Das Modell der Wertpapierlinie oder englisch Capital Asset Pricing Model (CAPM) wurde von Sharpe, Lintner und Mossin entwickelt und baut auf der Portfoliotheorie von Harry M. Markowitz auf. Das CAPM zählt zu den Kapitalmarktgleichgewichtsmodellen. Das CAPM erweitert die Portfoliotheorie um die Frage, welcher Teil des Gesamtrisikos eines Investitionsobjekts nicht durch Risikostreuung (Diversifikation) zu beseitigen ist und erklärt, wie risikobehaftete Anlagemöglichkeiten im Kapitalmarkt bewertet werden. Der Kern des CAPM, das Modell der Wertpapierlinie, beschreibt eine lineare Abhängigkeit der zu erwartenden Rendite einer Kapitalanlage von nur einer Risikoeinflussgröße (Ein-Faktor-Modell). Ziel des CAPM ist es letztlich, Gleichgewichtskurse für einzelne riskante Anlagemöglichkeiten (im Folgenden: Wertpapiere) im Portfoliozusammenhang unter Unsicherheit (Risiko) herzuleiten.

Das CAPM wurde von William F. Sharpe, John Lintner und Jan Mossin in den 60er Jahren unabhängig voneinander entwickelt.

Problemstellung

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Gegenstand der Portfoliotheorie ist der Ertrag und das Risiko von Aktien. Dabei wird die Rendite aus den Aktienkursen abgeleitet. Das CAPM geht einen Schritt weiter und untersucht Gleichgewichtskurse, die sich einstellen, wenn alle Marktteilnehmer entsprechend der Portfoliotheorie effiziente Portfolios zusammenstellen.

Die Preisbildung einer Aktie hat Auswirkungen auf die Preisbildung der anderen Aktien. Die Gleichgewichtspreise müssen daher simultan bestimmt werden.

Gleichgewichtspreise sind wichtig für aggregierte Risikozuschläge oder Risikoabschläge:

• Bei der Unternehmensbewertung dienen sie zur Bestimmung der Kapitalkosten (WACC). Durch die Bestimmung des Marktpreises von Risiko lässt sich eine Objektivierung erreichen.
• Mit den Gleichgewichtspreisen lässt sich die Performance von Aktienfonds beurteilen. Damit lässt sich eine Aussage treffen, ob das zusätzliche Risiko angemessen ist bezogen auf die durchschnittliche zusätzliche Rendite.

Aufbau des Modells

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Die Vorstufe des CAPM ist das Modell der Kapitalmarktlinie (Capital Market Line, CML), wohingegen das Modell der Wertpapierlinie (Security Market Line, SML) das eigentliche Kernmodell bildet. Das CAPM baut auf den gleichen Voraussetzungen auf wie die Portfoliotheorie. Hinzu treten noch stark vereinfachende Annahmen über den Kapitalmarkt und seine Teilnehmer. Insbesondere wird unterstellt, dass

• sich der Kapitalmarkt in einem Gleichgewichtszustand befindet, so dass niemand Anlass hat, sein Wertpapier-Portfolio umzuschichten,
• ein risikoloser Zinssatz existiert, zu dem jeder Marktteilnehmer jederzeit beliebig viel Geld aufnehmen und anlegen kann. Der Zinssatz liegt dabei unter der erwarteten Rendite des im Folgenden zu erläuternden Marktportfolios,
• die Anleger dieselben Erwartungen über die künftigen möglichen Renditen und Risiken der Wertpapiere hegen und dass kein einzelner Marktteilnehmer diese Daten verändern kann,
• keine Handelskosten (Transaktionskosten), wie Börsengebühren, oder Steuern bestehen.

Aus diesen Annahmen folgt, dass sämtliche Kapitalanleger ein in gleicher Weise zusammengesetztes Wertpapier-Portfolio auf der Grundlage der Portfoliotheorie bilden. In diesem sog. Marktportfolio sind alle gehandelten Wertpapiere im Verhältnis ihrer Marktwerte vorhanden. (Die Annahme des Gleichgewichtszustands bedeutet: Wenn es nicht-μ-σ-effiziente Wertpapiere geben würde, dann würden sie verkauft und gegen μ-σ-effiziente Wertpapiere eingetauscht werden. Der Verkauf solcher Wertpapiere drückt deren Preis (falls die Competitivity-Bedingung nicht angenommen wird), lässt also die Rendite des betroffenen Wertpapiers steigen. Im Gleichgewichtszustand sind alle solchen Transaktionen bereits abgeschlossen, was bedeutet, dass es keine Wertpapiere mehr auf dem betrachteten Kapitalmarkt gibt, die nicht μ-σ-effizient sind. Daher besteht das Marktportfolio nur noch aus μ-σ-effizienten Wertpapieren.)

Sind die erwarteten Renditen und die Risiken der einzelnen Wertpapiere bekannt, lässt sich auch die erwartete Rendite und das Risiko des Marktportfolios berechnen. Die erwartete Rendite des Marktportfolios wird in der Kapitalmarkttheorie als "Kapitalkosten unter Ungewissheit" bezeichnet.

Durch die Möglichkeit, risikolos Geld anzulegen oder aufzunehmen, kann der Anleger in einem nächsten Schritt je nach Grad seiner Risikoaversion die gewünschte Risikoposition durch Mischung der risikolosen Anlagemöglichkeit mit einer Anlage in das risikoeffiziente Marktportfolio (bzw. bei geringerer Risikoaversion durch Kreditaufnahme und Anlage in das Marktportfolio) erzeugen. Diese Aufteilung des anzulegenden Kapitals in ein stets identisch strukturiertes Marktportfolio unabhängig von der persönlichen Risikoneigung wird als Tobin-Separation bezeichnet.

