Determinante (Mathematik)

In der Linearen Algebra ist die Determinante eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix oder einem linearen Endomorphismus eine Zahl zuordnet. Zum Beispiel hat die 2×2-Matrix

A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} die Determinante

\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc

Die Formel für größere Matrizen wird weiter unten angegeben.

Die Determinante von A wird manchmal als |A| geschrieben, jedoch sollte diese Notation vermieden werden, da sie auch dazu verwendet wird, andere Matrix-Funktionen zu bezeichnen, wie z.B. die Quadratwurzel aus AA^*.

Geschichte und Anwendungen

Historisch gesehen wurden Determinanten bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante definiert als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems. Die Determinante "determiniert", ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich Null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt.

Determinanten werden benutzt, um invertierbare Matrizen zu charakterisieren und um die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit auszudrücken. Sie können verwendet werden, um die Eigenwerte der Matrix $A$ als Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms $\chi_A(\lambda) = \det(\lambda E - A)$ zu ermitteln.

Man bildet die Determinante von n Vektoren im $\R^n$ , indem man die Determinante der quadratischen Matrix berechnet, deren Spalten die gegebenen Vektoren sind. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der Determinante einer Basis dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren.

Determinanten werden zur Berechnung von Volumina in der Vektorrechnung verwendet: der Absolutbetrag der Determinante von reellen Vektoren ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Eine Folgerung ist: Wird die lineare Abbildung $f: \R^n\to\R^n$ durch die Matrix A repräsentiert, und ist $S\subseteq\R^n$ eine beliebige messbare Teilmenge, dann ist das Volumen von $f(S)$ durch $|\det(A)| \cdot \operatorname{Volumen}(S)$ gegeben. Allgemeiner gilt: Wird die lineare Abbildung $f: \R^n\to \R^m$ durch die m-mal-n Matrix A repräsentiert, und ist $S\subseteq\R^n$ eine beliebige messbare Teilmenge, so ist das n-dimensionale Volumen von $f(S)$ gegeben durch $\sqrt{\det(A^T\cdot A)} \cdot \operatorname{Volumen}(S)$ .

Bedeutung der Determinante für lineare Gleichungssysteme

Der folgende Abschnitt erläutert anschaulich, welche Bedeutung die Determinante einer Matrix für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems (LGS) hat.

Gegeben sei folgende Gleichung:

a · x = b

x ist die unbekannte Variable, a und b sind reelle Zahlen.

Möchte man nun x berechnen, so löst man die Gleichung über Äquivalenzumformungen nach x auf. Es entsteht folgende Formel:

x = b / a

Dabei muss man aber beachten: Durch Null kann man nicht teilen. Also muss a ungleich Null sein, damit die Gleichung auf diese Weise lösbar ist. Im Fall dass a und b beide gleich Null sind, ist jede reelle Zahl x eine Lösung. Ist a gleich Null und b ungleich Null, dann hat die Gleichung a·x=b keine Lösung.

In der linearen Algebra rechnet man mit Matrizen und Vektoren. Sei A eine quadratische Matrix und b ein Vektor mit genausovielen Zeilen wie A. Man kann nun die folgende Gleichung aufstellen:

A · x = b

Dabei ist · eine Matrix-Vektor-Multiplikation (siehe Matrix) und x ist ein unbekannter (gesuchter) Vektor. Schreibt man dieses Produkt aus, erkennt man, dass es eigentlich mehrere Gleichungen sind, es handelt sich also um ein lineares Gleichungssystem.

Rein formal könnte man die Lösung in derselben Form aufschreiben wie oben:

"x = b / A"

Es wird also der "Vektor b durch die Matrix A geteilt". So einfach wie mit reellen Zahlen ist das jedoch nicht, denn wie teilt man durch eine Matrix? In der Regel ermittelt man die Lösung daher mit dem Gauß-Algorithmus. Jedoch gibt es auch hier nicht immer eine eindeutige Lösung: Die Null-Matrix ist mit Sicherheit eine der Matrizen, die die Gleichung unlösbar machen oder zu unendlich vielen Lösungen führt (wenn b=0 ist). Gibt es aber auch andere Matrizen, für die die Gleichung keine eindeutige Lösung hat?

