Compton-Effekt

Als Compton-Effekt oder Compton-Streuung bezeichnet man einen physikalischen Streuprozess, bei dem die Wellenlänge von Photonen bei der Streuung an (quasi-) freien Elektronen um einen Wert $\Delta \lambda$ vergrößert wird (Frequenz bzw. Energie sinkt). Compton-Streuung tritt immer dann auf, wenn die Energie des Photons sehr viel größer als die Ruheenergie des Elektrons ist. Für die Änderung der Wellenlänge gilt

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\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right).

Aufgrund dieser Änderung der Energie des Photons und der damit verbundenen Energieübertragung auf das Elektron spricht man von inelastischer (inkohärenter) Photonstreuung, um sie von der elastischen Photonstreuung (Thomson-Streuung) zu unterscheiden.

Durch Compton-Streuung an einem schwach gebundenen Außenelektron kann dieses aus dem Atom freigesetzt werden, so dass ein Ion-Elektron-Paar entsteht. Die Comptonstreuung ist daher eine Art der Ionisation von Materie durch elektromagnetische Strahlung.

Für Photonen, deren Energie sehr viel kleiner als die des Elektrons ist, findet inverse Compton-Streuung statt, bei der das Elektron Energie an das Photon abgibt. Diesen Effekt kann man insbesondere in den Akkretionsscheibenkoronae von aktiven Galaxienkernen beobachten.

Geschichte

Der Compton-Effekt wurde von Arthur Holly Compton entdeckt. Er untersuchte in seinen Experimenten die Streuung von Röntgenstrahlen an den quasi freien Außenelektronen von Graphit; 1921 zeigte er, dass Elektronen bei der Streuung einen Rückstoß erfahren und damit Energie absorbieren. Energie- und Impulsübertrag (siehe Kinematik) und die damit verbundenen Streurichtungen von Elektron und Photon lassen sich dabei wie bei einem klassischen Teilchenstoß beschreiben.

Der Effekt bestätigte Einsteins bis dahin umstrittene Lichtquanten-Hypothese und ist von Wichtigkeit bei der Herleitung der Planck-Welt.

Herleitung der Gleichung

Photonenmasse

Mit

E_{ph}=m_{ph}c^2

kann einem Photon der Energie

E_{ph}=h\nu

die Masse

m_{ph}=\frac{E}{c^2}=\frac{h\nu}{c^2}

zugeordnet werden. Experimentell kann dies beispielsweise im Schwerefeld der Erde nachgewiesen werden: Ein sich nach oben bewegendes Photon vergrößert seine Wellenlänge mit zunehmender Höhe, weil es durch die festgelegte Geschwindigkeit nur hierüber kinetische Energie in potentielle Energie umwandeln kann.

Photonenimpuls

Wegen

E_{ph}=m_{ph}c^2 = p_{ph}c

, mit

p_{ph}=mc

, folgt für den Impuls

$p_{ph}= \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}$ , mit $c=\lambda \nu$

Treffen Photonen auf einen Streukörper, stoßen sie dort elastisch mit freien Elektronen zusammen und fliegen mit abgeändertem Impuls weiter. Um die Impulserhaltung zu erfüllen, ändert sich jedoch nicht ihre Geschwindigkeit, die mit c konstant bleiben muss, sondern ihre Masse/Energie über die Wellenlänge. Um die Wellenlängenänderung in Abhängigkeit vom Ablenkwinkel der Photonen (das heißt der Richtungsänderung des Impulses) zu bestimmen, geht man von ruhenden Elektronen aus.

