Cent (Musik)

Das Cent (abgekürzt: C) ist ein übliches Maß für musikalische Intervalle. 1 Cent ist ein Zwölfhundertstel einer Oktave und damit in gleichstufiger Stimmung ein Hundertstel eines Halbtons (daher der Name). Das Cent ist eine wichtige Maßeinheit, um verschiedene musikalische Stimmungen zu beschreiben und zu vergleichen.

Historisches

Die Bezeichnung Cent wurde von dem Engländer Alexander John Ellis (1814–1890) vorgeschlagen und erschien im Anhang zu seiner Übersetzung von Hermann von Helmholtz' On the Sensations of Tone (1875), (deutsch: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik).

Intervallberechnungen wurden bereits um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647), Juan Caramuel y Lobkowicz (1606–1682) und Lemme Rossi mit Hilfe von Logarithmen durchgeführt.

Vorteil gegenüber Frequenzangaben

Das „musikalische Ohr“ empfindet Intervalle mit gleichem Frequenzverhältnis y als gleich groß. Werden mehrere solche Intervalle aneinander gereiht, so müssen ihre Verhältniswerte multipliziert werden, um das Frequenzverhältnis des gesamten Intervalls zu erhalten (siehe Tabelle). Der Vorteil eines „linearen“ Maßes (wie Cent) liegt darin, dass Intervallgrößen einfach addiert werden können. Das entspricht auch dem Empfinden des Hörers.

- | valign="top" | {| |

- ! Intervall ! in Cent ! Frequenzverhältnis ! y = f₂ /f₁ |

- | 1 Oktave || 1200 C || 1:2 || 2 ( = ²/₁) |

- | 2 Oktaven || 2400 C || 1:4 || 4 ( = ⁴/₁) |

- | 3 Oktaven || 3600 C || 1:8 || 8 ( = ⁸/₁) |

- | 4 Oktaven || 4800 C || 1:16 || 16 ( = ¹⁶/₁) |} {| |

- ! Intervall ! in Cent ! Frequenzverhältnis ! y = f₂ /f₁ |

- | 1 Quarte || 498,05 C || 3:4 || 1,3333 ( = ⁴/₃) |

- | 2 Quarten || 996,09 C || 9:16 || 1,7778 ( = ¹⁶/₉) |

- | 3 Quarten || 1494,13 C || 27:64 || 2,3704 ( = ⁶⁴/₂₇) |

- | 4 Quarten || 1992,18 C || 81:256 || 3,1605 ( = ²⁵⁶/₈₁) |}

Anmerkung: Die Quarte hat in der gleichstufigen Stimmung 500 Cent, in der reinen Stimmung (3:4) dagegen nur 498,05 Cent.

Mathematische Betrachtung

Die Oktave hat ein Frequenzverhältnis

y_0

von

y_0=\frac{f_2}{f_1}=2

oder

\frac{f_1}{f_2}=\frac{1}{2}

Dieser Quotient soll in 1200 gleiche Faktoren $r$ zerlegt werden. Jeder dieser Faktoren hat den Wert

r=2^\frac{1}{1200}=\sqrt

^*{2}=1{,}0005777895..., so dass gilt

r^{1200}=y_0=2

1 Cent entspricht dann einem Frequenzverhältnis von 1,0005777895, 2 Cent von 1,0005777895², 3 Cent von 1,0005777895³ usw., und 1200 Cent entsprechen 1,0005777895¹²⁰⁰, was gleich 2 ist (die Oktave).

Umrechungen

Die Umrechnung des Frequenzverhältnises $y=\frac{f_2}{f_1}$ in ein Intervall c (in Cent):

c = 1200\log_2{y} \;\mathrm{Cent} = 1200\frac{\log y}{\log 2}\;\mathrm{Cent}

Anmerkung: log y / log 2 ist dasselbe wie log₂ y, wobei log₂ den Logarithmus zur Basis 2 meint. Da auf Taschenrechnern allenfalls Logarithmen zur Basis 10 (log) oder zur Basis e ≈ 2,718 (ln) zu finden sind, ist die oben angegebene Formel praxisnäher. Der verwendete Logarithmus ist beliebig (log oder ln), er muss nur innerhalb der Formel einheitlich sein.

Für das Umrechnen des Intervalles c (in Cent) ins Frequenzverhältnis $y=\frac{f_2}{f_1}$ kann die obige Formel nach $y$ aufgelöst werden:

y = 2^\frac{c}{1200\;\mathrm{Cent}} =

(2^\frac{1}{1200})^\frac{c}{\mathrm{Cent}} = r^\frac{c}{\mathrm{Cent}} = 1{,}0005777895^\frac{c}{\mathrm{Cent}}.

So gilt auch

f_2 = f_1 \cdot 1{,}0005777895^\frac{c}{\mathrm{Cent}}

Beispiel

Verbal: Eine reine große und eine reine kleine Terz ergeben zusammen eine reine Quinte.

Anmerkung: „reine Quinte“ ist hier nicht im Unterschied zu „vermindert“ und „übermäßig“ gemeint, sondern in der Bedeutung „nicht temperiert“, mit dem Frequenzverhältnis 2:3, so dass auch der Begriff „reine große Terz“ sinnvoll ist. (siehe auch Reines Intervall)

! ! Frequenzverhältnis → Intervall in Cent ! Intervall in Cent → Frequenzverhältnis |- | reine große Terz: |

1200 \cdot log_2{\frac{5}{4}} \;\mathrm{Cent} = 386\;\mathrm{Cent}

2^{\frac{386}{1200}} = 1{,}2 = \frac{5}{4}

|- | reine kleine Terz: |

1200 \cdot log_2{\frac{6}{5}} \;\mathrm{Cent} = 316\;\mathrm{Cent}

2^{\frac{316}{1200}} = 1{,}2 = \frac{6}{5}

|- | reine Quinte: |

1200 \cdot log_2{\frac{3}{2}} \;\mathrm{Cent} = 702\;\mathrm{Cent}

2^{\frac{702}{1200}} = 1{,}5 = \frac{3}{2}

Es gilt

Mit Frequenzverhältnissen:

\frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{2}

Mit Centwerten:

386\;\mathrm{Cent} + 316\;\mathrm{Cent} = 702\;\mathrm{Cent}

Wahrnehmung

Grob kann angenommen werden, dass der kleinste erkennbare Frequenzunterschied für Sinuswellen beim Menschen bei Frequenzen ab 1000 Hz bei etwa 3 bis 6 Cent liegt. Geringere Intervallunterschiede werden beim Nacheinander-Erklingen der Töne nicht mehr erkannt. Bei gleichzeitigem Erklingen sind durch Schwebungseffekte auch noch geringere Unterschiede hörbar. Bei geringen Frequenzen und leiseren Tönen steigt die Unterscheidungsschwelle auf über 100 Cent (ein Halbton).

Siehe auch

Literatur

John R. Pierce, Klang. Musik mit den Ohren der Physik, Spektrum, ISBN 3-8274-0544-0

Weblinks

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