relativ) leicht verständlich geschrieben.

Abstrakte Mannigfaltigkeiten, Riemannsche Geometrie

• Rolf Walter: Differentialgeometrie. BI Wissenschaftsverlag, 1989

Differentialgeometrie aus dem Blickwinkel der modernen Mathematik. Mit einem Kapitel über Riemannsche Geometrie.

• Sigurdur Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces. Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7

Standardreferenz, insbesondere auch für die Klassifikation der halbeinfachen Liegruppen.

• S. Kobayashi und K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry. I, New York 1963

Abstraktes Standardwerk.

Allgemeine Relativitätstheorie

• Misner, Kip Thorne, John Wheeler: Gravitation

Das berühmte, tausendseitige "Dreimännerbuch"; liebevolle didaktische Aufbereitung: jede Begriffsbildung wird anschaulich begründet, jede Rechnung sorgfältig motiviert.

• H. Stephani: Allgemeine Relativitätstheorie: eine Einführung in die Theorie des Gravitationsfeldes. Dt. Verl. d. Wiss. Berlin 1977

Mit Kapiteln über Riemannsche Geometrie, Tensoralgebra und Kovariante Ableitung, Krümmungstensor und Differentialoperatoren.

• Robert M. Wald: General Relativity

Allgemeine Relativitätstheorie mathematischer Ansatz: mathematisch sauber im Gegensatz zu den meisten anderen Einführungen: dadurch mehr korrekt als intuitiv.

• Stephen W. Hawking, G. F. R. Ellis:The Large Scale Structure of Space-time

Sehr mathematisches Buch, Singularitätentheorem (Hawking, Roger Penrose); beschäftigt sich mit den kosmologischen Fragestellungen der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Weblinks

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• Differentialgeometrie-Homepage

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