Bei der Beantwortung dieser Frage hilft die Determinante. Die Determinante einer Matrix mit reellen Einträgen ist eine reelle Zahl. Ist diese Zahl gleich Null, so ist eine eindeutige Lösung ausgeschlossen, da man den Vektor b durch "Null" teilen müsste. Dies ist aber nicht möglich, und so liefert der Gauß-Algorithmus in dem Fall entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Die Determinante gibt also Auskunft darüber, ob eine Gleichung eindeutig lösbar ist oder nicht.

Dazu gibt es nun gleichwertige Begriffe:

Ist det(A) = 0, dann heißt die Matrix A singulär, sie ist dann nicht invertierbar und die Gleichung Ax = b ist nicht eindeutig lösbar.

Analog heißt A regulär, wenn

\det(A) \not= 0

ist. In diesem Fall ist A invertierbar, der Kern beinhaltet nur den Nullvektor und alle Spalten (Zeilen) sind linear unabhängig.

Definition und Berechnung

Sei A = (a_i,j) eine quadratische Matrix.

Matrizen bis zur Größe 3×3

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende 1×1-Matrix A ist

\det(A) = a_{1,1}

Falls A eine 2×2-Matrix ist, dann ist

\det(A) = a_{1,1}\cdot a_{2,2} - a_{2,1}\cdot a_{1,2}

Für eine 3×3-Matrix A, ist die Formel komplizierter:

\det(A) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33}

wobei wir in üblicher verkürzender Notation die Multiplikationspunkte weglassen und

a_{12}

statt

a_{1,2}

schreiben. Will man diese Determinate von Hand berechnen, so stellt die Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Leibniz-Formel

Für eine allgemeine n×n-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel definiert:

\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \left( \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} \right)

Die Summe wird über alle Permutationen σ der Zahlen {1,...,n} berechnet und sgn(σ) bezeichnet das Vorzeichen der Permutation σ: +1, falls σ eine gerade Permutation ist und -1, falls sie ungerade ist.

Diese Formel enthält n! Summanden und ist somit unhandlich, falls n größer als 3 ist. Sie eignet sich jedoch zum Beweis von Aussagen über Determinanten.

Gauß-Algorithmus zur Determinantenberechnung

Im Allgemeinen können Determinanten mit dem Gauß-Algorithmus berechnet werden, unter Verwendung der folgenden Regeln:

Falls A eine "obere (untere) Dreiecksmatrix" ist, d.h. a_i,j = 0 für i > ^* j (nur Nullen unterhalb (oberhalb) der Hauptdiagonalen), dann ist
det(A) = a_1,1 · a_2,2 · ... · a_n,n das Produkt der Hauptdiagonal-Einträge
Falls B sich aus A ergibt, indem man 2 Zeilen oder Spalten austauscht, dann ist det(B) = - det(A)
Falls B sich aus A ergibt, indem man eine Zeile oder Spalte mit der Zahl c multipliziert, dann ist det(B) = c · det(A)
Falls B sich aus A ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist det(B) = det(A).

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Laplacescher Entwicklungssatz

Es ist möglich, eine Determinante "nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln", indem man die Laplace-Formel benutzt, die für kleine Matrizen oder Matrizen mit vielen Nullen sehr effizient ist. Es gilt

\det(A) = \sum_{j=1}^n\ (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})

wobei A _ij die (n-1)×(n-1)-Untermatrix ist, die aus A durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht (siehe komplementäre Matrix). Genau genommen gibt dieser Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Der Laplacesche Entwicklungssatz kann vor allem dann nützlich sein, wenn die Matrix in einer Zeile oder Spalte viele Nullen enthält oder wenn man sich die Leibniz-Formel in ihrer Gesamtheit nicht aneignen will. Zum Beispiel ist

\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} -1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} +2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 + 1 + 2 = 3 (Entwicklung nach der 1. Zeile)

Die durch den Faktor (-1)^i+j bewirkte Vorzeichenverteilung gleicht einem Schachbrettmuster.

