David Hilbert

David Hilbert (* 23. Januar 1862 in Königsberg, Ostpreußen; † 14. Februar 1943 in Göttingen) war einer der bedeutendsten Mathematiker aller Zeiten.

Leben

David Hilbert 1886.jpg Hilbert studierte unter Ferdinand von Lindemann an der Albertina, wo er auch 1885 seine Dissertation "Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen" schrieb. 1886 habilitierte er sich mit einer Arbeit über invariantentheoretische Untersuchungen im binären Formengebiet. Anschließend war er Privatdozent, Extraordinarius und 1893 Ordinarius. Im selben Jahr heiratete er Käthe Jerosch. 1895 erfolgte auf Betreiben von Felix Klein die Berufung an die Universität Göttingen.

Im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts hat Hilbert wesentlichen Anteil an der Entwicklung dieser Universität zu einem führenden mathematisch-naturwissenschaftlichen Lehr- und Forschungszentrum gehabt; er blieb ihr, trotz zahlreicher Angebote anderer Universitäten und Akademien, bis zu seiner Emeritierung 1930 treu.

Hilbert trug dazu bei, dass sein Freund Hermann Minkowski, den er in seiner Königsberger Zeit kennengelernt hatte, ebenfalls eine Professur in Göttingen erhielt.

Werk

Hilberts Werk ist von außerordentlicher Bedeutung in der Mathematik und der mathematischen Physik.

Viele seiner Arbeiten begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Seine Vorschläge zu den Grundlagen der Mathematik ("Hilberts Programm") führten zu einer kritischen Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen Beweises. Mit seiner Rede auf dem Welt-Mathematikerkongress im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, bestimmte er die mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.

Algebraische Geometrie

Bis etwa 1893 leistete er Beiträge zur Invariantentheorie. Unter anderem bewies er den hilbertschen Basissatz (jedes Ideal in einem Polynomring über einem Körper ist endlich erzeugt). In seinem Nullstellensatz zeigte er den eindeutigen Zusammenhang von Nullstellen von polynomialen Gleichungen und Polynomidealen. Damit verband er Geometrie und Algebra, was zur Entwicklung der algebraischen Geometrie führte.

Zahlentheorie

In seinem bedeutenden Werk "Zahlbericht" von 1897 (algebraische Zahlentheorie), fasste er Arbeiten von Ernst Eduard Kummer, Leopold Kronecker und Richard Dedekind mit eigenen Ideen zusammen. Ein wichtiger Satz aus dieser Arbeit wird immer noch unter der dort verwendeten Nummerierung zitiert: Hilberts Satz 90.

Geometrie

Er analysierte die Geometrie des Euklid und veröffentlichte 1899 in den "Grundlagen der Geometrie" erstmals ein vollständiges Axiomensystem für die euklidische Geometrie.

Siehe auch: Hilbert-Kurve.

Hilberts 23 Probleme

1900 stellte er auf dem internationalen Mathematikerkongress in Paris eine Liste von 23 mathematischen Problemen vor, wobei er in visionärer Weise die Kernprobleme der Mathematik im folgenden Jahrhundert zu umreißen versuchte. Diese Hilbertschen Probleme wurden zur Leitschnur einer ganzen Generation von Mathematikern, und die Lösung eines jeden Problems wurde als große Leistung angesehen. Auch heute noch sind einige Probleme ungelöst (das berühmteste ist vielleicht die Frage nach den Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion, Hilberts 8. Problem).

Logik und Grundlagen der Mathematik

Hilbert gilt als Begründer und exponiertester Vertreter der Richtung des Formalismus in der Mathematik.

1920 stellte er die Forderung auf, die Mathematik vollständig auf einem Axiomensystem aufzubauen, das nachweislich widerspruchsfrei sein sollte. Dieses Bestreben wurde als Hilberts Programm bekannt. Für die Analyse der Grundlagen der Mathematik mit mathematischen Methoden prägte er den Begriff Metamathematik (in Anlehnung an Metaphysik). Dieses Bemühen erlitt einen herben Rückschlag mit der Veröffentlichung des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes durch Kurt Gödel 1930. Weiterhin formulierte Hilbert den später nach ihm benannten Hilbert-Kalkül, der unter anderem die wichtige Schlussregel des Modus Ponens umfasst.

Analysis

In der Variationsrechnung stellte Hilbert das von Riemann in dessen Abbildungssatz verwendete Dirichlet-Prinzip auf feste Grundlagen. In den Integralgleichungen schloss er einige Lücken von Fredholm im Beweis der fredholmschen Alternative. Diese Themen flossen wesentlich in die Entwicklung der Funktionalanalysis ein. Insbesondere der wichtige Hilbert-Raum ist untrennbar mit seinem Namen verbunden.

Mathematische Physik

Hilberts Arbeiten zu Funktionenräumen (Hilbert-Raum) und partiellen Differentialgleichungen gehören heute zu den Grundlagen der mathematischen Physik. Der Einfluss von Hilberts Vorlesungen war so übermächtig, dass sein Schüler Richard Courant Hilbert, ohne dass dieser eine einzige Seite geschrieben zu haben scheint, als Koautor auf den Titel seines 1924/37 erschienenen zweibändigen Lehrbuchs Methoden der mathematischen Physik setzte. Hilbert erklärte sein Interesse für die mathematische Physik mit der Bemerkung: "Die Physik ist für die Physiker eigentlich viel zu schwer."

Allgemeine Relativitätstheorie

Am 20. November 1915, fünf Tage vor Einstein, reichte Hilbert eine Arbeit zur Allgemeinen Relativitätstheorie ein, die zur einsteinschen Theorie äquivalent war, allerdings ohne die einsteinschen Feldgleichungen. Seine Arbeit erschien aber erst nach der einsteinschen. Hilbert hat niemals die Urheberschaft für die Allgemeine Relativitätstheorie beansprucht, was wahrscheinlich auch nicht gerechtfertigt gewesen wäre, da er in seiner Veröffentlichung auf Einstein verweist.

Hilberts Vermächtnis

Hilbert wehrte sich immer gegen eine pessimistische Sicht der Wissenschaft im Sinne eines ignoramus et ignorabimus. Sein Glaube, dass wir die Welt verstehen können, zeigt sich in seiner Grabinschrift: Wir müssen wissen, und wir werden wissen.

Nach David Hilbert benannte Begriffe und Sätze

Schriften

David Hilbert: Gesammelte Abhandlungen.
- Erster Band: Zahlentheorie. Julius Springer, 1932, Berlin.
- Zweiter Band: Algebra, Invariantentheorie, Geometrie. Julius Springer, 1932, Berlin.
- Dritter Band: Analysis, Grundlagen der Mathematik, Physik, Verschiedenes, Lebensgeschichte. Julius Springer, 1935, Berlin.

Literatur

Constance Reid: Hilbert, Copernicus Books, New York, 1996, ISBN 0-387-94674-8 (maßgebliche Hilbert-Biographie)
Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. Physik in unserer Zeit 36(5), S. 230–235 (2005)
J J O'Connor und E F Robertson: David Hilbert. MacTutor History of Mathematics, July 1999.

Weblinks

http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/hilbert.html
http://www.math.uni-goettingen.de/Personen/Bedeutende_Mathematiker/hilbert.html
http://finanz.math.tu-graz.ac.at/~predota/old/history/mathematiker/hilbert.html
http://www.mathematik.ch/mathematiker/hilbert.php
Radioansprache 1930 als Tondokument und als Textdokument (Zitat "Wir müssen wissen, wir werden wissen.")

Gourt Home::Gourt :: David Hilbert