Brechzahl

Die Brechzahl (oft auch als Brechungsindex, Plural Brechungsindizes bezeichnet) ist ein Begriff der Optik. Sie kennzeichnet die Brechung des Lichts beim Übergang in ein transparentes (durchsichtiges) Material und ist das Verhältnis zwischen der Phasengeschwindigkeit des Lichtes $c_0$ im Vakuum und seiner Phasengeschwindigkeit $c$ im jeweiligen Medium:

n = \frac{c_0}{c}

In einem Stoff mit einer Brechzahl von 1,5 = 3/2 hat das Licht also genau 2/3 der Vakuumlichtgeschwindigkeit, oder rund 200.000 km/s.

Die Bezeichnung "Brechzahl" kommt vom Begriff Brechung und seinem Auftreten im Snelliusschen Brechungsgesetz. Zusätzlich hat diese physikalische Größe keine Einheit und ist somit eine dimensionslose Zahl. Sie kann auch als komplexe Zahl angegeben werden und kennzeichnet dann auch die Extinktion (optische Dichte), meist wird aber nur der Realteil, der durch die Lichtgeschwindigkeit im Medium bestimmt ist, angegeben. Die frequenzabhängigkeit der (komplexen) Brechzahl in Materie kann recht gut über das Modell des Lorentzoszillators beschrieben werden.

Betrachtet man hingegen das Verhältnis der Gruppengeschwindigkeiten von Licht im Vakuum zu dem im Medium, so ergibt sich die Gruppenbrechzahl

n_{\rm g} = \frac{c_0}{c_{\rm g}}

Die effektive Brechzahl mittelt über verschiedene Brechzahlen, die in großer Nähe auftreten.

Messung der Brechzahl

Zur experimentellen Bestimmung der Brechzahl eines Mediums n_med kann man z. B. den Brewster-Winkel beim Übergang von Luft in dieses Medium messen. Für diesen gilt $\tan (\alpha_{\rm Brewster}) = \frac{n_{\rm med}}{n_{\rm Luft}} \approx n_{\rm med}$ . Für die Messung wird ein Refraktometer angewandt.

Andere Definitionen

Brechzahl-einfach.png Die Definition der Brechzahl erfolgte oben strahlenphysikalisch – über die verschiedene Lichtgeschwindigkeit. Diese Formel ist elegant, aber für unlängst entdeckte Meta-Materialien ungünstig. In diesen treten negative Brechzahlen n auf, was unmöglich ist.

Doch lässt sich die Brechung auch auf zwei anderen Wegen definieren:

über das Fermatsche Prinzip – nach welchem das Licht zwischen zwei Punkten jenen Weg zurücklegt, für den es einen Extremwert der Zeit benötigt – ,
über das Huygens-Fresnelsche Prinzip – das besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer neuen Welle, der sog. Elementarwelle, betrachtet werden kann – und
über die Strahlenoptik. Nach dem erwähnten Snellius-Brechungsgesetz entspricht n dem Sinus-Verhältnis von Einfalls- und Reflexionswinkel. Dabei wird der Winkel des einfallenden als auch der des gebrochenen "Lichtstrahls" jeweils auf das Lot bezüglich der Grenzfläche bezogen.

Dabei ist zu beachten, dass die Brechung bei den meisten Materialien auch von der Frequenz des Lichts abhängt, was mit Dispersion bezeichnet wird. Die Frequenzabhängigkeit der (komplexen) Brechzahl lässt sich im Bild des Lorentzoszillators recht gut beschreiben.

Die Brechzahl der Luft beträgt auf Meeresniveau durchschnittlich 1,00029. Sie hängt ab von der Dichte und der Temperatur der Luft sowie von der speziellen Zusammensetzung der Luft - insbesondere der Luftfeuchte. Da die Luftdichte nach oben – entsprechend den Gasgesetzen in einem Schwerefeld – exponentiell abnimmt barometrische Höhenformel, beträgt er in etwa 8 km Höhe nur mehr 1,00011. Dennoch werden die von Sternen kommenden Lichtstrahlen in Horizontnähe um 0,6° gehoben und in 45° noch um 0,017°. Der Effekt heißt Astronomische Refraktion und beeinflusst in ähnlicher Art auch jede terrestrische Vermessung.

**Brechzahlen für sichtbares Licht**
- bgcolor="#DDDDDD"	Material	Brechzahl $n$	-	Vakuum	1,0	-	Luft (bodennah)	1,000292	-	Plasma	0...1	-	Aerogel	1,007...1,24	-	Eis	1,31	-	Wasser	1,33	-	menschl. Augenlinse	1,35...1,42	-	Ethanol	1,37	-	Magnesiumfluorid	1,38	-	Flussspat (Kalziumfluorid)	1,43	-	menschl. Epidermis	1,45	-	Tetrachlorkohlenstoff	1,46	-	Quarzglas	1,46	-	Celluloseacetat (CA)	1,48	-	Plexiglas (PMMA)	1,49	-	Benzol	1,49	-	Kronglas	1,51	-	COC (ein Kunststoff)	1,533	-	PMMI (ein Kunststoff)	1,534	-	Quarz	1,54	-	Steinsalz	1,54	-	Polycarbonat (PC)	1,58	-	Polystyrol (PS)	1,58	-	Flintglas	1,60	-	Epoxidharz	1,60	-	Rubin (Aluminiumoxid)	1,76	-	Organische Brillengläser	1,5-1,74	-	Glas	1,5-1,9	-	Bleikristall	1,9	-	Zirkon	1,92	-	Schwefel	2,00	-	Zinksulfid	2,30	-	Diamant	2,47	-	Titandioxid (Anatas)	2,52	-	Titandioxid (Rutil)	2,71	-	Titandioxid (Rutil, 590 nm)	3,10	-	Bleisulfid (PbS, bei 590 nm)	3,90