Cml.png

Um in dieser Modellwelt die erwartete Rendite bzw. den Kurs eines einzelnen Wertpapiers im Portfoliozusammenhang auf mathematisch-statistischem Wege herzuleiten, werden folgende Festlegungen getroffen:

Der Unterschied zwischen der erwarteten Rendite des Marktportfolios M ("Kapitalkosten unter Ungewissheit") und dem sicheren Zinsatz wird Marktpreis für das Risiko genannt. Die Risikomenge eines jeden Wertpapiers in einem wohl diversifizierten Portfolio wird Beta (ß) genannt. Das Risiko des Marktportfolios M selbst wird auf 1 normiert, d.h. Beta = 1. Der ß-Faktor eines individuellen Wertpapiers ist definiert als der Quotient aus der statistischen Kovarianz des betreffenden Wertpapiers zum Marktportfolios M und der Varianz des Markt-Portefeuilles. Der Beta-Faktor bezieht sich ausschließlich auf das nicht weiter reduzierbare Risiko im Portfoliozusammenhang (das sogenannte "systematische Risiko") und stellt somit den maßgeblichen Beitrag zum Risiko eines jeden Portfolios dar. Nach einer sich anschließenden mathematischen Optimumsbestimmung ergibt sich nun die zentrale Aussage des CAPM:

$\backslash mu\_i=r\_f+(\backslash mu\_m-r\_f)\backslash cdot\backslash beta\_i$

wobei gilt, dass das Beta des Marktportfolios eins ist:

$\backslash beta\_M=\backslash frac\{Cov(r\_M;r\_M)\}\{\backslash sigma\_M^2\}=1$

Formel zur Berechnung des risikolosen Zinssatzes aus den anderen (bekannten) Parametern:

$r=\; \backslash frac\{\backslash beta\_i\; \backslash mu\_M-\backslash mu\_i\}\{\backslash beta\_i-1\}$

Wertpapierlinie.jpg Die erwartete Rendite $\backslash mu\_i$ eines risikobehafteten Wertpapiers (zum Beispiel Aktie) setzt sich im Marktgleichgewicht zusammen aus dem risikolosen Zinssatz $r\_f$ und einer Risikoprämie. Die Risikoprämie ist das Produkt aus dem Marktpreis für das Risiko $(\backslash mu\_m-r\_f)$ und der Risikomenge $\backslash beta\_i$ der betrachteten Anlagemöglichkeit.

Dabei gilt: Je höher der Beta-Faktor eines Wertpapiers, desto höher fällt seine erwartete Rendite aus und umgekehrt. Mit anderen Worten: Investoren sind nur dann bereit, ein Wertpapier mit einem hohen Risiko (ß) zu halten, wenn eine entsprechend hohe Rendite zu erwarten ist.

Unter den gesetzten Annahmen einperiodiger Planung lässt sich für jedes Wertpapier die so ermittelte Rendite auf einfache Weise in einen Gleichgewichtskurs überführen. Der Gleichgewichtskurs dient als Maßstab dafür, ob ein einzelnes Wertpapier(portfolio) im Einklang mit seinem Risiko durch den Markt bewertet wird.

Anwendungen

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• Aktienbewertung
• Performanceanalyse
• Bewertung von Investitionsprojekten

Kritische Würdigung des CAPM

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Die strengen Prämissen des CAPM mögen auf den ersten Blick unrealistisch erscheinen. Jedoch konnte in zahlreichen empirischen Studien das Modell nicht falsifiziert werden. Offensichtlich ist jedoch, dass sich am Kapitalmarkt Effekte beobachten lassen, die im Widerspruch zum CAPM stehen. Dazu gehören je nach empirischer Untersuchung der Januareffekt oder der Kleinfirmeneffekt. Allerdings hat bereits Sharpe im Jahr 1964 geäußert, dass eine Theorie nicht in der Realitätsnähe ihrer Prämissen überprüft werden sollte, sondern in der Annehmbarkeit ihrer Implikationen. So liefert das CAPM nicht nur die bekannteste Erklärung für die Austauschbeziehung (trade-off) zwischen Rendite und Risiko, sondern ist z.B. ein wichtiges Instrument bei der Performancemessung von Investmentfonds. In den 70er und 80er Jahren des 20. Jahrhunderts wurden des Weiteren einige der ursprünglichen Modellannahmen durch realistischere ersetzt und das Modell auf dieser Basis neu aufgestellt. Es zeigte sich, dass auch unter weniger strengen Annahmen die Kernaussage des Modells der Wertpapierlinie weiterhin Bestand hat.

Dies überrascht nicht, da die aus Modellen abgeleiteten Aussagen zwangsläufig logisch wahr sein müssen, sofern kein logischer Denkfehler innerhalb des Modells vorliegt. Einer empirischen Überprüfung entzieht sich das CAPM deshalb, weil sich das Markt-Portfolio aller Vermögenswerte nicht rekonstruieren lässt. Überdies kann das CAPM dem Anspruch, die Börsenkurse in der Realität zu erklären, nicht gerecht werden, da sich für reale Kapitalmärkte kaum ein Gleichgewichtszustand postulieren lässt.

Literatur

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• William Sharpe, Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk, 1964, in: Journal of Finance, Seiten 425-442

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