Compton scattering-de.png

Herleitung mit Energie- und Impulssatz

Energie des Elektrons vor der Streuung

Energie des Photons vor der Streuung

E_{0e}^{}=m_{0e}c^2

E_{ph}^{}=h\nu

Energie des Elektrons nach der Streuung

Energie des Photons nach der Streuung

E_e=m_e^{}c^2

E_{ph}^{\prime }=h\nu'

Energieerhaltungssatz

Impulserhaltungssatz

E_{0e}+E_{ph}=E_e+E_{ph}^{\prime}

\vec p_{ph}=\vec p_e+\vec p'_{ph}

m_{0e}^{}c^2+h\nu=E_e+h\nu'

Kosinussatz

(h\nu-h\nu'+m_{0e}c^2)^2=E_e^2

p_e^2 = p_{ph}^2+p_{ph}^{\prime 2}-2p_{ph}p'_{ph} \cos \varphi

Energie-Impuls-Beziehung

E_{0e}^2=E_e^2-(p_ec)^2 \rightarrow m_{0e}^2c^4=E_e^2-p_e^2c^2

Einsetzen des Energieerhaltungs- und Kosinussatzes in die Energie-Impuls-Beziehung:

\left(h\nu-h\nu'+m_{0e}c^2\right)^2-\left(p_{ph}^2+p^{\prime 2}_{ph}-2p_{ph}p'_{ph} \cos \varphi\right)c^2=m_{0e}^2c^4

$c^2=m_{0e}^2c^4$ , mit $p_{ph}=\frac{h\nu}{c}$

$\left(h\nu\right)^2-h^2\nu\nu'+h\nu m_{0e}c^2-h^2\nu\nu'+\left(h\nu'\right)^2-h\nu'm_{0e}c^2+h\nu m_{0e}c^2-h\nu 'm_{0e}c^2+\left(m_{0e}c^2\right)^2$ $-\left(h\nu\right)^2-\left(h\nu'\right)^2+2h^2\nu\nu' \cos \varphi = m_{0e}^2c^4$

$\left(h\nu\right)^2-2h^2\nu\nu'+2h\nu m_{0e}c^2+\left(h\nu' \right)^2-2h\nu'm_{0e}c^2-\left(h\nu \right)^2-\left(h\nu'\right)^2+2h^2\nu\nu' \cos \varphi=0$

$2h\nu m_{0e}c^2-2h\nu'm_{0e}c^2-2h^2\nu\nu' +2h^2\nu\nu' \cos \varphi=0$

$2h\nu m_{0e}c^2-2h\nu'm_{0e}c^2-2h^2\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)=0$

$2h\left$ ^*=2h^2\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)

$m_{0e}c^2\left(\nu-\nu'\right)=h\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)$

$\frac{\nu-\nu'}{\nu\nu'}=\frac{h}{m_{0e}c^2}\left(1- \cos \varphi \right)$

$\frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_{0e}c^2}\left(1- \cos \varphi \right)$

$\frac{c}{\nu'}-\frac{c}{\nu}=\frac{hc}{m_{0e}c^2}\left(1- \cos \varphi \right) \rightarrow \lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right)$

$\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right)$

Eventuell unerwartet hierbei ist, dass die Wellenlängenänderung nur vom Ablenkwinkel

\varphi

, nicht aber von der ursprünglichen Wellenlänge des Photons abhängt. Bei einer Ablenkung von

\varphi = 90^\circ

ist

\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}=2,43 pm = \lambda_C

und wird als "Compton-Wellenlänge des Elektrons" bezeichnet. Die relativ geringe Änderung ist die Ursache dafür, dass der Compton-Effekt nur bei kurzwelliger Strahlung wie Röntgenstrahlung beobachtet werden kann.

Die maximale Änderung der Wellenlänge tritt jedoch bei einem Winkel von $\varphi = 180^\circ$ auf. Da der Cosinus von 180° = -1 ist, ändert sich das Vorzeichen in der Formel $\Delta \lambda=\frac{h}{m_{0e}c}\left(1- \cos \varphi \right)$ , sodass sich eine größere Wellenlängenänderung ergibt. Diese entspricht $\Delta \lambda= 2\lambda_C$

Herleitung in Vierervektor-Schreibweise

4-Impuls des einfallenden Photons + 4-Impuls des Elektrons = 4-Impuls des gestreuten Photons + 4-Impuls des gestreuten Elektrons:

$\begin{pmatrix} \frac{\hbar \omega_0}{c} \\ \vec p_0 \end{pmatrix}+
\begin{pmatrix} \sqrt{p^2+m^2c^2} \\ \vec p \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} \frac{\hbar {\omega_0}'}{c} \\ \vec {p_0}' \end{pmatrix}+
\begin{pmatrix} \frac{\hbar}{c}({\omega_0}'-\omega ')+\sqrt{p^2+m^2c^2} \\ -\vec {p_0}'+\vec p_0 +\vec p \end{pmatrix}$

Wegen der Energie- und Impulserhaltung liegt der 4-Impuls des Elektrons $p^\mu\frac{}{}$ nach dem Stoß fest.