Negative Brechzahlen

1964 sagte der sowjetische Physiker Victor Veselago die Existenz von Materialien mit negativen Brechzahlen voraus. Würde die Herstellung eines solchen Materials gelingen, könnte man damit Linsen herstellen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen.

Forschern um Srinivas Sridhar von der Northeastern University in Boston gelang es, einen Verbundwerkstoff herzustellen, der ein feines Gitter aus Metalldrähten enthält, das für Mikrowellen eine negative Brechzahl zeigt. Ob und wann aber ein Material hergestellt werden kann, das auch im optischen Bereich derartige Eigenschaften hat, war vor kurzem noch völlig unklar.

Im Oktober 2003 hat nun eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus einer Legierung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff auch ohne Weiterverarbeitung eine negative Brechzahl für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen. Der Kristall besteht aus zwei ineinandergeschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf. In künftigen Experimenten wollen die Forscher weitere vermutete Eigenschaften der negativen Brechung prüfen – wie etwa die Umkehrung des Dopplereffekts und der Tscherenkow-Strahlung.

In fernerer Zukunft könnte die Herstellung perfekter Linsen gelingen, die kleinere Objekte als das Beugungslimit der Optik abbilden können. Einen ersten Schritt in diese Richtung machten Forscher um Prof. Xiang Zhang an der Uni Berkeley: Sie nutzten den in einem 35 Nanometer dünnen Silberfilm an der Grenzfläche zu PMMA auftretenden negativen Brechungsindex, um ein Mikroskop zu bauen, das eine sechsfach höhere Auflösung besitzt als die Wellenlänge des zur Beobachtung verwendeten Lichts (Science paper on Superlens).

Deutung der "negativen Brechzahl"

Eine negative Brechzahl n < 0 würde in obiger Formel bedeuten, dass auch die Lichtgeschwindigkeit c negativ wäre - was ja unmöglich ist. Ein Diskussionsforum stellt dazu richtig fest, dies habe mit den klassischen Theorien nichts mehr zu tun. Außerdem träten diese Effekte nur bis 20 Nanometer Abstand von der Lichtquelle auf.

Eine Deutungsmöglichkeit ergibt sich aus einer Textstelle des zweiten Weblinks über den Kristall aus so genannten "Meta-Materialien", die "... eine negativen Brechzahl aufweisen können und so Licht um einen negativen Winkel gegenüber der Einfallsrichtung ablenken."

Das heißt, dass die zwei Winkel zwar dem Brechungsgesetz entsprechen, aber auf die "falsche Seite" – sozusagen Brechung und Reflexion in einem. Man müsste die Formel also mit einer Signum- oder Absolut-Funktion an diese neuen Materialien anpassen oder – wie ihre "ineinandergeschachtelten Kristallgitter" nahelegen – eine zusätzliche Reflexionsebene einführen. Sie entspräche im obigen Bild dem Lot auf die Trennfläche der beiden Medien.

Totalreflexion

Wird Licht beim Auftreffen auf eine Grenzschicht zwischen zwei Medien mit verschiedenen Brechzahlen nicht gebrochen, sondern vollständig reflektiert, spricht man von Totalreflexion. Um diesen Effekt hervor zu rufen muss der Winkel mit dem der Lichtstrahl auf die Grenzfläche der beiden Medien auftrifft einen bestimmten Wert (den Akzeptanzwinkel, bzw. Grenzwinkel) unterschreiten. Für den Grenzwinkel der Totalreflexion $\alpha_G$ gilt

\sin \alpha_G = \frac{n_2}{n_1}=\frac{c_1}{c_2}

Anwendung

Die Bestimmung der Brechzahl erlaubt eine einfache Bestimmung des Gehaltes einer bestimmten Substanz in einem Lösungsmittel:

Mikroprozessoren werden mittels Photolithographie hergestellt. Die Ätzmaske wird dabei durch ultraviolettes Licht einer Wellenlänge von 193 Nanometern übertragen. "Normalerweise" sind die kleinstmöglichen Abmessungen durch die halbe Wellenlänge begrenzt. Durch Einsatz von Flüssigkeiten mit einem Brechungsindex von 1,6 gelingt es Entwicklern bei IBM, ein Gitter paralleler Linien einer Dicke von nur 29,9 Nanometern zu erzeugen. Dadurch ist bei der Chipherstellung eine zukünftige weitere Steigerung unter Verwendung der "alten" Lichtquelle möglich.

IBM beats optical lithography limits (Technology News in optics.org vom 22.02.2006)
Photolithographie ist noch lange nicht am Ende (Newsticker wissenschaft.de vom 28.02.2006)

Weblinks

Optik | Werkstoffeigenschaft | Elektrodynamik

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