Determinante eines Endomorphismus

Es sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ . (Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring $K$ mit Einselement und einen freien Modul vom Rang $n$ über $K$ betrachten.)

Die Determinante einer $K$ -linearen Abbildung $f\colon V\to V$ ist die Determinante einer Darstellungsmatrix von $f$ bezüglich einer Basis von $V$ . Sie hängt nicht von der Wahl dieser Basis ab.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei $\det V=\bigwedge\!{}^nV$ und $\det f=\bigwedge\!{}^nf$ . Dann ist $\det V$ ein eindimensionaler $K$ -Vektorraum (bzw. ein freier $K$ -Modul vom Rang 1), also kann die lineare Abbildung

\det f\colon\det V\to\det V

mit einem Element von

K

identifiziert werden; dieses Element ist die Determinante von

f

Eigenschaften

Produktregel

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

det(AB) = det(A)det(B) für alle n×n-Matrizen A und B.

Multiplikation mit Skalaren

Es ist einfach zu sehen, dass det(rI_n)=rⁿ und somit

det(rA) = rⁿ det(A) für alle n×n Matrizen A und alle Skalare r.

Inverses

Falls A invertierbar ist, dann ist

det(A^-1)=det(A)^-1.

Transponierte Matrix

Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante:

det(A) = det(A^T).

Eigenwerte

Die Determinante einer trigonalisierbaren Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte:

\det(A) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \dots \cdot \lambda_n

Dabei treten die Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit auf.

Dies folgt daraus, dass die Determinante einer Matrix und die ihrer jordanschen Normalform gleich sind. Die Jordansche Normalform wiederum ist eine obere Dreiecksmatrix, bei der die Eigenwerte die Einträge der Hauptdiagonalen bilden.

Aus dem Zusammenhang zwischen der Determinante und den Eigenwerten lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Spurfunktion, der Exponentialfunktion und der Determinante ableiten:

\det( \exp(A)) = \exp(\operatorname{spur}(A))

Ableitung

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen fester Dimension $n$ ist eine Polynomfunktion $\det:\R^{n\times n}\to \R$ und als solche überall differenzierbar. Ihre Ableitung kann mit Hilfe von Jacobis Formel dargestellt werden:

d det(A) = tr(A^# dA)

wobei A^# die zu A komplementäre Matrix bezeichnet. Insbesondere ergibt sich für invertierbares A, dass

d det(A) = det(A) tr(A^-1 dA)

oder vereinfacht,

det(A + X) - det(A) ≈ det(A) tr(A^-1 X)

falls die Werte der Matrix X hinreichend klein sind. Der Spezialfall wenn A gleich der Einheitsmatrix E ist, ergibt

det(E + X) ≈ 1 + tr(X).

Verallgemeinerungen

Es ist sinnvoll, die Determinante für Matrizen zu definieren, deren Einträge in einem kommutativen Ring liegen. Die Regeln zur Berechnung, die Leibniz-Formel und die Kompatibilität mit der Matrix-Muliplikation bleiben gültig, mit der Ausnahme, dass nun eine Matrix A genau dann invertierbar ist, falls det(A) ein invertierbares Element des zugrundeliegenden Ringes ist.

Für manche Zwecke betrachtet man auch formale Determinanten, deren Einträge sowohl Skalare als auch Vektoren sind, z.B. bei der Definition eines verallgemeinerten Kreuzprodukts. Diese werden mit der Leibniz-Formel berechnet (selbstverständlich dürfen dabei keine Vektoren miteinander multipliziert werden).

Man kann die Determinante wie folgt abstrakt als eine gewisse antisymmetrische multilineare Abbildung definieren: Falls R ein kommutativer Ring ist und M = Rⁿ der n-dimensionale freie R-Modul, dann ist

det: Mⁿ

\to

die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

det ist R-linear in jedem der n Argumente.
det ist antisymmetrisch, d.h. falls zwei der n Argumente gleich sind, so ist die Determinante Null.
det(e₁,..,e_n) = 1, wobei e_i das Element von M ist, das eine 1 als i-te Koordinate hat und sonst Nullen.

Siehe auch

Weblinks

Lineare Algebra

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