Unter der Cantor-Menge, auch Cantor-Staub oder Wischmenge genannt, versteht man gewisse Mengen von reellen Zahlen, die überabzählbar unendlich viele Elemente enthalten, gleichzeitig aber ein Maß von Null besitzen: man kann sie durch Intervalle überdecken, deren Gesamtlänge beliebig klein gemacht werden kann. Die Cantor-Menge wird auch als Cantor'sches Diskontinuum bezeichnet, was ausdrückt, dass alle ihre Punkte Randpunkte sind in dem Sinne, dass in jeder beliebig kleinen Umgebung eines Punktes, der zur Cantor-Menge gehört, mindestens ein Punkt liegt, der nicht dazu gehört.

Dieser Mengentyp ist nach dem deutschen Mathematiker Georg Cantor benannt.

Die Cantor-Menge diente oft als Gegenbeispiel für mengentheoretische Vermutungen.

Cantor-Mengen sind Beispiele für Fraktale.

Konstruktionsbeispiel

„Die“ Cantor-Menge lässt sich mittels folgender Iteration konstruieren:

Man beginnt mit dem Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1. Aus diesem Intervall wird das offene mittlere Drittel entfernt (weggewischt), also alle Zahlen, die strikt zwischen 1/3 und 2/3 liegen.

Im Folgenden wird aus allen vorhandenen Intervallen jeweils das mittlere Drittel entfernt. Dieser Schritt wird unendlich oft wiederholt.

Nach n Iterationen existieren 2ⁿ Intervalle, die insgesamt $\{\backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{3\}\; \backslash right)\; \}^n$ des ursprünglichen Intervalls abdecken. Je mehr Intervalle diese Menge enthält, desto geringer ist der Anteil am ursprünglichen Intervall.

Die Cantormenge besteht nun aus allen Punkten, die jedes Wegwischen überlebt haben. Man kann sie auch beschreiben als die Menge aller Zahlen im Intervall $1$, die eine Darstellung als Kommazahl zur Basis 3 besitzen, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen. Insbesondere enthält die Cantormenge mehr als nur die Randpunkte der entfernten Intervalle; diese Randpunkte sind genau die Zahlen in $1$, welche sich mit einer 0-Periode oder mit einer 2-Periode schreiben lassen. Darüberhinaus ist aber z.B. auch 1/4 in der Cantormenge, denn $1/4\; =\; 2\backslash cdot\; 3^\{-2\}\; +\; 2\backslash cdot\; 3^\{-4\}\; +\; 2\backslash cdot\; 3^\{-6\}\; +\; ...\; =\; 0\{,\}020202...\_3$.

Im Grenzwert eines unendlichen n ist der Anteil am ursprünglichen Intervall Null, obwohl unendlich viele Intervalle (und somit Elemente) vorliegen.

Die Hausdorff-Dimension dieses Beispiels beträgt D = log(2) / log(3) = 0,6309.....

Dieses Konstruktionsverfahren ist verwandt mit dem für die kochsche Kurve.

Andere Cantormengen

Die Cantormenge (auch Mitteldrittel-Cantormenge, middle thirds Cantor set) wurde oben beschrieben. Unter einer Cantormenge versteht man eine Menge von reellen Zahlen, die man mit einer Variante des obigen Wischprozesses bekommt, wobei man nun die Längen und Anzahlen der weggewischten Intervalle variieren kann:

Man beginnt mit einem beliebigen Intervall b von reellen Zahlen. Im ersten Schritt entfernt man endlich viele offene disjunkte Unterintervalle (mindestens aber eines) und erhält so endlich viele abgeschlossene Intervalle (mindestens 2).

Im zweiten Schritt entfernt man aus jedem der enthaltenen Intervalle wiederum endlich viele Unterintervalle (jeweils mindestens eines).

Wiederum definiert dieser Prozess eine Menge von reellen Zahlen, nämlich jene Punkte, die niemals in eines der weggewischten Intervalle gefallen sind.

Man kann zeigen, dass alle so konstruierten Cantormengen zu einander homöomorph sind, und dass sie insbesondere alle zur Menge aller reellen Zahlen gleichmächtig sind. Indem man die Proportion "Längen der weggewischten Intervallen : Längen der übrigbleibenden Intervalle" geeignet variiert, kann man eine Cantormenge erzeugen, deren Hausdorff-Dimension eine beliebige vorgegebene Zahl im Intervall ^* ist.

Ein zweidimensionales Analogon der Cantor-Menge ist der Sierpinski-Teppich, ein dreidimensionales der Menger-Schwamm.

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