Zum Weiterrechnen nutzt man die relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

$p^\mu p_\mu \left(= \frac{E^2}{c^2}-\vec {p^2} \right)= m^2c^2$

$=\left(\frac{\hbar}{c}({\omega_0}'-\omega')+\sqrt{p^2+m^2c^2}\right)^2-\left(-\vec {p_0}'+\vec p_0 +\vec p\right)^2$

Compton-Spektrum und Compton-Kante

Compton-spektrum.png

Werden viele $\gamma$ -Quanten der Energie $h\nu$ nach Compton gestreut (z.B. in einem Szintillator), so ergibt sich ein charakteristisches Energiespektrum der gestreuten Elektronen, wie es in der nebenstehenden Graphik gezeigt wird. Die hierbei auf die Elektronen übertragene Energie ist wegen der Abhängigkeit vom Streuwinkel $\varphi$ kontinuierlich (Compton-Kontinuum), hat jedoch eine scharfe obere Schranke (Compton-Kante), da bei $\varphi$ = 180 Grad ein Maximum an Energie übertragen wird. Aus obigen Formeln errechnet man leicht einen Ausdruck für die Energie des Photons und die kinetische Energie des Elektrons nach der Streuung:

Photon: $E_{\rm \gamma}'(\varphi)=h\nu'(\varphi)=\frac{h\nu}{1+\frac{h\nu}{m_0c^2}(1-\cos\varphi)}$
Elektron: $E_{\rm e^-}'(\varphi)=h\nu-h\nu'(\varphi)=h\nu\left(1-\frac{1}{1+\frac{h\nu}{m_0c^2}(1-\cos\varphi)}\right)$

Das Atom ist nach der Compton-Streuung ionisiert.

Zusätzlich erhält man im Elektronenspektrum einen "Peak" (Spektrallinie) bei der Energie $h\nu$ . In diesem Fall wird also die gesamte Energie des Photons auf das Elektron übertragen. Dies ist kein Compton-Effekt mehr, sondern der Photoeffekt.

Anmerkung

compton-energie.png

Photonen, die auf gebundene Elektronen oder Atomkerne treffen, ändern zwar ihre Bewegungsrichtung, nicht aber ihre Geschwindigkeit, da die festen Teilchen praktisch keine kinetische Energie erhalten. Dadurch besteht die gestreute Strahlung neben der durch den Compton-Effekt langwelligeren Strahlung auch zu einem Anteil aus Strahlung mit der Ausgangswellenlänge (Thomson-Streuung), deren Intensität vom Ablenkwinkel abhängt. Man beachte, dass für energiereichere Strahlung (beispielsweise Röntgenstrahlung) auch die Hüllenelektronen näherungsweise als frei angesehen werden können.

Beim Compton-Effekt handelt es sich um einen Bruch mit der klassischen Physik. Der klassischen Physik nach müssten die Elektronen durch das Licht nicht angestoßen werden, sondern auf Grund des Wellencharakters des Lichts in Schwingungen versetzt werden, also zu Dipolen werden, welche Strahlung der gleichen Wellenlänge wie das einfallende Licht aussenden. Messungen ergaben, dass dies nicht der Fall ist. Hingegen ist die Comptonstreuung einwandfrei als Stoßprozess zwischen Photon und (quasi-) freiem Elektron beschreibbar. Dies ist ein Beweis dafür, dass Lichtstrahlung auch Teilcheneigenschaften hat (siehe Welle-Teilchen-Dualismus).

Weblinks

Compton-Effekt - dargestellt in einer Animation
Verschiedene Versuche und Animationen

Teilchenphysik | Quantenphysik

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